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• luis

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Problema N°8: Una barra escalonada empotrada en sus extremos rígidamente está cargada con una fuerza P = 200KN en la sección m y con una fuerza 4P en la sección n-n a lo largo de eje de la barra hay un orificio pasante de diámetro do = 2cm; los diámetros exteriores de los escalones son: D1 = 6cm, D2 = 4cm y D3 = 8cm. El material es de acero, E = 2,1x105MPa. Determinar las reacciones en los apoyos A y B, construir los diagramas de fuerzas longitudinales N, de tensiones normales y de los desplazamientos longitudinales de las secciones transversales de la barra

Nos piden: a) Determinar las reacciones en los apoyos A y B. b) construir los diagramas de fuerzas longitudinales N, de tensiones normales y de los desplazamientos longitudinales. Dato. P = 200KN do = 2cm D1 = 6cm, D2 = 4cm y D3 = 8cm E = 2,1x105MPa Solución. a) DCL.

∑ 𝐹𝑦 = 0 𝑅𝐴 + 𝑅𝐵 = 5𝑃 . . . (1) Ecuación de compatibilidad en A-B. 𝛿𝐴𝐵 = 0 𝛿1 + 𝛿2 + 𝛿3 = 0 … (2) 𝛿1 =

𝑅𝐴(20𝑐𝑚) 𝜋 𝐸 4 (𝑑12 − 𝑑02 )

𝛿2 =

(𝑅𝐴 − 𝑃)(10𝑐𝑚) 𝜋 𝐸 4 (𝑑22 − 𝑑02 )

𝛿3 =

(𝑅𝐴 − 𝑃)(20𝑐𝑚) 𝜋 𝐸 4 (𝑑32 − 𝑑02 )

𝛿3 =

(𝑅𝐴 − 5𝑃)(20𝑐𝑚) 𝜋 𝐸 4 (𝑑32 − 𝑑02 )

En (2) (𝑅𝐴 − 𝑃)(10𝑐𝑚) (𝑅𝐴 − 𝑃)(20𝑐𝑚) (𝑅𝐴 − 5𝑃)(20𝑐𝑚) 𝑅𝐴(20𝑐𝑚) + 𝜋 + 𝜋 + =0 𝜋 𝜋 𝐸 (𝑑12 − 𝑑02 ) 𝐸 (𝑑22 − 𝑑02 ) 𝐸 (𝑑32 − 𝑑02 ) 𝐸 (𝑑32 − 𝑑02 ) 4 4 4 4 Reemplazando valores. (𝑅𝐴 − 200𝑘𝑁). 10𝑐𝑚 (𝑅𝐴 − 200𝐾𝑁). 20𝑐𝑚 (𝑅𝐴 − 5(200𝐾𝑁)(20𝑐𝑚) 𝑅𝐴. 20𝑐𝑚 + + + 2 2 2 (6 − 2 )𝑐𝑚 (42 − 22 )𝑐𝑚2 (82 − 22 )𝑐𝑚2 (82 − 22 )𝑐𝑚2 =0 𝑅𝐴 = 266,67𝑘𝑁

Reemplazando en (1) 𝑅𝐵 + 266.67𝐾𝑁 = 5(200𝐾𝑁) 𝑅𝐵 = 733.33𝐾𝑁

b)

Calculando esfuerzo para cada tramo.

2666.67𝑘𝑁 σ1 = 𝜋 = 106.10𝑀𝑃𝑎 (62 − 22 )𝑐𝑚2 4 σ2 =

2666.67𝑘𝑁 − 200𝐾𝑁 = 70.74𝑀𝑃𝑎 𝜋 2 (4 − 22 )𝑐𝑚2 4

σ3 =

2666.67𝑘𝑁 − 200𝐾𝑁 = 14.15𝑀𝑃𝑎 𝜋 2 (8 − 22 )𝑐𝑚2 4

σ4 =

2666.67𝑘𝑁 − 5(200𝐾𝑁) = 155.62𝑀𝑃𝑎 𝜋 2 (8 − 22 )𝑐𝑚2 4

Calculando deformación para cada tramo.

2666.67𝑘𝑁(20𝑐𝑚) 𝛿1 = 𝜋 = 10.01. 10−3 𝑐𝑚 (62 − 22 )𝑐𝑚2 (2,1x105 MPa) 4 (2666.67𝑘𝑁 − 200𝐾𝑁)(10𝑐𝑚) 𝛿2 = 𝜋 = 3.37. 10−3 𝑐𝑚 2 2 2 5 (4 − 2 )𝑐𝑚 (2,1x10 MPa) 4 (2666.67𝑘𝑁 − 200𝐾𝑁)(20𝑐𝑚) 𝛿3 = 𝜋 = 1.35. 10−3 𝑐𝑚 (82 − 22 )𝑐𝑚2 (2,1x105 MPa) 4 𝛿4 =

(2666.67𝑘𝑁 − 5(200𝐾𝑁))(20𝑐𝑚) 1.48. 10−3 𝑐𝑚 𝜋 2 2 2 5 (8 − 2 )𝑐𝑚 (2,1x10 MPa) 4