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Ejercicios campo gravitatorio 1)

La Luna describe una órbita circular en torno a la Tierra con un período de 27,3 días y un radio de 3,84.105 km. Determina el radio de la órbita de un satélite artificial que se encuentra siempre sobre un mismo punto de la Tierra. Aplicando la 3ª ley de Kepler: r1 = 3,84.105 km

T1 = 27,3días

T1 r1

2

3

=

T2

2

r2

3

//

 27,3 2

 3,84.10 

5 3

T2 = 1día

1 = 3 r

//

r=

3,84.10 

5 3

3

 27,3 2

= 0,42.105 =

4

4,2.10 km 2) Deducir la distancia que separa al Sol de Júpiter, sabiendo que el tiempo que tarda Júpiter en dar una vuelta alrededor del Sol es 12 veces mayor que el que tarda la Tierra. La distancia de la Tierra al Sol es 1,5.1011 m Aplicando la 3º ley de Kepler: r1 = 1,5.1011 m

T2 = 12T1

T1 r1

2

3

=

T2

2

r2

3

r2 =

r1. 3

T2

2

T1

2

11

= 1,5.10 .

3

12T1  2 T1

= 1,5.1011.

3

12  2 = 7,86.1011m

3) La Luna tarda 27,3 días en dar la vuelta alrededor de la Tierra. ¿Cuánto tiempo tardaría un satélite si su distancia a la Tierra fuese la décima parte del radio de la órbita lunar?.

T1 = 27,3 días T2 = T1.

 r2   r1

r2 =

r1 10







3

= 27,3 días.

 1     10 

3

= 0,863 días

4) El cometa Halley posee un período de revolución de 75 años en su órbita alrededor del Sol, siendo su distancia en el perihelio (perigeo) de 8,9.10 10 m.

Calcula la máxima distancia que se separa del Sol (afelio o apogeo), utilizando como datos el período de la Tierra y su distancia media al Sol ( d = 1,49.1011 m) y tomando como distancia media del Halley la semisuma de la distancia más corta y la distancia más larga en su órbita elíptica. TH = 75 años = 27375 días dmedia = 1,49.1011 m

TT = 365 días

TT

2

dT

3

=

TH

2

dH

3

dH = 1,49.1011.

//

3

 27375     365 

2

= 2,65.1012 m (distancia media del

Halley al Sol)

dH =

rp  ra 2

// ra = 2 dH - rp = 2. 2,65.1012 - 8,9.1010 = 5,21.1012 m

5) Un planeta imaginario se mueve en una órbita elíptica de mucha excentricidad alrededor del Sol. Cuando está en el perihelio, su radio es 4.10 7 km y cuando está en el afelio 1,5.108 km. Si la velocidad en el perihelio es 1000 km/s. Calcula la velocidad en el afelio. Como la fuerza gravitatoria es una fuerza central, el planeta conserva su momento angular. ramva = rpmvp

va =

rp v p ra

=

10 3 km / s.4.10 7 km = 266,6 km/s 1,5.10 8 km

6) El perigeo de un satélite artificial que describe una elipse alrededor de la Tierra está a una altura de 600 km sobre la superficie terrestre y el apogeo a una altura de 1520 km. Si la velocidad en el perigeo es de 28.000 km/h. Calcula el valor de la aceleración centrípeta en el apogeo. Dato: RT = 6370 km Como la fuerza gravitatoria que actúa sobre el satélite es una fuerza central, el momento angular de dicho satélite se conserva. La = Lp = constante

mvara = mvprp

6970 km . 28000 km/h = 7890 km . va // va = 24735 km/h = 6871 m/s an =

v2  6871m / s  2 = 5,98 m = r s2 7890.10 3 m

7) Un satélite se dice que es estacionario cuando tiene el mismo período de revolución que el período de rotación de la Tierra. El satélite se encontrará “estacionario” sobre el mismo lugar de la Tierra. ¿A qué altura se hallará?. Datos: RT = 6400 km // G = 6,67.10-11 N.m2.kg-2 // MT = 6.1024 kg T = 24 h = 8,64.104 s



r3 =

GMT 2 6,67.10 11.6.10 24. 8,64.10 4 = 4 2 4 2

r=

3



2

= 7,6.1022 m3

7,6.10 22 m 3 = 4,2.107 m = 4,2.104 km

h = r – RT = 42000 km – 6400 km = 35600 km 8) La Tierra tarda 365 días en completar su órbita alrededor del Sol; si la distancia media entre ellos es 1,49.1011 m. Calcula: a) La masa del Sol b) La velocidad lineal (tangencial) de la Tierra G = 6,67.10-11 N.m2.kg-2 // r = 1,49.1011 m // T = 365 días = 31.536.000 s Aplicando la justificación dinámica de la 3ª ley de Kepler, tenemos:

4 2 r 3 a) Ms = = GT 2 b) V =

2 .r T

1,49.10 

11 3

.4.3,14 2 = 1,97.1030 kg  31.536.000  2 .6,67.10 11

. También: v =

GM s = 2,97.104 m/s r

9) El radio de la órbita de Europa, satélite de Júpiter, es de 6,7.105 km. Determina el período de revolución del satélite. Datos: MJ = 318,4MT // MT = 5,98.1024 kg // G = 6,67.10-11 N.m2.kg-2 Aplicando la justificación dinámica de la 3ª ley de Kepler:

T=

4 2 .r 3 = GM J

 6,7.10 

8 3

.4 2 6,67.10 11.318,4.5,98.10 24

= 3.105 s

10) Umbriel, satélite de Urano, describe una órbita circular de 2,67.108 m de radio alrededor del planeta con un período de revolución de 3,58.105 s. Calcula: a) La masa de Urano

b) El período de revolución de otro de sus satélites, Oberón, cuyo radio orbital es de 5,86.108 m. Dato: G = 6,67.10-11 N.m2.kg-2 a) MUrano =

b) TOberón =

4 2 .r 3Umbriel GT 2 Umbriel

 2,67.10  4 3,58.10  .6,67.10 8 3

=

2

5 2





11

= 8,79.1025 kg

3

4 2 5,86.10 8 = 1,16.106 s 6,67.10 11.8,79.10 25

11) Calcula la distancia Tierra-Luna sabiendo que la Luna tarda 28 días en realizar su órbita circular en torno a la Tierra. Datos: g = 9,8 m/s2 // RTierra = 6370 km = 6,37.106m // T =28 días = 2.419.200 s Teniendo en cuenta que go = G

M RT

2

2

//

T 2 GM RT MGT 2 T2 . r = = = .go.RT2 = 2 2 2 2 4 4 4 RT 3

r3 = 0,59.1026 m3 //

 2.419.200 2 .9,8.(6,37.10 6 ) 2 4 2

r = 3,89.108 m = 3,89.105 km

12) ¿Cuánto vale la fuerza que actúa sobre un satélite artificial de 2000 kg que gira alrededor de la Tierra siguiendo una órbita circular de radio equivalente a dos veces del radio de la Tierra?. Datos: g = 10 m/s2

F=G

//

r = 2RT

M T .m s M T . ms m 10.2000 = G = go. s = = 5000 N 2 2 4 4 4 RT r

13) Calcula el campo gravitatorio en Marte, sabiendo que el radio de Marte es la mitad que el de la Tierra y que su masa es la centésima parte de la de la Tierra. Dato: gT = 10 m/s2 // RT = 2Rm //

MT = 100Mm

gm  G gT  G

Mm R2m MT RT

Mm R2m 100M m 10  G 4R 2 m gm  G

//

2

//

gm 4 = // gm = 0,4 m/s2 100 10

14) Un astronauta tiene un peso en la Tierra de 800N. Cuando llega a la Luna observa que pesa 160N. Halla la intensidad del campo gravitatorio de la Luna. Dato: gT = 9,81 N/kg PL  mg L PL 160 // gL = gT. = 9,81 m/s2 . = 1,962 m/s2 PT  mg T PT 800 15) Un astronauta de 70 kg aterriza en el planeta Venus y observa que allí pesa 600N. Si el diámetro de Venus es idéntico al de la Tierra, calcula la masa de Venus.

Datos: MT = 6.1024 kg // gT = 9,8 N/kg Si el dT = dV  RT = Rv

PV mg V = PT mg T

GM V R2 = MV = MT GM T 2 R

//

600.

MV = 6.1024. 70.9,8 = 5,25.1024 kg

16) En la superficie de un planeta de radio R = 1,25R T la aceleración de la gravedad es 14,7 m/s2. Calcular la relación entre las masas del planeta y de la Tierra. Dato: gT = 9,8 m/s2

GM p

14,7 = 9,8

1,25 2 R 2 T GM T RT2

//

Mp = 2,34MT

17) Supongamos que la Tierra tiene densidad uniforme. ¿Cuál sería el valor de “g” sobre la superficie terrestre si su diámetro fuera la mitad y la densidad la misma?.

D = M.V //

V=

4 πR3 3

// d´ = d/2  R´ = R/2

g = g´

GM R2 GM ´ R 2

4 / 3R 3 D R2 = 3 4 / 3  R / 2  .D  R / 2 2

= 1/2

//

g´= g/2

18) Calcula el valor de la gravedad en Mercurio, si el radio de la Tierra es tres veces mayor que el de éste, y la densidad de Mercurio es 3/5 de la densidad media de la Tierra. Datos: gT = 9,8 m/s2

// Vesfera = 4/3πR3 // RT = 3Rm // Dm = 3/5DT

GM m G 4 / 3Rm3 .Dm 4 R 3 1 = = G4/3πRmDm = G π T DT = gT 2 2 3 5 Rm 3 5 Rm 19) Comenta si es verdadera o falsa la siguiente afirmación: “Si la Luna gira alrededor de la Tierra según un movimiento circular uniforme, no tiene aceleración”. gm =

Es falsa, ya que tiene la aceleración asociada al cambio de dirección de la velocidad (aceleración centrípeta). Dicha aceleración se origina como consecuencia de la acción de la fuerza de interacción gravitatoria.

20) La masa del Sol es 324440 veces mayor que la masa de la Tierra y su radio 108 veces mayor. Si fuera posible lanzar un proyectil verticalmente hacia arriba desde la superficie solar y se disparase con una velocidad de 200 m/s. ¿Qué altura máxima alcanzaría?. Dato: gT = 9,8 m/s2 gs = G

324440 M T

108RT 

2

=

324440

108

2

G

MT 324440 .9,8 = 272,87 m.s-2 2 = 108 2 RT

v2 = vo2 -2gsh // 0 = (200)2 – 2.272,87.h

//

h = 73,3 m

21) Calcula la altura que hay que subir por encima de la superficie terrestre para que la aceleración de la gravedad sea de 7 m/s2. Datos: go = 10 m/s2 // RT = 6370 km

M gh r2 = go G M 2 RT G

//

7 RT2 = 2 10 r

//

R 7 = T 10 r

// r =

6,37.10 6 = 7,6.106 m 0,84

h = r – RT = 1,23.106 m = 1240 km

22) Halla la intensidad del campo gravitatorio en un punto por encima de la superficie terrestre que se encuentra a una distancia de la superficie igual a tres veces el radio de la Tierra. Dato : go = 10 m/s2 M G gh  4 RT  2 gh 1 = // = // gh = 0,625 m/s2 M go 16 10 G 2 RT 23) Determina a qué altura sobre la superficie terrestre el peso de un cuerpo se reduce en un 25%. Dato: RT = 6370 km

Ph = 0,75Po //

mgh = 0,75mgo // gh = 0,75go

0,75 g o RT2 = 2 go r

//

r = 7355 km

//

//

gh go

MT r2 = M G 2T RT G

r = h + RT // h = r - RT = 985 km

24) ¿A qué velocidad tendría que girar la Tierra en torno a su eje para que el peso de un cuerpo situado en el Ecuador se redujera a la mitad?. Tómese la Tierra como una esfera homogénea de R = 6400 km y g polo = go = 9,81 m/s2.

PE = Po - m

v2 R

//

mgE = mgo - m

v2 R

// gE = go -

v2 R

//

go v2 = go R 2

M 1 MT V2 G 2  G 2T  2 R R R

//

v=

1 / 2 g o R = 5603 m/s

(Rp = RE =R)

25) ¿A qué velocidad tiene que girar la Tierra para que el peso de una persona en el Ecuador fuese cero?. Datos: go = 9,8 m/s2 0 = go -

v2 R

//

//

RT = 6370 km go R =

v=

= 7901 m/s

9,8.6,37.10 6

26) Determina a qué distancia deberá estar un objeto de la Tierra en la línea que la une con el Sol para que la atracción solar se equilibre con la terrestre. Datos: dT-S = 1,495.1011 m // MS = 1,99.1030 kg // MT = 5,98.1024 kg 

Aplicando el principio de superposición : g =

n



g i 1

G

MS

 d TS  d T 

d TS dT =

1

2

=G

MT dT 2

//

d TS  d T = dT

MS MT

i

  = g S + gT

//

d TS 1  dT

MS MT

1,495.1011

MS = 1 MT

1,99.10 30 5,98.10 24

= 2,59.108 m

27) Dos masas puntuales de 2 kg están situadas en los extremos de la hipotenusa de un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 3m. Calcula: a) El módulo del campo gravitatorio en el tercer vértice del triángulo b) El módulo de la fuerza gravitatoria que actúa sobre una masa de 10 kg colocada en este punto. Dato: G = 6,67.10-11 N.m2.kg-2 

a) Aplicando el principio de superposición: g 

n

i 1

(proyectando sobre los ejes)



g

i

     g1  g 2  g x i  g y j

g1 = 6,67.10-11 N.m2.kg -2.

g2 = 6,67.10-11.

2kg

= 1,5.10-11 N/kg

 3m  2

2 = 1,5.10-11 N/kg 32

   g  1,5.10 11 i  1,5.10 11 j

1,5.10 

11 2

g=

 1,5.10 11 

b) F = mg = 0,01 kg.2,1.10-11

2

= 2,1.10-11 N/kg

N = 2,1.10-13 N kg

28) Una masa puntual de valor 1 kg, está situada en el origen de un sistema de coordenadas ortogonales. Otra masa puntual de 2 kg está sobre el eje de ordenadas y a un metro del origen. Determina la intensidad del campo gravitatorio creado por esta distribución de masas, en el punto A(2,0). Dato: G = 6,67.10-11 N.m2.kg-2 Aplicando el principio de superposición:

g1 =

G 4

// g2 =

2G 5

     g  g1  g 2  g x i  g y j 2 4G = N/kg 5 5 5

// g2x = g2cosα = g2.

g2y = g2senα = g2.

1 2G = N/kg 5 5 5

  G 4G   2G    g     i  j = - 4,06.10-11 i + 1,19.10-11 j 5 5  4 5 5  g

=

  4,06.10 

11 2

 1,19.10 11 

2

= 4,23.10-11 N/kg

29) Dadas dos esferas de masas 2 kg y 4 kg situadas, respectivamente, en los puntos (0,0) y (6,0) de un sistema de coordenadas cartesianas representado en metros. Calcula el campo gravitatorio en los puntos (3,4) y (3,0). Aplicando el principio de superposición:

    g  g1  g 2 = g i + g x

En el punto (3,4): g1 = G

2 N/kg 25

// g1x = -

g2 = G

4 N/kg 25

// g2x =

2 3 G 25 5 4 3 G 25 5

// g1y = -

// g2y = -

2 4 G 25 5 4 4 G 25 5

y

 j

       6  24  g  g x i  g y j   g1 x  g 2 x  i   g1 y  g 2 y  j  Gi  Gj =3,2.10-12 i - 14,4.10-12 j 125 125 En el punto (3,0):   2G  4  g i  Gi = 1,48.10-11 i N/kg 9 9

30) Plutón recorre una órbita elíptica en torno al Sol situándose a una distancia rp = 4,4.1012 m en el punto más próximo (perihelio) y ra = 7,4.1012 m en el punto más alejado (afelio). a) Obtener el valor de la energía potencial gravitatoria en el perihelio y en el afelio. b) ¿En cuál de esos dos puntos será mayor la velocidad de Plutón?. Datos: G = 6,67.10-11 N.m2.kg-2 // M(Sol) = 1,98.1030 kg // M(Plutón) = 1,27.1022 kg A partir de la expresión de la energía potencial gravitatoria, tenemos: a) Epa =  G

Epp =  G

M pM s ra

M pM s rp

11 =  6,67.10

 6,67.10 11

1,27.10 22.1,98.10 30 = - 2,27.1029 J 7,4.1012

1,27.10 22 .1,98.10 30  - 3,8.1029 J 4,4.1012

b) 1) Como la fuerza gravitatoria que actúa sobre Plutón es una fuerza central, se conserva el momento angular de Plutón, lo que significa que:

ra va = rp vp

//

Como

ra rp  va vp

2) Como la fuerza gravitatoria que actúa sobre Plutón es conservativa, se conserva la energía mecánica de Plutón, lo que significa que:

Epa + Eca = Epp + Ecp

//

Como

EpaEpp  EcaEcp  avv p

31) ¿Por qué el potencial gravitatorio y la energía potencial gravitatoria son siempre negativas?. Porque tomamos el origen de energía en el infinito. El trabajo del campo gravitatorio supone siempre una disminución de la energía potencial (W = -  Ep). Por tanto, si consideramos que una partícula en el infinito tiene energía potencial nula, cuando está sometida al campo gravitatorio su energía potencial será negativa.

32) Di qué signo tiene la energía mecánica de un satélite que describe órbitas cerradas alrededor de la Tierra. Siempre negativa, ya que el satélite está ligado al campo gravitatorio terrestre. Si su energía mecánica no fuera negativa (es decir, cero o positiva), el satélite escaparía de la órbita.

33) ¿Existe algún punto en la línea que une la Tierra y la Luna en que el potencial sea nulo?. Aplicando el principio de superposición tenemos: n

V=

V i 1

i

= VT + VL

Como el potencial gravitatorio es un escalar (V =  G

M ), no puede haber r

ningún punto donde el potencial se anule, ya que siempre saldrá un número negativo. 34) La órbita de Plutón en torno al Sol es notablemente excéntrica. La relación de distancias máxima y mínima entre su centro y el del Sol (afelio y perihelio) es ra 5  . Calcula la relación (cociente entre los valores en el afelio y el perihelio) rb 3 de las siguientes magnitudes de Plutón: a) Momento angular respecto al centro del Sol b) Energía cinética c) Energía potencial gravitatoria a) ra.va = rp.vp //

vp 5 ra   rp va 3

b) Eca = 1/2mva2

//

Ec a 9  Ec p 25

Ecb = 1/2mvp2

c) Epa =  G

Epp =  G

M s .M a ra

//

rp 3 Ep a   Ep p ra 5

M s .M p rp

35) Dadas dos esferas de masas 2 kg y 4 kg situadas, respectivamente, en los puntos (0,0) y (6,0) de un sistema de coordenadas cartesianas representado en metros. Calcula el trabajo necesario para transportar otra esfera de 3 kg desde el punto (3,4) al punto (3,0). El trabajo realizado por el campo gravitatorio, supone una disminución de la energía potencial del sistema, por tanto:

W A B =  E p  - (EpB – EpA) =m V A  V B 

V(3,0) =  G

2 4 2 4 6  G  2G J/kg // V(3,4) =  G  G   G J/kg 3 3 5 5 5

 6  W 3, 4   3, 0  = m ( V 3, 4   V 3, 0  ) = 3 kg   G  2G  J/kg = 1,6.10-10 J  5 

36) Un satélite artificial en órbita circular tiene una energía cinética de 2,4.1011J. Determina los valores de su energía potencial gravitatoria y de su energía mecánica. Em = Ec + EP

//

Ep =  4,8.1011 J

Em = //

Ep 2

Ep

//

2

 Ec  E p

//

Ec = 

1 Ep 2

Em =  2,4.1011 J

37) Calcular la energía total (potencial más cinética) que tiene un satélite de 200 kg que describe una órbita circular a 400 km sobre la superficie terrestre. Datos: RT = 6400 km // go = 0,8m.s-2 Em

RT2 m 1 Mm 1 GM mRT2 1 9,8. 6,4.10 6  .2.10 2  G    g    5,9.10 9 J o 2 r 2 RT2 r 2 r 2.6,8.10 6 2

38) Se lanza un cuerpo verticalmente hacia arriba desde la superficie de la Tierra con una velocidad de 4000 m/s. Calcula la altura que alcanzará. Datos: G = 6,67.10-11N.m2.kg-2 // MT = 5,98.1024 kg // RT = 6400 km Como la fuerza que actúa es conservativa, se cumple el principio de conservación de la energía mecánica: Eco + Epo = Eph



//

G

MTm 1 M m  mv 2  G T RT 2 r

6,67.10 11.5,98.10 24 1 6,67.10 115,98.10 24 2    4000   2 r 6400.10 3

r = 7,4.106 m = 7400 km

//

h = r - RT = 1000 km

39) La Estación Espacial Internacional (ISS) describe una órbita alrededor de la Tierra a una altura h = 390 km sobre la superficie terrestre, siendo su masa de m = 415 toneladas. a) Calcula su período de rotación, en minutos, así como la velocidad con la que se desplaza. b) ¿Qué energía se necesitaría para llevarla desde su órbita actual a otra órbita a una altura doble?. Datos: G = 6,67.10-11 N.m2.kg-2 a) v =

GM T m  7681,4 r s

//

// RT = 6370 km // MT = 5,98.1024 kg T 

2r  5529,5 s = 92,16 min v

b) Aplicando de principio de conservación de la energía: Em1 + W = Em2

//



1 GM T .ms 1 GM T .m S W   2 r1 2 r2

r1 = 6,76.106 m // r2 = 7,15.106 m  1,22.1013  W  1,16.1013

//

W = 6.1011 J

40) La Estación Espacial Internacional gira alrededor de la Tierra en una órbita que consideramos circular, a una altura de 380 km sobre la superficie terrestre. Calcula: a) La velocidad lineal de la Estación y el tiempo que tarda en dar una vuelta a la Tierra. b) La energía mínima necesaria para colocar en esa órbita una masa de 1 kg partiendo de un punto de la superficie terrestre. c) La velocidad necesaria para escapar de la atracción terrestre desde esa órbita. Datos: G = 6,67.10-11 N.m2.kg-2 // RT = 6,37.106 m // MT = 5,98.1024 kg a) v =

T=

GM T  r

6,67.10 11.5,98.10 24  7687 m / s 6,75.10 6

2R 2. .6,75.10 6   5517 s  1,53h v 7687

b) Emecánica superficie = Emecánica órbita Epo + Enecesaria = Ep + Ec = Em



GM T m 1 M m E G T RT 2 rórbita



1 1  2rórbita  RT

// E = GMT.m 







E 

6,67.10 11.5,98.10 24 .1  1 1      3,31.10 7 J 6 10  6,37 2.6,75 

c) vescape =

2GM T GM T  2  10871 m/s rórbita rórbita

41) Dos satélites, A y B, giran alrededor de un planeta siguiendo órbitas circulares de radios 2.108 m y 8.108 m respectivamente. Calcula la relación entre sus velocidades (tangenciales) respectivas. A partir de la velocidad orbital, tenemos: vA 

V A2  v  2 B

GM p rA

//

vB 

GM p rB

GM p rA GM p

//

v A2 rB  v B2 rA

//

vA  vB

rB 8.10 8 =  2 // rA 2.10 8

vA = 2vB

rB

42) Un cometa se mueve según una órbita elíptica alrededor del Sol. Determinar en qué punto de su órbita tiene mayor valor: a) La velocidad del cometa b) La energía cinética del cometa c) La energía total del sistema cometa-Sol d) La energía potencial del sistema cometa-Sol a =afelio

// p = perihelio

a) Como la fuerza gravitatoria es una fuerza central angular del cometa.

 se conserva el momento

rava  rpvp  rarp  vavp b) Como

vavp  EcaEcp

c) Como la fuerza gravitatoria es una fuerza conservativa  la energía mecánica del cometa se conserva, luego: Em = constante

d) Em = Ec + Ep



Ec a  Ec p  Ep a  Ep p

43) Desde un lugar, situado a una distancia del centro de la Tierra igual a las 5/4 partes del radio terrestre, se desea poner en órbita un satélite terrestre. ¿Qué velocidad hay que comunicarle y cuál será el valor de la aceleración de la gravedad en su interior?. Datos: RT = 6400 km r

v

5 RT 4

// go = 10 m/s2

go  G

//

M RT2

//

R2 R2 GM  go T  g T  5 r r RT 4

GM  g 0 RT2

10.6,4.10 6  7155 m/s 5 4

De dos formas:

g o RT2 GM   6,4m / s 2 2 25 r RT2 16

a)

gh 

b)

g h  an 

v2  7155  6,4m / s 2  5 r 6,4.10 6 4 2

44) ¿Cuál debe se la velocidad con que debe lanzarse un cuerpo verticalmente hacia arriba desde la superficie de la Tierra para que alcance una altura igual al radio de la misma, despreciando el rozamiento en la atmósfera?. Dato: RT = 6,37.106 m

go = 9,8 m/s2

//

Como la única fuerza que actúa es la gravitatoria, que es conservativa  que se conserva la energía mecánica del cuerpo, por tanto: Eco  Ep o  Ec h  Ep h

g R2 1 2 g 0 RT2 vo   o T 2 RT 2 RT

//

GM T m GM T m 1 mv o2   0 2 RT 2 RT //

vo 

g 0 RT  7,9.10 3 m / s

45) ¿Con qué rapidez llegará a la superficie terrestre un objeto que se deja caer desde 500 km sobre la superficie terrestre, partiendo del reposo y despreciando los rozamientos?.

Datos: go = 9,8 N/kg

//

RT = 6370 km

Como la fuerza gravitatoria es una fuerza conservativa, se conserva la energía mecánica del objeto: r = RT + h Ep = EcT + EpT // //



GM T m 1 GM T m  mvT2  // r 2 RT



g o RT2 1 2 g o RT2  v  r 2 RT

VT = 3015 m/s

46) Desde la superficie de la Tierra se lanza un objeto con una velocidad doble de la de escape. Calcular la velocidad del objeto cuando está muy lejos de la Tierra. Datos: go = 9,8 m/s2

//

RT = 6370 km

Se pueden considerar tres opciones en cuanto a la velocidad de escape (v e):

a)

v ve 

el objeto no puede escapar a la atracción del campo gravitatorio

b) v  ve  Eco + Epo = 0 + 0  ve 

c)

vve  Ep

o

+ Eco = 0 + Ec

1 M m 1 2 mv1  G T  0  mv 2 2 RT 2

//

1 GMm 1 m 4v e2   mv 2 // 2 RT 2

2.

2GM GM 1   v2 RT RT 2

v

2GM T RT

//

v1  2v 2

Como: v e 

6GM  v2 RT

//

2GM RT

6goRT = v2

//

6 g o RT

47) Si el punto A está situado a una distancia de 500 km sobre la superficie de la Tierra y el punto B está situado sobre la misma superficie. Calcula el trabajo

realizado por el campo gravitatorio terrestre cuando un satélite artificial de 5000 kg se traslada desde el punto A hasta el punto B. Datos: RT = 6,37.106 m

// MT = 5,98.2024 kg // G = 6,67.10-11N.m2.kg-2

W =  Ep  Ep A  Ep B  

GM T m GM T m   2,25.1010 J rA rB

48) Un satélite artificial de 1,2 toneladas se eleva a una distancia de 6500 km del centro de la Tierra y se le da un impulso mediante cohetes propulsores para que describa una órbita circular alrededor de la Tierra: a) ¿Qué velocidad deben comunicar los cohetes para que tenga lugar ese movimiento?. b) ¿Cuánto vale el trabajo realizado para llevarlo de la superficie de la Tierra a esa altura?. c) ¿Cuál es la energía total del satélite?. Datos: RT = 6,36.106 m

a) v 

GM  r

g o RT2

b) Epo + W = Eph //

1  r

// go = 9,8 m/s2



9,8. 6,36.10 6 6,5.10 6



2

 7809,3 m/s

 1 1 W  g o RT2 m   = - 1,63.109 J  RT r 



1 GMm 1 g R2 1 9,8. 6,36.10 6 c) ET     m o T   1,2.10 3 2 r 2 r 2 6,5.10 6



2

 3,659.1010 J

49) La masa del planeta Júpiter es aproximadamente 318 veces la de la Tierra, y su diámetro 11 veces mayor. ¿Cuál es el peso en este planeta de un astronauta cuyo peso en la Tierra es 980 N?. ¿Cuál es la velocidad de escape para la superficie de Júpiter?. Datos: gT = 9,8 N/kg g J  2,63 g T

VeJ =

//

//

RT = 6,378.106 m

PJ  mg J 980  mg T

//

PJ  980

2GM J 2 g J R J2   2 g J R J  60137 m / s RJ RJ

gJ = 980.2,63 = 2577 N gT