• Categories
• Ingeniería
• Electrónica
• Tecnología
• Ingeniería Eléctrica

Citation preview

Universidad Nacional Abierta y A Distancia UNAD Escuela de Ciencias Básicas, Tecnología e Ingeniería

Programa. Ingeniería Electrónica Curso Control Análogo Código del Curso.203040

Grupo. 17

Ejercicio 2 – Tarea 1

Estudiante Andrés Duran Valenzuela

Tutor Manuel Enrique Wagner

Neiva, Marzo 10 de 2019

2. Del siguiente sistema

Donde R=4Ω, L=2H y C=0.08F

Analizar su dinámica cuando 𝑣𝑖 (𝑡) es una señal escalón de amplitud 2 voltios. Para ello se debe hallar inicialmente la función de transferencia del sistema. Con la función de transferencia obtenida, analizar la estabilidad del sistema usando el criterio de Routh Hurwitz. Finalmente, diligenciar la siguiente tabla:

Parámetro 𝑉 Función de transferencia 𝑜⁄𝑉 𝑖 Coeficiente de amortiguamiento (ζ) Frecuencia natural no amortiguada 𝜔𝑛

Frecuencia natural amortiguada 𝜔𝑑 Posición de los polos Ganancia Factor de atenuación (σ) Sobreimpulso Tiempo pico Tiempo de subida

Valor 6.25 𝑉𝑜 ⁄𝑉 = 2 =𝐺 𝑖 𝑠 + 2𝑠 + 6.25 ζ = 0.4 𝜔𝑛 = 2.5 𝜔𝑑 = 𝜔𝑛 √1 − ζ2 = 2.2913 𝑠1,2 = −1 ± 𝑗2.2913 𝐾=1 𝜎 = ζ𝜔𝑛 = 1 𝑀𝑝 = 𝑒 −(𝜎/𝜔𝑑 )𝜋 = 0.2538 = 25.38% 𝜋 𝑡𝑝 = = 1.3711 𝜔𝑑 1 𝜔𝑑 𝑡𝑟 = tan−1 ( ) = 0.8652 𝜔𝑑 −𝜎

Tiempo de establecimiento

𝑡𝑠 =

Valor final

4 =4 ζ𝜔𝑛

2 𝜃𝑜 (∞) = lim 𝑠(𝐺) ( ) = 2 𝑠→0 𝑠 𝑠 2 𝑒𝑠𝑠 = lim ( )( ) = 1 𝑠→0 1 + 𝐺 𝑠

Error en estado estacionario

Solución Tenemos R=4Ω, L=2H y C=0.08F

Ahora,

𝑉𝑖 = 𝑉𝑅 + 𝑉𝐿 + 𝑉𝐶

Donde, 𝐿𝑑𝑖

𝑉𝐿 = 𝑉𝑐 =

𝑑𝑡

1 𝐶

= 𝐿𝑆𝐼(𝑠) 1

𝑉𝑜 = 𝐶𝑠 𝐼(𝑠) =

∫ idt =

𝑉𝑅 = 𝐼𝑅 =

𝐼(𝑠)= 𝑉0 𝐶𝑠

𝑅𝐼(𝑆)

Tenemos que 𝑉𝑖 = 𝑅𝑖 +

𝐿𝑑𝑖 1 + ∫idt 𝑑𝑡 𝑐

𝑉𝑖(𝑆) = 𝑅𝑉0 𝐶𝑠 + 𝐿𝑠𝑉0 𝐶𝑠 + 𝑉𝑜 𝑉𝑖 = 𝐿𝑐𝑉𝑜 𝑆 2 + 𝑅𝐶𝑉𝑜 𝑆 + 𝑉𝑜 𝑉𝑜 = (𝐿𝐶𝑆 2 + 𝑅𝐶𝑆 + 1) = 𝑉𝑖

𝑉𝑜 𝑉𝑖

=

1 𝐿𝐶 𝑅 1 𝑆 2 + 𝑆+ 𝐿 𝐿𝐶

=

6.25 𝑆 2 +2𝑆+6.25

= 𝐺 Función de transferencia

Criterio de Routh Hurwitz.

En lazo cerrado.

+-

6.25k 𝑆2 +2𝑆+6.25 6.25𝑘 1+ 2 𝑆 +2𝑆+6.25

S2 S1 S0

=

6.25𝐾 𝑆 2 +2𝑆+(6.25+6.25𝐾)

1 2 6.25+6.25K donde.

6.25 (1+K)>0 1+K>0 K>-1 Coeficiente de amortiguamiento (ζ)

2 ζWn= 2 . ζ=

1 = 𝑊𝑛

0.4

Frecuencia natural no amortiguada 𝜔𝑛 𝑊𝑛2 = 6.25 Wn= √6.25= 2.5

K

G(s)

Frecuencia natural amortiguada 𝜔𝑑 𝜔𝑑 = 𝜔𝑛 √1 − ζ2 𝑊𝑑 = 2.5 ∗ √1 − 0.42 = 2.2913

Posición de los polos 𝑠1,2 = −1 ± 𝑗2.2913

Ganancia 𝐾=1

Factor de atenuación (σ) 𝜎 = ζ𝜔𝑛 = 𝜎 = 0.4 ∗ 2.5 = 1

Sobreimpulso 𝑀𝑝 = 𝑒

−(

𝜎 )𝜋 𝜔𝑑

= 0.2538 = 25.38% −(

𝑀𝑝 = 2.71

1 )3.14 2.2913

=

0.2538 = 25.38%

Tiempo pico 𝑡𝑝 =

𝜋 = 𝜔𝑑

𝑡𝑝 =

3.14 = 1.3711 2.2913

Tiempo de subida 𝑡𝑟 =

1 𝜔𝑑 tan−1 ( ) = 𝜔𝑑 −𝜎

𝑡𝑟 =

1 2.2913 tan−1 ( ) = 0.8652 2.2913 1

Tiempo de establecimiento 𝑡𝑠 =

4 =4 ζ𝜔𝑛

𝑡𝑠 =

4 =4 0.4 ∗ 2.5

Valor final

2 𝜃𝑜 (∞) = lim 𝑠(𝐺) ( ) = 2 𝑠→0 𝑠

Error en estado estacionario 𝑒𝑠𝑠 = lim ( 𝑠→0

𝑠 2 )( ) = 1 1+𝐺 𝑠