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TEMA 2. LA TEORÍA DE LA GRAVITACIÓN UNIVERSAL. EL CAMPO GRAVITATORIO. 1. MODELO GEOCÉNTRICO. 1.1. Modelo pitagórico y aristotélico. 1.2. El geocentrismo de Ptolomeo. 2. MODELO HELIOCÉNTRICO. 2.1. Modelo copernicano. 2.2. El heliocentrismo de Galileo. 3. LAS LEYES DE KEPLER. 4. LEY DE LA GRAVITACIÓN UNIVERSAL. 4.1. Valor de la constante G de gravitación. 4.2. Deducción de la Tercera ley de Kepler a partir de la ley de la gravitación universal. 4.3. Deducción de la LGU a partir de las leyes de Kepler. 5. CAMPO GRAVITATORIO 5.1. Campos escalares y vectoriales. 5.2. Campos conservativos. 5.3. Intensidad del campo gravitatorio 5.4. Campos creados por una o varias masas puntuales: Principio de Superposición. 6. TRABAJO Y ENERGÍA. 6.1. Teorema de las fuerzas vivas o teorema trabajo-energía. 6.2. Teorema de la energía potencial. 6.3. Principio de conservación de la energía mecánica. 6.4. Energía potencial gravitatoria. 7. POTENCIAL. 7.1. Potencial gravitatorio. 8. SATÉLITES ARTIFICIALES. 8.1. Energía total. Energía de satelización. 8.2. Escape del campo gravitatorio terrestre. 8.3. Tipos de trayectorias. 9. ¿CÓMO ES EL UNIVERSO?

1. Calcula el valor de la constante de Kepler sabiendo que la distancia media de la Luna a la Tierra es de 8 -13 2 -3 3’8·10 m, y su período, de 28 días. Sol: k = 1’07·10 s m . 2. ¿A qué distancia del Sol girará un planeta que tarda 400 días terrestres en dar la vuelta en su órbita? -19 2 -3 11 Datos: ksol = 3’8·10 s m . Sol: a = 1’58·10 m. 3. Calcula la velocidad de traslación de un hipotético planeta que girase alrededor del Sol a una distancia de dos mil millones de kilómetros. ¿Qué tiempo tardaría en dar una vuelta a su órbita? Datos: ksol = -19 2 -3 9 3 3’8·10 s m . Sol: T = 1’55·10 s; v = 8’1·10 m/s. 4. Calcula la velocidad areolar de la Tierra en su movimiento de rotación en torno al Sol, suponiendo la 11 15 2 -1 órbita circular de radio 1’5·10 m. va = 2’24·10 m s . 5. La relación entre las velocidades de dos planetas hipotéticos es de 1/5. ¿Cuántas veces mayor es el año solar de uno con respecto al otro? Sol: T1 = 125T2. 6. La masa de Marte, su radio y el radio medio de su órbita alrededor del Sol referidos a las magnitudes respectivas de la Tierra son 0’108, 0’54 y 1’52. ¿Cuál es la duración del año marciano? Sol: TM = 1’87TT. 7. Marte tiene dos satélites, Fobos y Deimos, cuyas órbitas tienen un radio de 9400 km y de 23500 km, respectivamente. Fobos tarda 7’7 horas en dar una vuelta alrededor del planeta. Aplicando las leyes de Kepler, halla lo que tarda Deimos. Sol: TD = 30’4 h. 8. Un satélite artificial gira en torno a la Tierra a una distancia del centro igual a tres veces el radio de esta. 24 Sabiendo que la masa de la Tierra es 5’98·10 kg, ¿cuál es el periodo del satélite? Sol: T = 7’31 h. 8

9. Determina la masa de la Tierra sabiendo que la distancia Luna-Tierra es de 3’84·10 m y que el periodo 24 de la Luna es de 27’3 días. Sol: 6’02·10 kg. 10. Júpiter, el mayor de los planetas, tiene doce satélites. El más grande, Ganimedes, fue descubierto por Galileo en 1610 (es lo suficientemente grande como para poder ser visto con unos buenos binoculares). Está situado a 15 radios jovianos (RJ) del centro del planeta y tiene un período de 620000 s. Halla: a) 27 24 3 La densidad media; b) El radio del planeta. Datos: MJ = 1’9·10 kg. Sol: a) d = 1’24·10 kg/m ; b) RJ = 7 7’15·10 m. 11. El planeta Marte tiene un radio R = 0’53R0, siendo R0 el radio de la Tierra. Un satélite de Marte describe a su alrededor una órbita circular de radio R1 = 2’8R, invirtiendo un tiempo total de 7h39min14s. Calcula 3 la masa del planeta Marte respecto al radio de la Tierra R0. Sol: MM = 2548R0 . 12. La distancia de Venus al Sol varía desde 0’72 hasta 0’73 veces la distancia media de la Tierra al Sol. a) 4 Calcula su velocidades en el perihelio, sabiendo que su velocidad en el afelio es de 3’48·10 m/s; b) Calcula las distancias máxima y mínima de Venus al Sol, sabiendo que la distancia media Tierra-Sol es 8 4 2 -1 de 1’496·10 km; c) Calcula la aceleración centrípeta en ambos puntos. Sol: a) vp = 3’53·10 m s ; b) 11 11 -3 -2 -3 -2 ra = 1’092·10 m, rp = 1’077·10 m; c) aca = 1’11·10 ms , acp = 1’16·10 ms . 13. Un cometa describe una órbita elíptica alrededor del Sol, estando este situado en uno de los focos de una elipse. Compara, entre las posiciones de la trayectoria más alejada y más cercana al Sol: a) El momento angular respecto al Sol; b) La velocidad de traslación; c) El valor de la fuerza de atracción que ejerce el Sol sobre el cometa. Sol: a) Lp = La; b) va < vp; c) Fa < Fp. 14. Las tres masas m1, m2 y m3 de la figura tienen 100 g. La escala gráfica está en centímetros. Calcula la -9 fuerza que se ejerce sobre m3. Sol: F̅T3 = -1’94·10 ı̅ N.

15. Tres masas de 2 kg cada una están situadas en los vértices de un triángulo equilátero de 1 m de lado. Calcula la fuerza que se ejerce sobre cada masa como resultado de las interacciones de las otras. Sol: -10 -10 -10 FT1 = 4’62·10 N; FT2 = 4’62·10 N; FT3 = 4’62·10 N. 16. Dos masas puntuales iguales de valor m se encuentran situadas a una distancia r y se atraen con una -8 fuerza F = 2·10 N. ¿Con qué fuerza se atraerían si la distancia entre ellas se redujese a la mitad? Sol: -8 F = 8·10 N. 17. Tres masas puntuales, dos de 1 kg y una de 2 kg, se hallan situadas en los vértices de un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 10 cm cada uno. La masa de 2 kg está libre en el vértice del ángulo recto. Las otras están fijas e inmóviles. ¿Con qué aceleración se moverá la masa de 2 kg debido a la -9 2 fuerza gravitatoria ejercida por las otras dos? Sol: a = 9’43·10 m/s . 18. Cuatro masas de 2 kg cada una están situadas en los vértices de un cuadrado de 1 m de lado. Calcula la fuerza que se ejerce sobre cada masa como resultado de las interacciones de las otras. Sol: FT1 = -10 FT2 = FT3 = FT4 = 5’11·10 N.

19. Calcula la masa de dos esferas de mercurio iguales y puestas en contacto para que la fuerza de 5 atracción entre ambas sea de 1 N. La densidad del mercurio es de 13 kg/l. Sol: m = 5’19·10 kg. 20. Dos masas esféricas iguales de 1’5 kg cada una están fijadas a dos puntos separados 16 cm. Una tercera masa se suelta en un punto A equidistante de las masas anteriores y a una distancia de 6 cm de la línea que las une. Calcula la aceleración de dicha masa cuando está en las posiciones A y B (punto -8 -2 medio de la recta que une las amasas iguales). Sol: aA = 1’2·10 ms ; aB = 0.

21. Tres masas puntuales m, 2m y 4m están en los vértices de un triángulo equilátero de 10 cm de lado. -7 2 -2 ¿Qué fuerza se ejerce sobre una masa 3m situada en su centro? Sol: FTC = 3’93·10 m Nkg .

22. ¿En qué punto entre dos masas m y 4m, separadas un metro, la fuerza sobre cualquier cuerpo es nula? Sol: x = 1/3 m. 23. Existe un punto sobre la línea que une el centro de la Tierra con el centro de la Luna en el que se anulan las dos fuerzas gravitacionales. Calcula la distancia de es epunt al centro de la Tierra, sabiendo 5 que la distancia entre el centro de la Tierra y el de la Luna es D = 3’8·10 km y que MTierra = 81MLuna. 5 Sol: r = 9D/10 = 3’42·10 km. 24. ¿Cuál sería el peso de una persona de m = 70 kg en la superficie de la Tierra si esta redujese su radio a la mitad sin variar su masa? Compáralo con el valor que tiene sin variar el radio. Sol: P = 4P’ = 2744 N. 25. Compara la fuerza con que la Tierra atrae a una persona de masa 100 kg situada sobre su superficie con la fuerza con que la persona atrae a la Tierra situando su centro a 6378 km de ella. Sol: F = 980 N. 26. Un cuerpo que en la Tierra es atraído con una fuerza de 700 N viaja a un satélite de Júpiter donde es 24 atraído con una fuerza de 400 N. Sabiendo que la masa de la Tierra es 5’98·10 kg, calcula la masa 24 del satélite de Júpiter si su radio es de 2400 km. Sol: ms = 4’84·10 kg. 27. ¿A qué altura sobre la superficie terrestre hay que colocar un cuerpo para que la fuerza con que es 6 atraído sea la mitad de la que experimenta en su superficie? Sol: h = 2’642·10 m. 28. Calcula la altura a la que habría que colocar un satélite artificial para que la fuerza que la Tierra 5 ejercería sobre él fuera un 20% menor. Dato: RT = 6378 km. Sol: h = 7’530·10 m. 29. Un planeta tiene dos lunas de igual masa, una de ellas situada a doble distancia que la otra del centro del planeta. Indica la relación entre las fuerzas con que el planeta atrae a las lunas. Sol: F1/F2 = 4m1/m2. 30. Un cuerpo tiene una masa de 10 kg. Si se traslada a la superficie de un planeta con una masa diez veces inferior a la de la Tierra pero de igual radio, ¿cuál será la fuerza con que es atraído? Sol: Fp = 9’8N. 31. Un astronauta cuyo peso en la Tierra es 700 N, aterriza en Venus y mide su peso, observando que es 600 N. Si se considera que el radio de Venus es similar al de la Tierra (6378 km), calcula la masa de 24 24 Venus sabiendo que la de la Tierra es 5’98·10 kg. Sol: Mv = 5’12·10 kg. 32. Calcula la velocidad con que gira la Tierra alrededor del Sol, y la de la Luna alrededor de la Tierra. 30 24 4 3 Datos: MS = 2·10 kg, MT = 5’98·10 kg. Sol: vT = 2’98·10 m/s, vL = 1’01·10 m/s. 33. Un satélite geoestacionario es aquel que siempre tiene la misma posición respecto a la Tierra. ¿A qué 7 altura se debe situar un satélite para que sea de este tipo? Sol: r = 4’22·10 m sobre el ECUADOR. 34. La masa del Sol es 324440 veces mayor que la de la Tierra y su radio 108 veces mayor que el terrestre. ¿Cuál sería la altura alcanzada por un proyectil que se lanzase verticalmente hacia arriba desde la superficie solar, a una velocidad de 720 km/h?¿Cuántas veces es mayor el peso de un cuerpo en el Sol que en la Tierra? Datos: g0T = 9’8 N/kg. Sol: h = 73’4 m; PS = 27’8PT. 35. Supuesta la Tierra esférica de radio RT y homogénea (densidad constante), calcular la profundidad a que debe introducirse un cuerpo par aque su peso sea el mismo que a una altura h sobre su superficie. 3 2 Sol: h’ = RT - RT /( RT + h) . 36. Sabiendo que en un año la Luna recorre 13 veces su órbita alrededor de la Tierra, determinar la distancia entre la Tierra y nuestro satélite, suponiendo la órbita circular. Datos: RT = 6370 km, g0 = 9’8 -2 8 ms . Sol: r = 3’9·10 m. 8

37. Suponiendo que la órbita terrestre es circular de 1’495·10 km de radio y que la Tierra invierte 365’25 días en su revolución completa, determinar la intensidad del campo gravitatorio solar en un punto que diste del centro del Sol la centésima parte de lo que dista de nuestro planeta. Datos: dT-S ≡ d = 8 -2 1’495·10 km. Sol: g = 59’26 ms .

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