Ejercicio resuelto LGR PUCV
Guía de ejercicios – Lugar geométrico de las raíces Trace el lugar geométrico de las raíces dado la siguiente función de
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Guía de ejercicios – Lugar geométrico de las raíces Trace el lugar geométrico de las raíces dado la siguiente función de transferencia de lazo abierto: ( )
( )(
(
) )
Desarrollo: Paso 1: Dejar la ecuación característica de la forma: ( ) Notar que la ganancia del sistema es mayor que cero, por lo que el método de Evans se utiliza estándar. Paso 2: En este paso se debe encontrar los segmentos del eje real donde existe LGR. Para encontrar los segmentos que pertenecen a LGR se sigue el criterio del ángulo como sigue: (
)
(
)
El criterio de selección dice “el lugar geométrico de las raíces en el eje real siempre está en una sección del eje real a la izquierda de un número impar de polos y ceros”. Entonces se colocaran puntos de prueba para verificar que se cumpla la condición: Punto 1: como no hay polos ni ceros, no se cumple la condición del ángulo, porque la sumatoria de ángulos de polos y ceros es 0°. No existe segmento LGR ∑
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), Punto 2: en este punto existe un número impar de raíces dada por la existencia de ( con lo cual, el aporte angular es de -180°, cumpliendo el criterio del ángulo. Por lo tanto existe segmento LGR. ∑
Punto 3: el siguiente punto de análisis está en el segmento comprendido entre s y ( ).Como existe una cantidad par de polos y ceros, no se cumple el criterio del ángulo por lo que en este segmento no existe LGR. ∑
∑
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Punto 4: hasta este punto, existe un número impar de polos y ceros, en donde el aporte angular de los polos complejos conjugados es de 360° entre los dos y el aporte individual )y( )ys de ( ∑
(∑
∑
)
∑
∑
Paso 3: En este paso se deben determinar las asíntotas y los ángulos que posee. Como en un principio existe ganancia negativa, solo se ve modificado la determinación del ángulo que posee la asíntota. ∑
∑
La asíntota está centrada en Control Automático - Prof. Cristian Castro Lagos
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N: cantidad de polos M: cantidad de ceros (
)
(
)
Como N-M=3 se determinan 3 segmentos angulares ( ) ( ) ( )
Con esto la asíntota queda determinada de la siguiente manera:
Notar que LGR debe ser simétrico con respecto al eje horizontal
Paso 4: Utilizando el criterio de estabilidad de Routh – Hurwitz, de determina el punto donde atraviesa el eje imaginario. Dada la ecuación característica del sistema en lazo cerrado: ( )
(
)
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(
(
1
12
K
3
K-16
0
K
0
0
0
0
0
(
)(
))
( (
)) )
K
Para que el sistema sea estable, debe tener nulos cambios de signos: (
(
(
)(
))
( (
)) )
Intersectando intervalos, se obtiene un rango valores de K donde el sistema es estable como sigue:
Para encontrar los puntos de cruce con el eje imaginario se utiliza el valor máximo que tiene K en este caso es 35,68 y se evalúa en la ecuación característica. Puede determinarse de forma expedita utilizando el termino par de la ecuación característica (cada fila de R-H es factor de la ecuación característica). Para este caso se utiliza el término cuadrático como sigue,
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(
))
(
(
K
0
))
Evaluando en K=35,68 se obtienen los puntos de cruce con el eje imaginario.
), debe Pero como un punto de salida está en una región inestable dado por s y ( cruzar el eje imaginario dos veces, esto quiere decir que debe pasar por el mínimo de ganancia a la región estable y volver con el máximo de ganancia a la región inestable, por lo que se debe evaluar los dos extremos de ganancia establecidos Evaluando en K=23,3 se obtienen los puntos de cruce con el eje imaginario.
Paso 5: Determinar el punto de salida y/o llegada del eje real (si los hay) Se reordena la ecuación característica ( ) Donde ( ) es: ( )
( )
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Guía de ejercicios – Lugar geométrico de las raíces ( ) Derivando
( )
(
)( (
) )
, de tal forma de encontrar el máximo punto correspondiente a la salida
y/o llegada y Cabe señalar que para cuando la ganancia es positiva el camino que siguen las raíces es desde un polo a un cero existente o en el infinito. Para -2,26, como se encuentra en un segmento entre dos ceros (uno real y uno en el infinito), será el punto de llegada.
Para 0,44, como se encuentra en un segmento entre dos polos reales, por lo tanto será el punto de salida.
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Se traza el segmento LGR con punto de salida en 0,44, el cual, dada la ganancia 23,3 cruza el eje imaginario hacia le región estable en , para volver a la región instable cuando la ganancia toma un valor de 35,68 cruzando el eje imaginario en , dirigiéndose hacia ceros en el infinito, siguiendo las asíntotas.
Paso 6: Determinar el ángulo de salida y de llegada desde un polo y el ángulo de llegada a un cero. Para determinar el ángulo de salida de una raíz, la sumatoria de aportes angulares debe ser múltiplo impar de 180°.
∑
∑
Se calculará el ángulo de salida del polo complejo conjugado (
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).
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( ( )
(
)
(
))
(
)
Por lo tanto, el ángulo de salida para los polos complejos conjugados es
Obtenidos los ángulos de salida de cada polo complejo conjugado, se traza el segmento LGR. Por una parte, el polo positivo se dirige al cero real, y el polo negativo se dirige al cero en el infinito. Ambos siguen los caminos antes mencionados, cuando llegan al punto de llegada.
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Finalmente, el LGR queda trazado de la siguiente manera:
Root Locus 20
15
Imaginary Axis (seconds-1)
10
5
0
-5
-10
-15
-20 -20
-15
-10
-5
0
Real Axis (seconds -1)
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