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Ejercicios 1: Introducci´on a la L´ogica de Proposiciones L´ogica Computacional 1 de marzo de 2007

1.

Ejercicio 1.1

De los siguientes enunciados, determina cu´ales son proposiciones, y de qu´e tipo (relaci´ on, acci´ on o propiedad). Indica tambi´en cu´ales son proposiciones at´omicas y cu´ ales no. Existe vida en el planeta Marte. At´ omica, propiedad. El 101 es un n´ umero par. At´ omica, propiedad. ¿Existen los elefantes? No es proposici´ on, frase interrogativa. Sara y Mar´ıa son hermanas de Pedro. Dos proposiciones de relaci´on o una entre tres t´erminos Madrid es un continente. At´ omica, propiedad. Hace sol y no hace calor. Proposici´ on no at´ omica, dos de acci´on (impersonales). Los dragones existen. At´ omica, propiedad (o acci´on pero con sujeto). O apruebas las pr´ acticas o te queda para Septiembre. Proposici´ on no at´ omica, compuesta de dos de propiedad (pero con sujeto). Barcelona es una capital Europea. At´ omica, propiedad.

1

2.

Ejercicio 1.2 ¿Cuales de las siguientes expresiones son FBF en l´ogica de proposiciones? ∼ a∨ ∼ b ∼ a ∼ ∨b →a ∨ b Si a entonces b ((a → b) ∧ a) a → (b → c → a → c) (b → c → a → c) ∼ a

3.

Ejercicio 1.3

Formaliza (con los s´ımbolos de L´ogica de Proposiciones) las siguientes proposiciones: Aunque lo he intentado, no he llegado a tiempo. P: lo he intentado Q: he llegado a tiempo P∧ ∼ Q Ni come ni deja comer. P: come Q: deja comer ∼ P∧ ∼ Q Entrena todos los d´ıas pero no le vale de nada. P: entrena todos los d´ıas Q: le vale de nada P∧ ∼ Q No encontrar´ as sitio en el comedor si no bajas temprano. P: encontrar sitio en el comedor Q: bajar temprano ∼ Q→ ∼ P

2

S´ olo tendr´ as ´exito si prestas atenci´on. P: tener ´exito Q: prestar atenci´ on P →Q Ese lapso, corto quiz´ a si se le mide por el calendario, es interminablemente largo cuando, como yo, se ha galopado a trav´es de ´el P: Ese lapso es quiz´ a corto Q: Ese lapso es interminablemente largo R: Se mide el lapso por el calendario S: se ha galopado a trav´es de ´el (como yo) (R → P ) ∧ (S → Q) No aprobar´eis a menos que hag´ais los ejercicios. P: Aprobar´eis Q: Hag´ ais los ejercicios P →Q Vemos que hacer los ejercicios es NECESARIO para APROBAR (no para “no aprobar”), pero probablemente no suficiente. Aqu´ı queda claro que el sentido de la implicaci´ on es ´ese. Nota: En algunos casos, en este tipo de frases hay dudas sobre si nos referimos a una equivalencia (es decir, que si hace los ejercicios seguro que aprueba) pero la convenci´on que usamos es que se formalicen como la implicaci´on anterior si no queda claro. Suspender´eis a menos que hag´ais los ejercicios. P: Suspender´eis Q: Hag´ ais los ejercicios ∼P →Q Es obvio que esta frase es exactamente la misma que la anterior (puesto que “suspendereis” es equivalente a “no aprobareis”). De modo que tendr´a que formalizarse de una manera consistente. Por esa equivalencia, lo que hay en el antecedente tiene que ser “∼ P ” (“no suspendereis”) reemplazando a lo que antes era “aprobareis”.

4.

Ejercicio 1.4

Formaliza las siguientes proposiciones, usando las letras de proposici´on siguientes: p: Bebes/Bebas q: Puedes/Puedas/Poder conducir Si bebes entonces no puedes conducir. p→ ∼ q

3

Bebes solo si no puedes conducir. p→ ∼ q No puedes conducir si bebes. p→ ∼ q No poder conducir es necesario para beber. p→ ∼ q No bebes a menos que no puedas conducir. p→ ∼ q No puedes conducir aunque bebes. ∼q∧p A pesar de que no bebes no puedes conducir. ∼ p∧ ∼ q Beber es suficiente para no poder conducir. p→ ∼ q A menos que bebas, puedes conducir. ∼q→p Es necesario que no bebas para poder conducir q→ ∼ p En caso de que bebas, puedes no conducir. En realidad tendr´ıa que ser “no puedes conducir”. El significado no es el mismo. Hay que usar otra proposici´on, r, “puedes no conducir”, y queda p → r.

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5.

Ejercicio 1.5 Dada la frase: “Si t´ u lees, ellos leen”, y las siguientes frases, Formaliza las frases usando los s´ımbolos: p: t´ u lees/leas q: ellos leen/lean ¿Cu´ ales de las siguientes frases son equivalentes a ella o a su negaci´on?

1. Una condici´ on necesaria para que ellos lean es que t´ u leas. 2. Una condici´ on suficiente para que ellos lean es que t´ u leas. 3. Una condici´ on necesaria para que t´ u leas es que ellos lean. 4. Una condici´ on suficiente para que t´ u leas es que ellos lean. 5. T´ u lees y ellos leen. 6. Ni t´ u lees ni ellos leen. 7. O t´ u lees o ellos leen. 8. O t´ u lees o ellos no leen. 9. O t´ u no lees o ellos leen. 10. T´ u no lees y ellos leen. 11. T´ u lees y ellos no leen. 12. No pasa que t´ u leas y ellos no lean.

5.1.

Soluci´ on

La frase original se formaliza: p → q 1. q → p (NO equivalente) 2. p → q (SI equivalente) 3. p → q (SI) 4. q → p (NO) 5. p ∧ q (NO) 6. ∼ p∧ ∼ q (NO) 7. p ∨ q (NO) 8. p∨ ∼ q (NO) 9. ∼ p ∨ q (SI) 10. ∼ p ∧ q (NO) 11. p∧ ∼ q (SI a la negaci´ on) 12. ∼ (p∧ ∼ q) (SI) 5

6.

Ejercicio 1.7

Formaliza las siguientes sentencias usando las mismas letras de proposici´on para las proposiciones at´ omicas que sean iguales: 1. Si tienes el virus Blaster y se propaga entonces perder´as la informaci´ on del disco duro. p: tienes el virus Blaster q: se propaga r: perder´ as/pierdes la informaci´on del disco duro s: tendr´ as n´ auseas p∧q→r 2. Si pierdes la informaci´on del disco duro tendr´as n´auseas. r→s 3. Si tienes el virus Blaster y se propaga entonces tendr´as n´auseas. p∧q→s 1. Si fuera un robo, algo habr´ıa desaparecido p: fuera un robo q: algo habr´ıa desaparecido p→q 2. Nada desapareci´ o. ∼q 3. No fue un robo. ∼ p

7.

Ejercicio 1.7

Reescribe las f´ ormulas siguientes utilizando par´entesis, de modo que se mantenga el sentido de la expresi´ on: p→ ∼ q ∨ r ∧ s ↔ q ∧ r 1. p → (∼ q) ∨ r ∧ s ↔ q ∧ r 2. p → (∼ q) ∨ (r ∧ s) ↔ (q ∧ r) 3. p → ((∼ q) ∨ (r ∧ s)) ↔ (q ∧ r) 4. (p → ((∼ q) ∨ (r ∧ s))) ↔ (q ∧ r) ∼p∧s→q∧r→t→p 1. (∼ p) ∧ s → q ∧ r → t → p 2. ((∼ p) ∧ s) → (q ∧ r) → t → p 3. ((∼ p) ∧ s) → (q ∧ r) → (t → p) 4. ((∼ p) ∧ s) → ((q ∧ r) → (t → p)) p → t∨ ∼ q ∨ s→ ∼ r∧ ∼ s → q

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1. p → t ∨ (∼ q) ∨ s → (∼ r) ∧ (∼ s) → q 2. p → t ∨ (∼ q) ∨ s → ((∼ r) ∧ (∼ s)) → q 3. p → (t ∨ (∼ q)) ∨ s → ((∼ r) ∧ (∼ s)) → q 4. p → ((t ∨ (∼ q)) ∨ s) → ((∼ r) ∧ (∼ s)) → q 5. p → ((t ∨ (∼ q)) ∨ s) → (((∼ r) ∧ (∼ s)) → q) 6. p → (((t ∨ (∼ q)) ∨ s) → (((∼ r) ∧ (∼ s)) → q)) q ∧ t ∨ p→ ∼ s ∧ t ∨ q 1. q ∧ t ∨ p → (∼ s) ∧ t ∨ q 2. (q ∧ t) ∨ p → ((∼ s) ∧ t) ∨ q 3. ((q ∧ t) ∨ p) → (((∼ s) ∧ t) ∨ q)

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