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PROPOSICIÓN ENUNCIADO O EXPRESIÓN MATEMÁTICA

RAZÓN O EXPLICACIÓN

(𝑒 −𝑦 + 1) sin 𝑥 𝑑𝑥 = (1 + cos 𝑥)𝑑𝑦, 𝑦(0) = 0

(𝑒 −𝑦 + 1)𝑠𝑒𝑛𝑥 = (1 + 𝑐𝑜𝑠𝑥)

𝑑𝑦 𝑑𝑥

1 𝑑𝑦 𝑠𝑒𝑛𝑥 . = + 1) 𝑑𝑥 1 + 𝑐𝑜𝑠𝑥

(𝑒 −𝑦

Siendo y la variable dependiente dividimos en dx Reescribir la ecuación variables separables

diferencial

como

1 𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑑𝑦 = 𝑑𝑥 + 1) 1 + 𝑐𝑜𝑠𝑥

(𝑒 −𝑦

∫

1 𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑑𝑦 = ∫ 𝑑𝑥 + 1) 1 + 𝑐𝑜𝑠𝑥

Integrando

(𝑒 −𝑦

∫

1 𝑑𝑦 + 1)

Integración del lado izquierdo de la expresión

(𝑒 −𝑦

∫

𝑒𝑦 𝑑𝑦 (𝑒 𝑦 + 1)

𝑢 = 𝑒𝑦 + 1

Realizando sustitución

𝑑𝑢 𝑑𝑒 𝑦 𝑑(1) = + 𝑑𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑢 = 𝑒𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑦 = 𝑒 −𝑦 𝑑𝑢 1 ∫ 𝑑𝑢 = 𝐿𝑛(𝑢) 𝑢 𝑢 = 𝑒𝑦 + 1

Integrando directamente Deshaciendo la sustitución La solución de esta parte de la integral

𝑦

𝐿𝑛(𝑒 + 1)

∫

𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑑𝑥 1 + 𝑐𝑜𝑠𝑥

Integrando el lado derecho de la expresión Se realiza sustitución

𝑢 = 1 + 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑑𝑢 𝑑(𝑐𝑜𝑠𝑥) 𝑑(1) = + 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑢 𝑑𝑥

= −𝑠𝑒𝑛𝑥 1 𝑑𝑥 = − 𝑑𝑢 𝑠𝑒𝑛𝑥

Entonces se tiene

1 = − ∫ 𝑑𝑢 𝑢

El resultado de la integral

= −𝐿𝑛(𝑢)

Deshaciendo la sustitución

𝑢 = 1 + 𝑐𝑜𝑠𝑥 = −𝐿𝑛(1 + 𝑐𝑜𝑠𝑥)

𝐿𝑛(𝑒 𝑦 + 1) = −𝐿𝑛(1 + 𝑐𝑜𝑠𝑥) + 𝐶

Igualando los resultados de las integrales realizadas, de acuerdo a como estaba planteada inicialmente la ecuación diferencial

𝐿𝑛(𝑒 𝑦 ) + 𝐿𝑛(1) = −𝐿𝑛(1) − 𝐿𝑛(𝑐𝑜𝑠𝑥)+C

Reorganizando se tiene y teniendo en cuanta las propiedades se los logaritmos se puede simplificar la expresión

𝐿𝑛(1) = 0 𝐿𝑛(𝑒 𝐴 ) = 𝐴 𝑦 = −𝐿𝑛(𝑐𝑜𝑠𝑥) + 𝐶

El resultado general de la ecuación

0 = −𝐿𝑛(cos(0)) + 𝐶

Teniendo en cuenta las condiciones iniciales del problema y(0)=0

cos(0)=1 𝐶 = 𝐿𝑛(1) 𝐶=0

𝑑.

PROPOSICIÓN ENUNCIADO O EXPRESIÓN MATEMÁTICA

RAZÓN O EXPLICACIÓN

𝜕𝑦 −𝑥 = 𝜕𝑥 𝑦 − 2𝑥 𝑥 − 𝑑𝑦 𝑥 = 𝑑𝑥 𝑦 − 2𝑥 𝑥 𝑥 𝑑𝑦 −1 =𝑦 𝑑𝑥 𝑥−2 𝑦 𝑣= 𝑥 𝑦 = 𝑣𝑥

Buscando la forma de una ecuación diferencial 𝑦 𝑓(𝑥 ),

𝑑𝑦 𝑑𝑥

=

entonces se divide la expresión en x

De lo que se obtiene la expresión

Se aplica la sustitución Despejando y, y derivando

𝑑𝑦 𝑑𝑣 = 𝑥+𝑣 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑣 𝑑𝑥 = 𝑥+𝑣 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑥

Reemplazando

𝑑𝑦 𝑑𝑣 = 𝑥+𝑣 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑣 −1 𝑥+𝑣 = 𝑑𝑥 𝑣−2

Ahora reemplazando el 𝑑𝑥 por la expresión anteriormente encontrada

𝑑𝑣 −1 𝑥= −𝑣 𝑑𝑥 𝑣−2

Organizando la expresión

𝑑𝑦

𝑑𝑣 −1 − 𝑣(𝑣 − 2) 𝑥= 𝑑𝑥 𝑣−2 𝑑𝑣 −1 − 𝑣 2 + 2𝑣 𝑥= 𝑑𝑥 𝑣−2 𝑑𝑣 ∙ 𝑥 ∙ (𝑣 − 2) = (−𝑣 2 + 2𝑣 − 1)𝑑𝑥 (𝑣 − 2)𝑑𝑣 𝑑𝑥 = 2 (−𝑣 + 2𝑣 − 1) 𝑥

−∫ ∫

𝑣2

𝑣2

𝑣−2 𝑑𝑥 𝑑𝑣 = ∫ − 2𝑣 + 1 𝑥

𝑣−2 𝑑𝑥 𝑑𝑣 = − ∫ − 2𝑣 + 1 𝑥

Agrupando con términos semejantes

Integrando las expresiones

Multiplicando a ambos lados por (1)

∫

𝑣2

𝑣 2 𝑑𝑥 𝑑𝑣 − ∫ 2 𝑑𝑣 = − ∫ − 2𝑣 + 1 𝑣 − 2𝑣 + 1 𝑥

= −∫

𝑑𝑥 𝑥

Reorganizando la expresión

Resolviendo la integral del lado derecho

= −𝐿𝑛(𝑥) ∫

𝑣 𝑑𝑣 − 2𝑣 + 1

𝑣2

1 𝑣 = (2𝑣 − 2) + 1 2 ∫

2(𝑣 2

𝑣−1 1 𝑑𝑣 + ∫ 2 𝑑𝑣 − 2𝑣 + 1) (𝑣 − 2𝑣 + 1)

Resolviendo la primera expresión de la izquierda Para aplicar linealidad y resolver la integral fácilmente es necesario hacer la expresión así y separarlas Realizando sustitución

𝑣−1 ∫ 𝑑𝑣 2 2(𝑣 − 2𝑣 + 1) 𝑢 = 𝑣 2 − 2𝑣 + 1 𝑑𝑢 = 2𝑣 − 2 𝑑𝑣 𝑑𝑣 =

1 𝑑𝑢 2𝑣 − 2

1 1 1 ∫ 𝑑𝑢 = 𝐿𝑛(𝑢) 2 𝑢 2 𝑢 = 𝑣 2 − 2𝑣 + 1

Integrando

Deshaciendo sustitución

𝐿𝑛(𝑣 2 − 2𝑣 + 1) = 2 ∫

1 𝑑𝑣 − 2𝑣 + 1)

(𝑣 2 ∫

1 𝑑𝑣 (𝑣 − 1)2 𝑢 =𝑣−1

𝑑𝑢 =1 𝑣 ∫

Resolviendo la segunda parte de la integral

Factorizando Realizando sustitución

𝑑𝑣 = 𝑑𝑢 1 𝑑𝑢 𝑢2

∫ 𝑢𝑛 𝑑𝑢 =

𝑢𝑛+1 𝑛+1

Integrando

=−

1 𝑢

𝑢 =𝑥−1 =−

1 𝑥−1

𝐿𝑛(𝑣 2 − 2𝑣 + 1) 1 − +𝐶 2 𝑣−1

𝐿𝑛(𝑣 − 1) − ∫

1 +𝐶 𝑣−1

1 𝑑𝑣 (𝑣 2 − 2𝑣 + 1)

2∫

1 𝑑𝑣 (𝑣 2 − 2𝑣 + 1)

1 ∫ 𝑑𝑣 (𝑣 − 1)2 𝑑𝑢 =1 𝑑𝑣

𝑢 =𝑣−1

∫

𝑑𝑣 = 𝑑𝑢

=−

𝑢𝑛+1 𝑛+1

Ahora resolviendo la segunda parte de la integral incial Aplicando linearidad Factorizando

Realizando sustitución

=−

Integrando

1 𝑢

𝑢 =𝑣−1

𝐿𝑛(𝑣 − 1) −

Simplificando

1 𝑑𝑢 𝑢2

∫ 𝑢𝑛 𝑑𝑢 =

=−

Reemplazando las integrales resultandos en la expresión de la izquierda de la ecuación diferencial

Deshaciendo sustitución

1 𝑣−1

2 +𝐶 𝑣−1

1 2 + = −𝐿𝑛(𝑥) + 𝐶 𝑣−1 𝑣−1

𝑦 1 2 𝐿𝑛 ( − 1) − 𝑦 +𝑦 = −𝐿𝑛(𝑥) + 𝐶 𝑥 − 1 − 1 𝑥 𝑥

Reemplazando Ahora reemplazando los resultados de las integrales obtenidas en la ecuación diferencial inicial propuesta

Deshaciendo la sustitución de variable inicial

𝑦−𝑥 1+2 𝐿𝑛 ( ) − 𝐿𝑛(1) − 𝑦 = −𝐿𝑛(𝑥) + 𝐶 𝑥 − 1 𝑥 𝐿𝑛(1) = 0 3 𝐿𝑛(𝑦 − 𝑥) − 𝐿𝑛(𝑥) − 𝑦 − 𝑥 = −𝐿𝑛(𝑥) + 𝐶 𝑥 𝐿𝑛(𝑦 − 𝑥) −

3𝑥 =𝐶 𝑦−𝑥

PROPOSICIÓN ENUNCIADO O EXPRESIÓN MATEMÁTICA

Resultado

RAZÓN O EXPLICACIÓN

𝑑𝑦 𝑥2 + 𝑦2 = 𝑑𝑥 2𝑥𝑦 2 − 𝑥 2 Mdx+Ndy=0 (𝑥 2 + 𝑦 2 )𝑑𝑥 = (2𝑥𝑦 2 − 𝑥 2 )𝑑𝑦 (𝑥 2 + 𝑦 2 )𝑑𝑥 − (2𝑥𝑦 2 − 𝑥 2 )𝑑𝑦 = 0

La forma de la ecuación diferencial exacta Buscando la forma de la ecuación diferencial exacta

(𝑥 2 + 𝑦 2 )𝑑𝑥 + (𝑥 2 − 2𝑥𝑦 2 )𝑑𝑦 = 0

𝑀 = (𝑥 2 + 𝑦 2 )

Entonces se tiene que

𝑁 = 𝑥 2 − 2𝑥𝑦 2

La ecuación diferencial exacta debe ser de la forma

𝐹(𝑥,𝑦) = 𝐶 𝜕𝐹 =𝑀 𝜕𝑥

𝜕𝐹 =𝑁 𝜕𝑦

𝜕𝐹 =𝑁 𝜕𝑦 𝜕𝐹 = 𝑥 2 − 2𝑥𝑦 2 𝜕𝑦 𝜕𝐹 = (𝑥 2 − 2𝑥𝑦 2 )𝑑𝑦

De tal forma que

Partiendo de y teniendo el valor de N, se reemplaza

Despejando 𝜕𝐹

∫ 𝜕𝐹 = ∫(𝑥 2 − 2𝑥𝑦 2 )𝑑𝑦

Integrando a ambos lados de la expresión

∫ 𝜕𝐹 = ∫(𝑥 2 )𝑑𝑦 − ∫ 2𝑥𝑦 2 𝑑𝑦 𝐹 = 𝑥 2 𝑦 − 2𝑥 (

𝑦3 ) + 𝜑(𝑥) 3

Se tiene el resultado de la integral

2 𝐹 = 𝑥 2 𝑦 − 𝑥𝑦 3 + 𝜑(𝑥) 3

Organizando expresión

𝜕𝐹 2 = 2𝑥𝑦 − 𝑦 3 + 𝜑′(𝑥) 𝜕𝑥 3

Derivando la anterior expresión, considerando y constante

𝜕𝐹 = 𝑀 𝜕𝑥

Entonces de los anteriormente dicho se reemplazan sus equivalentes

2

2𝑥𝑦 − 3 𝑦 3 + 𝜑′ (𝑥) = (𝑥 2 + 𝑦 2 ) 2

∫ 𝜑′ (𝑥) = ∫ 𝑥 2 + 𝑦 2 − 2𝑥𝑦 + 3 𝑦 3 𝑑𝑥 𝑥3 2 𝜑(𝑥) = + 𝑥𝑦 2 − 2𝑥 2 𝑦 + 𝑥𝑦 3 + 𝐶1 3 3 2 𝐹 = 𝑥 2 𝑦 − 𝑥𝑦 3 + 𝜑(𝑥) 3 2 𝑥3 2 𝐹 = 𝑥 2 𝑦 − 𝑥𝑦 3 + + 𝑥𝑦 2 − 2𝑥 2 𝑦 + 𝑥𝑦 3 + 𝐶1 3 3 3 𝐹 = 𝑥 2 𝑦 + 𝑥𝑦 2 +

𝑥3 − 2𝑥 2 𝑦 + 𝐶1 3

𝑥3 𝑥𝑦 − 𝑥 𝑦 + + 𝐶1 = 𝐶 3 2

2

𝑥𝑦 2 − 𝑥 2 𝑦 +

𝑥3 = 𝐶 − 𝐶1 3

𝐶 − 𝐶1 = 𝐾

3

𝑥𝑦 2 − 𝑥 2 𝑦 +

𝑥 =𝐾 3

Despejando 𝜑′ (𝑥) e integrando a ambos lados de la expresión Realizando integrales directas se tiene

Entonces se reemplaza la expresión encontrada por 𝜑(𝑥) en la expresión que representa a F

Simplificando Reemplazando en 𝐹(𝑥,𝑦) = 𝐶

Pasando las constantes a un solo lado de la expresión Ahora unificando constantes y reemplazando EL resultado general de la ecuación es.