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• Juan Jose Quijano Mendoza

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´ noma de Yucata ´n Universidad Auto Facultad de Ingenier´ıa Qu´ımica

Probabilidad y Estad´ıstica Ingenier´ıa en Alimentos Ingenier´ıa en Biotecnolog´ıa Ingenier´ıa Industrial Log´ıstica

Compendio de ejemplos de clase Distribuciones Discretas y Distribuciones Continuas

supervised by M. C. M. No´e Chan correo: [email protected]

Agosto - Diciembre 2017

Probabilidad y Estad´ıstica

1

IA, IB, IIL

Distribuciones Discretas Especiales

1.1

Distribuci´ on Binomial

Ejemplo 1. La probabilidad de que cierta clase de componente sobreviva a una prueba de choque es de 3/4. Calcule la probabilidad de que sobrevivan exactamente 2 de los siguientes 4 componentes que se prueben. ....................................................................................................... Ejemplo 2. Suponga que Ana, una lanzadora de dardos, logra un objetivo con probabilidad p = 1/3. Suponga que ella dispara a su objetivo 7 veces. Encuentre la probabilidad de que ella alcance el objetivo: a) Exactamente 3 veces. b) Al menos una vez. c) Encuentre el n´ umero esperado de veces que ella le atinar´a al objetivo. d) Encuentre la desviaci´ on est´ andar. ....................................................................................................... Ejemplo 3. La probabilidad de que un paciente se recupere de una rara enfermedad sangu´ınea es 0.4. Si se sabe que 15 personas contraen esta enfermedad. Determine la probabilidad de que: a) Sobrevivan al menos 10. b) Sobrevivan de 3 a 8. c) Sobrevivan exactamente 5. ....................................................................................................... Ejemplo 4. Se sabe que 10% de cierta poblaci´on es dalt´onica. Si se selecciona una muestra de 15 personas al azar de esta poblaci´ on. Calcule las probabilidades siguientes a) 4 o menos sean dalt´ onicos. b) 5 o m´as sean dalt´ onicos. c) entre 3 y 6 inclusive sean dalt´ onicos ....................................................................................................... Ejemplo 5. Se conoce que 95% de las piezas producidas por una m´aquina son perfectas. Se toma una muestra de 12 piezas al azar y se desea saber la probabilidad de que exactamente 9 sean perfectas.

1.2

Distribuci´ on Geom´ etrica

Ejemplo 6. Se sabe que en cierto proceso de fabricaci´on, en promedio, 1 de cada 100 piezas est´ a defectuosa. ¿Cu´al es la probabilidad de que se inspeccionen 5 piezas antes de encontrar una defectuosa? ....................................................................................................... Ejemplo 7. La probabilidad de que un cohete alcance un objetivo es p = 0.2 y se disparar´a tantas veces como sea necesario hasta alcanzar el objetivo. a) Encuentre el n´ umero esperado de cohetes que ser´an disparados antes de alcanzar el objetivo. b) Encuentre la probabilidad de que 4 o´ m´as cohetes sean requeridos para alcanzar finalmente el objetivo.

1

Probabilidad y Estad´ıstica

1.3

IA, IB, IIL

Binomial Negativa

Ejemplo 8. La probabilidad de que un ni˜ no expuesto a una enfermedad se contagie es 0.4, determine: a) La probabilidad de que el d´ecimo ni˜ no expuesto a la enfermedad sea el tercero en contraerla. b) El n´ umero esperado de nin˜ nos que deben exponerse a la enfermedad para que haya tres enfermos ....................................................................................................... Ejemplo 9. Encontrar la probabilidad de que al lanzar tres monedas al aire, se obtengan tres caras o tres sellos por segunda vez en el quinto tiro

1.4

Distribuci´ on Hipergeom´ etrica

Ejemplo 10. En una caja de 10 fusibles, dos de ellos est´an defectuosos. Si se examina una muestra aleatoria de 4 fusibles. ¿Cu´ al es la probabilidad de encontrar: a) ninguno defectuoso? b) uno defectuoso? c) uno o menos defectuosos? ....................................................................................................... Ejemplo 11. En un estudio biol´ ogico se emplea un grupo de 10 individuos. El grupo contiene 3 personas con sangre tipo O, 4 con tipo A y 3 con tipo B. ¿Cu´al es la probabilidad de que una muestra aleatoria de 5 contenga 1 persona con sangre tipo O, 2 con tipo A y 2 con tipo B? ....................................................................................................... Ejemplo 12. Una serie de ocho l´ amparas se conecta de tal forma que s´ı una de ellas falla, el sistema no funcionar´a. Si dos l´ amparas fallan: a) ¿Cu´al es la probabilidad de que la primera que se inspeccione, sea una de las que fall´o? b) ¿Cu´ales la probabilidad de encontrar las dos que fallan si se inspeccionan cuatro de ellas? c) ¿Cu´antas l´amparas se deben inspeccionar para tener un 70% de probabilidades de encontrar las dos l´amparas defectuosas? ....................................................................................................... Ejemplo 13. Consid´erese un fabricante de autom´oviles que compra los motores a una compa˜ n´ıa donde se fabrican bajo estrictas especificaciones. El fabricante recibe un lote de 40 motores del que se sabe que hay dos motores con serios defectos. Su plan para seleccionar el lote consiste en seleccionar ocho, de manera aleatoria, y someterlos a prueba. Si encuentra que a lo m´as uno de los motores presenta serios defectos, el fabricante acepta el lote; de otra forma lo rechaza. Determine: a) La probabilidad de que sea aceptado. b) El n´ umero esperado de motores en buen estado de los ocho seleccionados

2

Probabilidad y Estad´ıstica

1.5

IA, IB, IIL

Distribuci´ on Poisson

Ejemplo 14. El promedio de imperfecciones por mil´ımetro en un alambre de cobre es 2.3. Determine: a) La probabilidad de que en un mil´ımetro se tengan 2 imperfecciones b) La probabilidad de que en tres mil´ımetros se tengan al menos dos imperfecciones. c) El n´ umero esperado de imperfecciones en 10 mil´ımetros ....................................................................................................... Ejemplo 15. Durante un experimento de laboratorio el n´ umero promedio de part´ıculas radioactivas que pasan a trav´es de un contador en un milisegundo es cuatro. ¿Cu´al es la probabilidad de que seis part´ıculas entren al contador en un milisegundo dado? ....................................................................................................... Ejemplo 16. Sup´ ongase que un conmutador de tel´efonos maneja 300 llamadas en promedio durante una hora de actividad, y que el tablero puede hacer a lo m´as 10 conexiones por minutos. Estimar la probabilidad de que el tablero est´e sobrecargado en un minuto dado.

1.6

Aproximaci´ on de distribuciones

Ejemplo 17. Suponga que 2% de los art´ıculos producidos por una f´abrica tienen alg´ un defecto. Encuentre la probabilidad de que haya tres art´ıculos defectuosos en una muestra de 100 art´ıculos. ....................................................................................................... Ejemplo 18. Si la probabilidad de que un individuo sufra una reacci´on desfavorable por una inyecci´ on de cierto suero es de 0.001. Determinar la probabilidad de que 200 personas: a) Exactamente 3 sufran la reacci´ on. b) 2 o m´as sufran la reacci´ on.

2

Distribuciones Continuas Especiales

2.1

Distribuci´ on Uniforme

Ejemplo 19. Los tiempos en que los clientes llegan a las cajas registradoras se rigen por una distribuci´ on uniforme con una duraci´ on de 30 minutos. Calcule a) la probabilidad de que un cliente llegue durante los u ´ltimos 5 minutos del periodo de media hora b) el valor esperado del tiempo en el que un cliente llegue a la caja registradora

2.2

Distribuci´ on Exponencial

Ejemplo 20. Suponga que la duraci´ on en d´ıas de un foco se distribuye en forma exponencial con par´ametro β = 120. Determine: a) La probabilidad de que el componente dure menos de 60 d´ıas. b) La probabilidad de que dure m´ as de 240 horas 3

Probabilidad y Estad´ıstica

2.3

IA, IB, IIL

Distribuci´ on Normal

Ejemplo 21. Sea Z ∼ N (0, 1). utiliza la tabla de la distribuci´on para determinar las siguientes probabilidades: a) P (Z ≥ 2.12)

d) P (Z ≥ −1.50)

b) P (Z < 1.94)

e) P (1.01 ≤ Z ≤ 2.01)

c) P (Z ≤ −1.48)

f) P (−1 ≤ Z ≤ 1.42)

....................................................................................................... Ejemplo 22. Dada una variable aleatoria X que tiene una distribuci´on normal con µ = 50 y σ = 10 calcule la probabilidad de que X tome un valor entre 45 y 62 ....................................................................................................... Ejemplo 23. La estatura de los hombres en Estados Unidos est´a distribuida en forma (aproximadamente) normal con media µ = 68 y desviaci´ on est´andar σ = 2.5 ambas medidas en pulgadas. Encuentre el porcentaje de hombres estadounidenses que est´an entre 66 y 71 pulgadas de estatura ....................................................................................................... Ejemplo 24. Ciertos estudios demuestran que el consumo de gasolina de los autos medianos tiene una distribuci´on normal con un consumo medio de 25.5 km/gal´on y una desviaci´on est´andar de 4.5 km/gal´ on. ¿Qu´e porcentaje de autos medianos obtiene 30 o m´as km/gal´on? ....................................................................................................... Ejemplo 25. Bajo las condiciones del ejemplo anterior, si un fabricante desea producir un autom´ ovil mediano que tenga un mejor rendimiento que el 95% de los autom´oviles medianos existentes, ¿Cu´ antos kil´ometros por gal´ on debe recorrer este nuevo auto? .......................................................................................................

2.4

Aproximaci´ on de discretas v´ıa continuas

Ejemplo 26. Un fabricante sabe por experiencia que 4% de su producto es rechazado por defectos. Un nuevo lote de 800 unidades se van a inspeccionar ¿cu´al es la probabilidad aproximada de que menos de 35 unidades sean rechazadas? ....................................................................................................... Ejemplo 27. El n´ umero de part´ıculas de asbesto en un cent´ımetro cuadrado de polvo sigue una distribuci´on de Poisson con una media de 1000. Si se analiza un cent´ımetro cuadrado de polvo, ¿cu´al es la probabilidad de encontrar menos de 950 part´ıculas? ....................................................................................................... Ejemplo 28. Para evitar dificultad con las agencias de protecci´on al consumidor, una embotelladora de bebidas debe estar razonablemente segura de que las botellas de 12 onzas realmente contengan 12 onzas de bebida. Para inferir si una m´ aquina embotelladora est´a trabajando satisfactoriamente, se seleccionan 49 botellas al azar cada hora y se mide la cantidad de bebida en cada botella. Si la experiencia pasada demuestra que la cantidad de bebida por botella tiene una desviaci´on est´andar de 0.5 onzas y si la m´aquina est´a ajustada para producir una cantidad media por botella de 12.1 onzas ¿Cu´al es la probabilidad de ¯ de las 49 botellas seleccionadas sea menor que 12 onzas? que la media muestral X

4

Probabilidad y Estad´ıstica

2.5

IA, IB, IIL

Distribuciones Continuas para unidad 4

Ejemplo 29. Considere los siguientes casos a) Sea X ∼ χ25 , es decir, una v.a. que tiene una distibuci´on chi cuadrada con 5 grados de libertad. Determinar el valor de X que haga que la probabilidad de la cola sea 0.10 b) Sea X ∼ χ212 . Determinar el valor de X que haga que la probabilidad acumulada hasta ese valor sea 0.75 c) Sea S ∼ χ216 . ¿Cu´ al es la probabilidad de que la variable sea mayor a 9.3? Ejemplo 30. Realice los siguiente: a) Sea X ∼ t8 . Determina el valor de X que haga que la probabilidad de la cola sea 0.20 b) Sea X ∼ t12 . Determina el valor de X que haga que la probabilidad acumulada sea 0.95 c) Sea X ∼ t20 . Determina el valor de X que haga que la probabilidad de la cola sea 0.85 Ejemplo 31. Realice lo siguiente: a) Sea X ∼ F5, 6 , es decir, 5 grados de libertad en el numerador y 6 grados de libertad en el denominador. Determinar el valor de X que haga que la probabilidad de la cola sea 0.01 b) Sea X ∼ F3, 6 . Determinar el valor de X que haga que la probabilidad en la cola sea 0.05

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