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• Bruno Quinchagual Cid

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Ejercicio 2_1: Dibujar el diagrama Momento curvatura de la viga mostrada en la figura inferior. Utilice la curva tension-deformacion del hormigon comprimido propuesta por Todeschini, y la curva tension-deformacion elasto plastica perfecta para el acero traccionado.

Definicion del problema Datos relevantes: geometria, cuantias de acero, propiedades mecanicas. Datos irrelevantes: No hay. Datos faltantes: Curvas tension-deformacion de los materiales. No se indican la cantidad de puntos mas alla de la fluencia a encontrar Variables a calcular: La capacidad de momento nominal (Mn) y su curvatura asociada ( Φ ) para al menos 3 fases del hormigon. Planificacion del problema Paso 1: Calcular Mn y Φ asociado al punto de primer agrietamiento, utilizando seccion transformada y teoria de flexion elastica. Paso 2: Calcular Mn y Φ asociado al punto de primera fluencia, asumiendo en principio una distribucion lineal de tensiones en el hormigon comprimido (se debe comprobar) y despreciando la resistencia a traccion del hormigon. Paso 3: Calcular Mn y Φ asociado a un punto mas alla de la fluencia, utilizando el metodo propuesto por Park y Paulay (se asumira εcm igual a 0.003). Ejecucion del problema (unidades en kgf y cm) Paso1: (punto primer agrietamiento) h ≔ 60

bw ≔ 30

d ≔ 55

diam ≔ 2.5

2

diam As ≔ 3 ⋅ ⋅ ――― = 14.726 4 Es ≔ 2100000 ―― 2

2

f'c ≔ 250 ―― 2

modulo de elasticidad del acero

fy ≔ 4200 ―― 2

Ec ≔ 15100 ⋅

2

0.5

‾‾ f'c ⋅ 1 ―― = 238751.963 ―― 2

Es n≔― = 8.796 Ec

modulo de elasticidad del hormigon

Se trabaja como seccion equivalente de hormigon en rango elastico El centroide corresponde al eje neutro y se utilizan ecuaciones de flexion de Navier. Debemos calcular centroides, inercias, deformaciones unitarias, tensiones, fuerzas, momentos, curvaturas. 2

Ag ≔ bw ⋅ h = 1800

area de hormigon 2

As_equiv ≔ (n − 1) ⋅ As = 114.802 ⎛ ⎞ h + As_equiv ⋅ d⎟ ⎜⎝Ag ⋅ ― 2 ⎠ = 31.499 yg ≔ ――――――― Ag + As_equiv

area de acero equivalente, transformado en hormigon

eje neutro medido desde arriba

2 2 ⎛h ⎞ 3 1 Ig ≔ ― ⋅ bw ⋅ h + Ag ⋅ ⎜―− yg⎟ + As_equiv ⋅ ⎛⎝d − yg⎞⎠ = 607449.256 12 ⎝2 ⎠

4

inercia de la seccion transformada de hormigon equivalente fr ≔ 2 ⋅

2

0.5

tension de rotura del hormigon en traccion (segun ACI) deformacion en fibra de hormigon mas traccionada (ley de Hooke)

‾‾ f'c ⋅ 1 ―― = 31.623 ―― 2

fr −4 = 1.32 ⋅ 10 εct ≔ ― Ec yg −4 εc ≔ εct ⋅ ――= 1.46 ⋅ 10 h − yg

deformacion en fibra de hormigon mas comprimida (semejanza de triangulos en diagrama de deformaciones)

fc ≔ Ec ⋅ εc = 34.949 ―― 2

tension en el hormigon comprimido (ley de Hooke)

⎛⎝d − yg⎞⎠ −4 = 1.09 ⋅ 10 εs ≔ εc ⋅ ――― yg

deformacion del acero traccionado (semejanza triangulos en diagrama de deformaciones)

fs ≔ Es ⋅ εs = 229.35 ―― 2

tension en el acero traccionado (ley de Hooke)

1 Cc ≔ ―⋅ fc ⋅ yg ⋅ bw = 16512.743 2

fuerza de compresion en el hormigon

fs 1 = 13135.284 Tc ≔ ―⋅ fr ⋅ ⎛⎝h − yg⎞⎠ ⋅ bw − As ⋅ ― 2 n

fuerza de traccion en el hormigon

Ts ≔ As ⋅ fs = 3377.46

fuerza de traccion en el acero

Tc + Ts = 16512.743

se comprueba el equilibrio de fuerzas horizontales Cc = Tc+Ts

⎛⎝Ig ⋅ fr⎞⎠ Mcr ≔ ――― = 673981.478 h − yg

⋅

Mcr −6 1 = ⎛⎝4.65 ⋅ 10 ⎞⎠ ―― Φcr ≔ ―― E c ⋅ Ig

momento de agrietamiento, con respecto al centroide, de la fibra de hormigon mas traccionada, utilizando ecuacion Navier curvatura de agrietamiento, sabiendo que para el rango elastico, Ec*Ig es la pendiente del diagrama momento-curvatura

Es conveniente representar graficamente el estado de deformaciones , tensiones y fuerzas en esta fase de primer agrietamiento, para comparar con otras fases posteriormente, y entender el concepto fisico del problema

Profundizacion: Revisar en que puntos del diagrama tensiondeformacion estaria trabajando tanto el hormigon como el acero

Paso 2: (punto primera fluencia) fy εy ≔ ―= 0.002 Es εs ≔ εy = 0.002

deformacion de fluencia (ley de Hooke) deformacion en el acero traccionado (justo fluencia)

fs ≔ fy = 4200 ―― 2

tension en el acero (justo la fluencia)

Se debe calcular la posicion del eje neutro (ahora se denomina k*d), a traves del equilibrio de fuerzas horizontales. Se asumira que la distribucion de tensiones de compresion en el hormigon aun es lineal y que las tensiones de traccion en el hormigon son despreciables (debido al agrietamiento). Se dejan las deformaciones y tensiones del hormigon en funcion de k k⋅d εc (k) ≔ εs ⋅ ――― d−k⋅d fc (k) ≔ Ec ⋅ εc (k)

deformacion en el hormigon mas comprimido en funcion de k (semejanza de triangulos en diagrama de deformaciones unitarias) tension en el hormigon mas comprimido en funcion de k (asumiendo comportamiento lineal, ley de Hooke)

1 Cc (k) ≔ ―⋅ fc (k) ⋅ k ⋅ d ⋅ bw 2

Solver Restricciones

Valores de prueba

Ts ≔ As ⋅ fs = 61850.105

Fuerza en el hormigon comprimido en funcion de k (asumiendo comportamiento lineal) Fuerza en el acero traccionado

k ≔ 0.5

valor para inicializar iteracion de la incognita

Cc (k) ＝ Ts

ecuacion de equilibrio para despejar k

k≔

k = 0.325

(k)

comando para encontrar k

k ⋅ d = 17.899

valor de k y del eje neutro (medido desde arriba)

εc ≔ εc (k) = 9.65 ⋅ 10

−4

deformacion en hormigon mas comprimido

fc ≔ fc (k) = 230.367 ―― 2

tension en el hormigon mas comprimido (ley de Hooke)

Nota: En esta fase se habia supuesto que el hormigon en compresion aun estaba en su rango lineal, por lo que era valida la ley de Hooke y se asumia una distribucion lineal de tensiones. Sin embargo, estos supuestos solo son validos cuando fc < 0.5*f 'c Como en este caso

fc ―= 0.921 f'c

los supuestos pierden validez

No obstante, se terminara este ejercicio suponiendo que los errores asociados no son tan grandes. Al final de este documento, se hara un recalculo de este punto del diagrama momento-curvatura Cc ≔ Cc (k) = 61850.105 Ts = 61850.105

fuerza de compresion en el hormigon fuerza de traccion en el acero

Nota: Observe que hay equilibrio de fuerzas horizontales, Cc=Ts El momento de primera fluencia se puede calcular a traves de la ecuacion de equilibrio de momento, con respecto a cualquier punto. ⎛ d⎞ My ≔ Cc ⋅ ⎜d − k ⋅ ― = 3032737.341 3 ⎟⎠ ⎝

momento de primera fluencia, c/r a posicion de enfierradura traccionada εy −5⎞ 1 ⎛ = ⎝5.39 ⋅ 10 ⎠ ―― curvatura de primera Φy ≔ ――― d−k⋅d fluencia (angulo de diagrama de deformaciones) Resumiendo los resultados de manera grafica, se tiene: ⋅

Profundizacion: Revisar en que puntos del diagrama tension-deformacion estaria trabajando tanto el hormigon como el acero (recordar que este punto se recalculara al final) P

3 (

t

ll d l fl

i

0 003)

Paso 3: (punto mas alla de la fluencia, para εcm =0.003) Se utiliza la curva tension-deformacion para el hormigon en compresion propuesta por Todeschini

Parametros de la curva

⎛⎝εc⎞⎠

f''c ≔ 0.9 ⋅ f'c = 225 ―― 2

maxima tension de compresion (curva Todeschini)

f'c ε0 ≔ 1.71 ⋅ ― = 0.002 Ec

deformacion en el hormigon comprimido, asociado a maxima tension de compresion (curva Todeschini)

⎛ εc ⎞ ⎜―⎟ ⎝ ε0 ⎠ fc ⎛⎝εc⎞⎠ ≔ 2 ⋅ f''c ⋅ ―――― 2 ⎛ εc ⎞ 1 + ⎜―⎟ ⎝ ε0 ⎠

ecuacion de curva tension-deformacion hormigon comprimido (Todeschini)

240 220 200 180 160 140 120

⎛ ⎞ fc ⎛⎝εc⎞⎠ ⎜―― 2 ⎟ ⎝ ⎠

100 80 60 40 20 0 0

0.001

0.002

0.003

⎛ ⎞ εc ⎜―― ⎟⎠ ⎝

0.004

εcm ≔ 0.003

deformacion en el hormigon mas comprimido, mas alla de la fluencia, a evaluar

εcm

⌠ f ⎛ε ⎞ d ε ⌡ c ⎝ c⎠ c 0 α ≔ ――――= 0.798 f''c ⋅ εcm

parametro para fuerza resultante en el hormigon comprimido (Park-Paulay)

εcm

⌠ ε ⋅ f ⎛ε ⎞ d ε ⌡ c c ⎝ c⎠ c 0 γ ≔ 1 − ―――――― = 0.426 ε cm

⎛ ⎞ εcm ⋅ ⌠ ⌡ fc ⎝εc⎠ d εc

parametro para posicion de fuerza resultante en hormigon comprimido (Park-Paulay)

0

(k)

Cc (k) ≔ α ⋅ f''c ⋅ k ⋅ d ⋅ bw

fuerza en el hormigon comprimido en funcion de k (Park-Paulay)

(d − k ⋅ d) εs (k) ≔ εcm ⋅ ―――― k⋅d

deformacion en el acero traccionado en funcion de k (Park-Paulay)

fs (k) ≔ if εs (k) < εy ‖ E ⋅ ε (k) ‖ s s else ‖f ‖ y

Valores de prueba

Ts (k) ≔ As ⋅ fs (k)

Solver Restricciones

⎛⎝fs⎞⎠

Fuerza en el acero traccionado en funcion de k valor para inicializar la iteracion de la incognita

k ≔ 0.1

Cc (k) ＝ Ts (k)

k≔

tension en el acero traccionado en funcion de k. Debe respetar al modelo elasto-plastico

( )

k = 0.209

ecuacion de equilibrio para despejar k

comando para encontrar k

k ⋅ d = 11.484

profundidad del eje neutro (medido desde arriba)

εs (k) = 0.01137

deformacion en el acero traccionado

fs (k) = 4200 ―― 2

tension de traccion en el acero traccionado

tension de compresion en el hormigon en fibra mas comprimida

fc ⎛⎝εcm⎞⎠ = 198.037 ―― 2 Cc ≔ Cc (k) = 61850.105

fuerza de compresion en el hormigon

Ts ≔ As ⋅ fs (k) = 61850.105

fuerza de traccion en el acero

Mn ≔ Cc ⋅ (d − γ ⋅ k ⋅ d) = 3099130.83

⋅

momento resistente nominal de la seccion, c/r a la enfierradura en traccion

εcm ⎛ −4 1 = ⎝2.612 ⋅ 10 ⎞⎠ ―― Φult ≔ ―― k⋅d curvatura ultima de la seccion

Graficando el estado de deformaciones, tensiones y fuerzas en esta fase, se tiene:

Respuesta al problema: ⎡ 0 ⎤ ⎡ 0 ⎤ ⎢ Mcr ⎥ ⎢ 7.429 ⎥ M≔⎢ = My ⎥ ⎢ 33.43 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ Mn ⎦ ⎣ 34.162 ⎦

⋅

⎤ ⎡ 0 ⎤ ⎡0 ⎢ Φcr ⎥ ⎢ 4.647 ⋅ 10 −4 ⎥ 1 Φ≔⎢ =⎢ −3 ⎥ ― Φy ⎥ 5.391 ⋅ 10 ⎥ ⎢ ⎢ ⎥ ⎣ Φult ⎦ ⎣ 2.612 ⋅ 10 −2 ⎦

A continuacion se muestra el diagrama momento curvatura resumido de la viga

35 31.5 28 24.5 21 17.5

M (

14

⋅

)

10.5 7 3.5 0 0

5⋅10⁻³

1⋅10⁻²

1.5⋅10⁻²

2⋅10⁻²

2.5⋅10⁻²

3⋅10⁻²

⎛1⎞ Φ ⎜―⎟ ⎝ ⎠

CALCULOS ADICIONALES DE PROFUNDIZACION Caso 1: Calculo exacto de punto de primera fluencia Como se menciono anteriormente, en el punto de primera fluencia se asumio que la distribucion de tensiones en el hormigon comprimido era lineal. Esto es valido para valores de fc < 0.5 f 'c, lo cual no se cumplio en el ejercicio. Una manera mas exacta de calcular este punto es utilizar la curva teorica de tension-deformacion en el hormigon, utilizando el metodo de Park-Paulay deformacion en el acero traccionado

εs ≔ εy = 0.002

d εcm (k) ≔ εs ⋅ k ⋅ ―――― deformacion en el hormigon mas (d − k ⋅ d) comprimido en funcion de k (semejanza de triangulos) εcm (k))

⌠ f ⎛ε ⎞ d ε ⌡ c ⎝ c⎠ c 0 α (k) ≔ ――――― f''c ⋅ εcm (k)

parametro α en funcion de k

εcm (k))

⌠ ε ⋅ f ⎛ε ⎞ d ε ⌡ c c ⎝ c⎠ c 0 γ (k) ≔ 1 − ――――――― ε (k)) cm

⎛ ⎞ εcm (k) ⋅ ⌠ ⌡ fc ⎝εc⎠ d εc 0

parametro γ en funcion de k

Cc (k) ≔ α (k) ⋅ f''c ⋅ k ⋅ d ⋅ bw

Solver Restricciones

Valores de prueba

Ts ≔ As ⋅ fy = 61850.105

fuerza de compresion en el hormigon en funcion de k fuerza de traccion en el acero en funcion de k

k ≔ 0.1

Cc (k) ＝ Ts

k≔

( )

profundidad del eje neutro (medida desde k = 0.338 k ⋅ d = 18.575 arriba) −3 εcm ≔ εcm (k) = 1.02 ⋅ 10 deformacion en fibra de hormigon mas comprimida fc ⎛⎝εcm⎞⎠ = 193.527 ―― tension en fibra de hormigon 2 mas comprimida α ≔ α (k) = 0.493 parametro α para estimar la fuerza de compresion resultante γ ≔ γ (k) = 0.352 parametro γ para estimar la posicion de la fuerza de compresion Cc ≔ Cc (k) = 61850.105

fuerza de compresion en el hormigon

⎛ d⎞ = 3018807.85 My ≔ Cc ⋅ ⎜d − k ⋅ ― 3 ⎟⎠ ⎝

⋅

momento de primera fluencia

εcm ⎛ −5 1 Φy ≔ ―― = ⎝5.491 ⋅ 10 ⎞⎠ ―― curvatura de fluencia k⋅d Como se puede observar, los resultados cambian levemente ya que : k ⋅ d y εcm son un poco mas grandes, mientras que fc es mas pequeño. De esta forma, se obtienen valores de My mas pequeños y de Φy mas grandes

Caso 2: Punto del diagrama momento-curvatura cuando la curva del hormigon en compresion pierde su linealidad De manera aproximada se puede decir que el hormigon pierde su linealidad cuando fc ＝ 0.5 ⋅ f'c . Esta condicion tambien se denomina tension admisible del hormigon en compresion fc ≔ 0.5 ⋅ f'c = 125 ―― 2

tension de compresion en fibra mas comprimida

fc −4 εc ≔ ― = 5.24 ⋅ 10 Ec

deformacion en fibra de hormigon mas comprimida (ley de Hooke)

(d − k ⋅ d) εs (k) ≔ εc ⋅ ―――― k⋅d fs (k) ≔ Es ⋅ εs (k) 1 Cc (k) ≔ ―⋅ fc ⋅ k ⋅ d ⋅ bw 2

fuerza de traccion en el acero en funcion de k

Valores de prueba

Ts (k) ≔ As ⋅ fs (k)

Solver Restricciones

deformacion en el acero traccionado en funcion de k tension en el acero traccionado en funcion de k fuerza de compresion en el hormigon en funcion de k

k ≔ 0.1

Cc (k) ＝ Ts (k)

k≔

( )

k = 0.325

k ⋅ d = 17.899

εs ≔ εs (k) = 1.09 ⋅ 10

−3

fs ≔ fs (k) = 2278.972 ―― 2

profundidad del eje neutro (medido desde arriba) deformacion en acero traccionado tension en acero traccionado

Cc ≔ Cc (k) = 33560.635

fuerza de compresion en hormigon

Ts ≔ Ts (k) = 33560.635

fuerza de traccion en acero

⎛ d⎞ Madm ≔ Cc ⋅ ⎜d − k ⋅ ― = 1645600.924 3 ⎟⎠ ⎝

⋅

εc −5 1 Φadm ≔ ―― = ⎛⎝2.93 ⋅ 10 ⎞⎠ ―― k⋅d curvatura admisible

momento admisible de la seccion, para el cual ambos materiales estan en rango lineal y elastico

El diagrama momento curvatura de la viga, que toma en cuenta los 2 ultimos casos, tiene la siguiente forma: ⎤ ⎡ 0 ⎤ ⎡0 −4 ⎥ ⎢ ⎢ Φcr ⎥ 4.65 ⋅ 10 ⎢ −3 ⎥ 1 ⎥ ⎢ Φ ≔ Φadm = ⎢ 2.93 ⋅ 10 ⎥ ― ⎥ ⎢ −3 Φ ⎢ y ⎥ ⎢ 5.49 ⋅ 10 ⎥ −2 ⎣ Φult ⎦ ⎢⎣ 2.61 ⋅ 10 ⎥⎦

⎡ 0 ⎤ ⎡ 0 ⎤ ⎢ Mcr ⎥ ⎢ 7.429 ⎥ M ≔ ⎢ Madm ⎥ = ⎢ 18.14 ⎥ ⎥ ⎢ ⎢ 33.277 ⎥ My ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ Mn ⎦ ⎣ 34.162 ⎦

⋅

35 31.5 28 24.5 21 17.5

M (

14 10.5 7 3.5 0 0

0.003

0.005

0.008

0.01

0.013

0.015

0.018

0.02

0.023

0.025

0.028

⎛1⎞ Φ ⎜―⎟ ⎝ ⎠ Un parametro interesante de calcular es la ductilidad de curvatura, definida por : es conveniente que las vigas tengan Φult ductilidades de curvatura lo mas grandes μΦ ≔ ―― = 4.758 Φy posibles, para evitar fallas fragiles

⋅

)

TAREA: REPETIR EL EJERCICIO PARA LAS SIGUIENTES VIGAS