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Paso 4 Ejecutar Actividades aplicando las Herramientas del Procesamiento Digital de Señales

WILMAR IVAN GONZALEZ MACIAS COD: 1073506530 GRUPO_19

MAURICIO ALBERTO GARCIA TUTOR

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA PROCESAMIENTO DIGITAL DE SEÑALES OCTUBRE 2017

ACTIVIDADES A DESARROLLAR 

Cada estudiante escogerá una (1) ecuación de diferencias de las expuestas a continuación, luego reportará en el foro su decisión, esto con el fin de que cada estudiante tenga una ecuación diferente. La ecuación de diferencia seleccionada es la No. 2: 𝑦[𝑛] = 𝑏0 𝑥[𝑛] + 𝑏1 𝑥[𝑛 − 1]



Cada estudiante realizará el diagrama de bloques de su ecuación de diferencia en la página de internet: https://www.draw.io/ Diagrama de bloque:



Cada estudiante realizará la transformada Z de la ecuación de diferencias. Esta debe realizarse en el editor de ecuaciones de Word. No se aceptan pantallazos. Teniendo en cuenta las propiedades de la transformada Z: 𝑥 (𝑛 − 𝑘) 𝑥(𝑛) 𝑦(𝑛)

TZ = x(z)Z −k TZ = x(z) TZ = y(z)

Realizamos la transformada Z de la ecuación de diferencias: 𝑦[𝑛] = 𝑏0 𝑥[𝑛] + 𝑏1 𝑥[𝑛 − 1] 𝑦[𝑧] = 𝑏0 𝑥[𝑧] + 𝑏1 𝑥[𝑧] 𝑍 −1 

Una vez se tenga la transformada Z de la ecuación de diferencia, cada estudiante hallará la función de transferencia del sistema H(Z). Esto también se realizará con el editor de ecuaciones de Word. Recordar que la función de transferencia es: 𝐻[𝑍] =

𝑌(𝑍) 𝑋(𝑍)

Hallamos la función de transferencia del sistema H(Z): 𝑦[𝑧] = 𝑏0 𝑥[𝑧] + 𝑏1 𝑥[𝑧] 𝑍 −1 Aplicamos factor común: 𝑦[𝑧] = 𝑥[𝑧][𝑏0 + 𝑏1 𝑍 −1 ] Despejamos: 𝑦[𝑧] = [𝑏0 + 𝑏1 𝑍 −1 ] 𝑥[𝑧] 𝑦[𝑧] = [𝑏0 + 𝑏1 𝑍 −1 ] = 𝐻[𝑍] 𝑥[𝑧]



Una vez se tenga la función de transferencia, se hallará la respuesta en frecuencia del sistema, remplazando: 𝑍 = 𝑒 𝑗𝑤 Hallamos la respuesta en frecuencia del sistema: 𝐻(𝑍) = 𝑏0 + 𝑏1 𝑍 −1 Reemplazamos: 𝐻(𝑤) = 𝑏0 + 𝑏1 𝑒 −𝑗𝑤



Una vez se cuente con la respuesta en frecuencia del sistema, se hallará la magnitud de la respuesta en frecuencia, para ello se aplicará la identidad de Euler, que según el caso se podría utilizar cualquiera de las siguientes ecuaciones: 𝑒 𝑗𝑤 = cos(𝑤) + 𝑗𝑠𝑖𝑛(𝑤) 𝑒 −𝑗𝑤 = cos(𝑤) − 𝑗𝑠𝑖𝑛(𝑤) Para hallar la función de magnitud, recordar utilizar la siguiente ecuación: [𝑎 + 𝑏𝑗] = √a2 + b 2 Donde a y b son los coeficientes del número imaginario (𝒂 + 𝒃𝒋) Hallamos la magnitud de la respuesta en frecuencia, aplicando la identidad de Euler: 𝐻(𝑤) = 𝑏0 + 𝑏1 𝑒 −𝑗𝑤 Reemplazamos: 𝐻(𝑤) = 𝑏0 + 𝑏1 cos(𝑤) − 𝑗𝑠𝑖𝑛(𝑤) Aplicamos ley distributiva: 𝐻(𝑤) = 𝑏0 + 𝑏1 cos(𝑤) − 𝑏1 𝑗𝑠𝑖𝑛(𝑤) Agrupamos números reales e imaginarios: 𝐻(𝑤) = 𝑏0 + 𝑏1 cos(𝑤) − 𝑗𝑏1 𝑠𝑖𝑛(𝑤)

𝐻(𝑤) = 𝑏0 + 𝑏1 cos(𝑤) − 𝑗𝑏1 𝑠𝑖𝑛(𝑤) Real

Imaginario

A

B

Hallamos la función de magnitud, utilizando la siguiente ecuación: [𝑎 + 𝑏𝑗] = √a2 + b 2 𝐻(𝑤) = √A2 + B2 Reemplazamos: 2

𝐻(𝑤) = √(𝑏0 + 𝑏1 cos(𝑤)) + (−𝑏1 𝑠𝑖𝑛(𝑤))2



Se hallará la función que represente la respuesta en Fase del sistema, recordar utilizar la siguiente ecuación: 𝑏 𝜃 (𝑎 + 𝑏𝑗) = arctan ( ) 𝑎 Donde a y b son los coeficientes del número imaginario (𝒂 + 𝒃𝒋) Hallamos la función que represente la respuesta en fase del sistema: −𝑏1 𝑠𝑖𝑛(𝑤) 𝜃 (𝑎 + 𝑏𝑗) = arctan ( ) 𝑏0 + 𝑏1 cos(𝑤)



Realizar simulación en Matlab (Simulink), para hallar los siguientes diagramas:  Respuesta al impulso del sistema  Diagrama de polos y ceros  Diagrama de Bode