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• Giuliana Castillo

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E.D.P. PARABÓLICA: ECUACIÓN DEL CALOR Métodos Numéricos para Ingenieros (Quinta Edición)-Steven C. Chapra y Raymond P. Canale (Pag.890) EJERCICIO 310 Con el método explícito calcule la distribución de temperatura en una barra larga y delgada que tiene una longitud de 10cm y los siguientes valores: k’=0.49cal/(s.cm.°C), ∆x=2cm y ∆t=0.1s. En t=0, la temperatura de la barra es cero, y las condiciones de frontera se fijan para todos los tiempos en T (0) =100°C y T (10) 50°C. Considere que la barra es de aluminio con C=0.2174cal/(g.°C) y 𝜌 = 2.7g/𝑐𝑚3 . Por lo tanto k=0.49/(2.7.0.2174)=0.835 cm2/s y 𝜆=0.835(0.1)/(2)2=0.020875. Solución:

   

Condiciones Iniciales:

L=10cm ∆x=2cm ∆t=0.1s 𝜆==0.020875

En t=0, T=0, es decir:

Condiciones de Frontera:  

𝑢(𝑥, 0) = 0

T (0, t) =100°C T (10, t) =50°C

©

Paso 1) Realizar la malla correspondiente para i=0,1, 2…n; l=0,1,2…

t

.

.

.

.

.

.

.

. 𝒍𝟑 = 𝟎. 𝟑 𝒍𝟐 = 𝟎. 𝟐

𝒍𝟏 = 𝟎. 𝟏

. 3 .

3 0 © 2 𝑇 0 ©

2

𝑇

𝑇

3 1 © 2 𝑇 1 ©

3 𝑇 2 © 2 𝑇 2 ©

3 3 © 2 𝑇 3 ©

1 0 © 0 𝑇 0 ©

1 1 ©

1 2 © 0 𝑇 2 ©

1 3 © 0 𝑇 3 ©

𝑇

1

𝒍𝟎 = 𝟎

0

𝒙𝟎 = 𝟎

𝑇

0 𝑇 1 ©

𝑇

1

2

𝒙𝟏 = 𝟐

𝒙𝟐 = 𝟒

𝑇

𝑇

3

𝒙𝟑 = 𝟔

.

3 𝑇 4 © 2 𝑇 4 © 1 𝑇 4 ©

3 5 ©. 2 𝑇 5 ©

0 𝑇 4 ©

0 𝑇 5 ©

𝑇

1 𝑇 5 ©

x

4

5

𝒙𝟒 = 𝟖

𝒙𝒏 = 𝒙𝟓 = 𝟏𝟎

Paso 2) Calcular los valores de las temperaturas (puntos interiores en la malla anterior), para cada instante de tiempo t. Para ello tener en cuenta nuestro esquema explícito para la Ecuación del Calor. Considerar i=1, 2…n-1 y l=0,1,2….

Esquema Explícito para la Ecuación del Calor:

𝒍 𝒍+𝟏 𝒍 𝒍 𝒍 𝑻 = 𝑻 + 𝝀 (𝑻 − 𝟐𝑻 + 𝑻 ) 𝒊+𝟏 𝒊 𝒊 𝒊 𝒊−𝟏



En t=0.1s 𝑷𝒂𝒓𝒂 𝒍 = 𝟎 𝒊=𝟏 1 0 0 0 0 𝑇 = 𝑇 + 0.020875 (𝑇 − 2𝑇 + 𝑇 ) 1 1 2 1 0 1 𝑇 = 0 + 0.020875(0 − 2(0) + 100) = 𝟐. 𝟎𝟖𝟕𝟓 1

𝒊=𝟐 1 0 0 0 0 𝑇 = 𝑇 + 0.020875 (𝑇 − 2𝑇 + 𝑇 ) 2 2 3 2 1 1 𝑇 = 0 + 0.020875(0 − 2(0) + 0) = 𝟎 2 𝒊=𝟑 1 0 0 0 0 𝑇 = 𝑇 + 0.020875 (𝑇 − 2𝑇 + 𝑇 ) 3 3 4 3 2 1 𝑇 = 0 + 0.020875(0 − 2(0) + 0) = 𝟎 3

𝒊=𝟒 1 0 0 0 0 𝑇 = 𝑇 + 0.020875 (𝑇 − 2𝑇 + 𝑇 ) 4 4 5 4 3 1 𝑇 = 0 + 0.020875(50 − 2(0) + 0) = 𝟏. 𝟎𝟒𝟑𝟕𝟓 4



En t=0.2s 𝑷𝒂𝒓𝒂 𝒍 = 𝟏 𝒊=𝟏 2 1 1 1 1 𝑇 = 𝑇 + 0.020875 (𝑇 − 2𝑇 + 𝑇 ) 1 1 2 1 0 2 𝑇 = 2.0875 + 0.020875(0 − 2(2.0875) + 100) = 𝟒. 𝟎𝟖𝟕𝟖𝟒𝟔𝟖𝟕 1 𝒊=𝟐 2 1 1 1 1 𝑇 = 𝑇 + 0.020875 (𝑇 − 2𝑇 + 𝑇 ) 2 2 3 2 1 2 𝑇 = 0 + 0.020875(0 − 2(0) + 2.0875) = 𝟎. 𝟎𝟒𝟑𝟓𝟕𝟔𝟓𝟔 2

𝒊=𝟑 2 1 1 3 1 𝑇 = 𝑇 + 0.020875 (𝑇 − 2𝑇 + 𝑇 ) 3 3 4 3 2 2 𝑇 = 0 + 0.020875(1.04375 − 2(0) + 0) = 𝟎. 𝟎𝟐𝟏𝟕𝟖𝟖𝟐𝟖 3

𝒊=𝟒 2 1 1 1 1 𝑇 = 𝑇 + 0.020875 (𝑇 − 2𝑇 + 𝑇 ) 4 4 5 4 3 2 𝑇 = 1.04375 + 0.020875(50 − 2(1.04375) + 0) = 𝟐. 𝟎𝟒𝟑𝟗𝟐𝟑𝟒𝟑 4



En t=0.3s 𝑷𝒂𝒓𝒂 𝒍 = 𝟐 𝒊=𝟏 3 2 2 2 2 𝑇 = 𝑇 + 0.020875 (𝑇 − 2𝑇 + 𝑇 ) 1 1 2 1 0 3 𝑇 = 4.08784687 + 0.020875(0.04357656 − 2(4.08784687) + 100) = 𝟔. 𝟎𝟎𝟓𝟓𝟖𝟖𝟗𝟐 1 𝒊=𝟐 3 2 2 2 2 𝑇 = 𝑇 + 0.020875 (𝑇 − 2𝑇 + 𝑇 ) 2 2 3 2 1 3 𝑇 = 0.04357656 + 0.020875(0.02178828 − 2(0.04357656) + 4.08784687) = 𝟎. 𝟏𝟐𝟕𝟓𝟒𝟓𝟖𝟕 2

𝒊=𝟑 3 2 2 2 2 𝑇 = 𝑇 + 0.020875 (𝑇 − 2𝑇 + 𝑇 ) 3 3 4 3 2 3 𝑇 = 0.02178828 + 0.020875(2.04392343 − 2(0.02178828) + 0.04357656) = 𝟎. 𝟎𝟔𝟒𝟒𝟓𝟓𝟏𝟖 3

𝒊=𝟒 3 2 2 2 2 𝑇 = 𝑇 + 0.020875 (𝑇 − 2𝑇 + 𝑇 ) 4 4 5 4 3 3 𝑇 = 2.04392343 + 0.020875(50 − 2(2.04392343) + 0.02178828) = 𝟑. 𝟎𝟎𝟐𝟕𝟗𝟒𝟒𝟓 4