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• Diego P.

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B-4-5. Considere el controlador neumático de la figura. Suponiendo que el relevador neumático tiene las características de que p c = Kpb (donde K > 0), determine la acción de control de este controlador. La entrada al controlador es e y la salida p c.

Se define la presión de aire en los fuelles como 𝑝̅𝑐 + 𝑝0 . Luego:

𝑐ⅆ𝑝0 = 𝑔 ⅆ𝑡 ,

𝑔=

𝑝𝑐 −𝑝0 𝑅

Por lo tanto, despejando tenemos que:

𝑐

ⅆ𝑝0 ⅆ𝑡

=

𝑝𝑐 −𝑝0 𝑅

𝑅𝑐

ó

ⅆ𝑃0 ⅆ𝑡

+ 𝑝0 = 𝑝𝑐

(1)

Definimos el área de los fuelles como A y su desplazamiento como 𝑌̅ + 𝑦. Luego notando que p0A = ky, la ecuación (1) se convierte en:

𝑅𝐶

𝑘 ⅆ𝑦 𝐴 ⅆ𝑡

𝑘

+ 𝑦 = 𝑝𝐶 𝐴

ó

𝑅𝐶

Así:

𝐴 𝑌 (𝑠) 𝑘 = 𝑃𝐶 (𝑠) 𝑅𝐶𝑠 + 1

ⅆ𝑦 ⅆ𝑡

𝐴

+ 𝑦 = 𝑝𝐶 𝑅

𝑃𝐶 (𝑠) 𝑏 𝑘1 𝑘 = 𝐴∕𝐾 𝐸 (𝑠) 𝑎𝑡𝑏 1 + 𝑘 𝑘 𝑎 1 𝑎 + 𝑏 𝑅𝐶𝑠 + 1 Asumiendo que K1K >> 1, entonces:

𝑝𝐶 (𝑠) 𝑏 𝑎 + 𝑏 𝑅𝐶𝑠 + 1 𝑏𝑘 = = ( ) (𝑅𝐶𝑠 + 1) 𝐴 𝐸 (𝑠) 𝑎+𝑏 𝑎 𝑎𝐴 𝑘 Por lo tanto, la acción de control es proporcional-suma-derivativa. El controlador es un controlador proporcional-suma-derivativo.

B-4-6. La Figura muestra un controlador neumático. La señal e es la entrada y el cambio en la presión de control p c es la salida. Obtenga la función de transferencia Pc(s)/E(s). Suponga que el relé neumático tiene la característica de que p=Kpb, donde K>0.

𝑃𝐶 (𝑠) 𝑏 𝑘1 𝑘 = ̅̅̅̅̅̅ 1 𝐸 (𝑠) 𝑎 + 𝑏 1 + 𝑘1 𝑘𝑎 (𝐴 − 𝐴 ) 𝑎 + 𝑏 𝑘 𝑘 𝑅𝐶𝑠 + 1 Si K1K >> 1, entonces: 𝑃𝐶 (𝑠) 𝑏 𝑘1 𝑘 𝑏𝑘 1 = = ( )(1 + ) ̅̅̅̅̅̅ 𝑎𝐴 𝑅𝑐𝑠 𝐸 (𝑠) 𝑎 + 𝑏 𝑘1 𝑘𝑎 𝐴 𝑅𝐶𝑠 𝑎 + 𝑏 𝑘 𝑅𝐶𝑠 + 1