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La potencia P generada por un cierto diseño de aerogenerador depende de su diámetro D, la densidad del aire ρ, la velocidad del viento V, la velocidad de giro Ω y el número de palas n. (a) Escriba esta relación en forma adimensional. Un modelo de 50 cm de diámetro del aerogenerador, que gira a 4800 rpm, desarrolla 2,7 kW a nivel del mar cuando V = 40 m/s. (b) ¿Qué potencia desarrollará un prototipo geométrica y dinámicamente semejante de 5 m de diámetro con vientos de 12 m/s a 2000 m de altura estándar? (c) ¿Cuál es la velocidad de giro apropiada para el prototipo? SOLUCION

P=Potencia ---------------------------------------------------------------------------> P=M L2 T −3 D=Diámetro --------------------------------------------------------------------------> D=L ρ =Densidad -------------------------------------------------------------------------->

ρ=M L−3 V=Velocidad --------------------------------------------------------------------------> −1 V =L T ω =velocidad de giro ----------------------------------------------------------------> ω=T

−1

n= número de palas -----------------------------------------------------------------> n=1 Parte a) Mediante el teorema de pi de Buckingham  Escogemos las tres variables diferentes dimensionalmente: D=L

ρ=M L−3 V =L T

−1

A. π1

π1

¿ D a ρb V c ω b

c

¿ M 0 L0 T 0 =( La ) ( M L−3 ) ( L T −1 ) T −1

Igualando exponentes tenemos las siguientes ecuaciones: a + c - 3b = 0 -------> a = 1 b=0 -c – 1= 0 ----> c = -1 π1

B. π2

¿

Dω V

π2

¿ D a ρb V c n b

c

¿ M 0 L0 T 0 =( La ) ( M L−3 ) ( L T −1 )

Igualando exponentes tenemos las siguientes ecuaciones: a + c - 3b = 0 -------> a = 0 b=0 c=0 π2

C. π3

¿n

π3

¿ D a ρb V c P b

c

¿ M 0 L0 T 0 =( La ) ( M L−3 ) ( L T −1 ) M L2 T −3

Igualando exponentes tenemos las siguientes ecuaciones: a + c - 3b + 2 = 0 --------> a = -2 b + 1= 0 ----> b = -1 -c – 3= 0 ----> c = -3 π3

¿

P D ρV3 2

Concluimos:

π 1=f (π 2 , π 3)

Dω P =f ( n , 2 ) V D ρV 3

Parte b) Datos  Modelo D = 50 cm V =40 m/ s P = 2.7 KW ρ = 1.2254

 Prototipo D = 500 cm V =12 m/s

ρ = 1.0076

Por la relación antes calculada tenemos:

P D ρV3 2

2.7 50 (1.2254 ) 403 2

=

P 500 (1.0076)123 2

P = 5.9943 KW

Parte c) Datos  Modelo D = 50 cm V =40 m/ s ω = 4800 rpm

 Prototipo D = 500 cm V =12 m/s

Por la relación antes calculada tenemos: Dω V (50)4800 40

=

ω=144 rpm

(500)ω 12