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• JUAN PABLO SANCHEZ SERRATO

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Universidad Distrital Francisco José de Caldas Ecuaciones Diferenciales 2020-I Taller II. ☼ Para el desarrollo de los siguientes ejercicios haga uso del documento: Variables Aleatorias Continuas Variables Aleatorias Continuas y sus Distribuciones de sus Distribuciones de Probabilidad Probabilida y la siguiente tabla. X

X Notación

Distribución Uniforme

U (N )

Binomial

B(n, p)

Poisson

P (λ)

Binomial Negativa

BN (k, p)

Hipergeometrica

Hg(n, R, N )

P (X) 1 N
n x p (1 − p)n−x x x λ e−λ , λ > 0 x!
x−1 k p (1 − p)x−k k−1

R N −R x

n−x
N n

Valores de X 1, 2, · · · ,N 0, 1, · · · ,n 0, 1, · · · k, k + 1, · · · 0, 1, · · · ,m

E[X] N +1 2 np

V AR[X] N2 + 1 2 npq

λ k p nR N

λ k(1 − p) p2 R (N − R) (N − n) n N N (N − 1)

1. Dada una variable aleatoria X distribuida exponencial de parámetro λ mostrar que el valor esperado 1 1 y la varianza de X son respectivamente y 2 λ λ 2. Sea X una variable aleatoria con función de densidad dada por  f (x) =

2e−2x 0

si x ≥ 0 c.o.c

Determinar una función de densidad y la función de distribución de Y := −4X + 3 3. La cantidad de pan (en centeneras de kilos) que una panadería vende diariamente es una variable aleatoría con función de dencidad dada por:  

cx c(6 − x) f (x) =  0

si 0 ≤ x < 3 si 3 ≤ x < 6 c.o.c

a. ¿A que es igual la constante c? b. ¿Cuál es la probabilidad de que el número de kilos de pan vendidos en un día sea mayor que 300?, ¿esté entre 150 y 450? c. ¿Son los eventos descritos en b. independientes?. Explicar. 4. La magnitud de temblores registrados en una región de América del Norte puede modelarse como si tuviera una distribución exponencial con media 2.4, según se mide en la escala de Richter. Encuentre la probabilidad de que un temblor que ocurra en esta región a) Sea mayor que 3.0 en la escala de Richter. b) Caiga entre 2.0 y 3.0 en la escala de Richter. c) De los siguientes diez temblores que afecten la región .¿Cuál es la probabilidad de que al menos uno de ellos sea mayor que 5.0 en la escala de Richter? 1

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Taller III

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5. El operador de una estación de bombeo ha observado que la demanda de agua durante las primeras horas de la tarde tiene una distribución aproximadamente exponencial con media de 100 pes (pcs cúbicos por segundo). a) Encuentre la probabilidad de que la demanda sea mayor que 200 pcs durante las primeras horas de la tarde en un día seleccionado al azar. b) ¿Qué capacidad de bombeo de agua debe mantener la estación durante las primeras horas de la tarde para que la probabilidad de que la demanda sea mayor que la capacidad en un día seleccionado al azar sea de sólo 0.01? 6. En cierta ciudad, el consumo diario de agua (en millones de litros) sigue aproximadamente una distribución gamma con α = 2 y β = 3 Si la capacidad diaria de dicha ciudad es de 9 millones de litros de agua, ¿cuál es la probabilidad de que en cualquier día dado el suministro de agua sea inadecuado? 7. En cierta ciudad el consumo diario de energía eléctrica, en millones de kilowatts-hora, es una variable aleatoria X que tiene una distribución gamma con media µ = 6 y σ 2 = 12. 1. Calcule los valores de α y β 2. Calcule la probabilidad de que en cualquier día dado el consumo diario de energía exceda los 12 millones de kilowatts-hora. 8. La duración T de un componente electrónico es una variable aleatoria con distribución exponencial de parámetro λ. Determinar la probabilidad de que el componente electrónico funcione por lo menos t = 3λ−1 9. Los ingresos anuales de jefes de familia en una parte de una ciudad tienen aproximadamente una distribución gamma con α = 20 β = 1000 a) Encuentre la media y la varianza de estos ingresos. b) ¿Esperaría hallar muchos ingresos de más de $30, 000 en esta sección de la ciudad? c) ¿Qué proporción de jefes de familia de esta sección de la ciudad tienen ingresos de más de $30, 000? 10. El tiempo improductivo por semana Y (en horas) de una máquina industrial tiene aproximadamente una distribución gamma con α = 3 y β = 2 . La pérdida L(en dólares) para la operación industrial como resultado de este tiempo improductivo está dada por 30Y + 3Y 2 Encuentre la varianza y el valor esperado de L. 11. Errores en la medición del tiempo de llegada de un frente de onda, desde una fuente acústica, en ocasiones tienen una distribución beta con α = 1 y β = 2. ¿Cuál es la probabilidad de que el error de medición en un ejemplo seleccionado al azar sea menor que 0, 5? Obtenga la media y la desviación estándar de los errores de medición 12. Un jugador apuesta a uno de los números del 1 al 6. Una vez apuesta , se lanzan tres dados corrientes. Si el número apostado por el jugador aparece i-veces con i = 1, 2, 3 entonces el jugador gana 2i unidades monetarias . Si el número apostado por el jugador no aparece en ninguno de los los dados el jugador pierde 3 unidades monetarias. ¿ Es éste juego justo para el jugador? 13. Supongamos que los puntajes en una prueba de coeficiente intelectual se distribuyen normalmente. Si la prueba tiene una media de 100 y una desviación estándar de 10, ¿cuál es la probabilidad de que una persona que realiza la prueba obtenga una puntuación entre 90 y 110? 14. En una central telefónica se reciben llamadas según las leyes de un proceso de Poisson , con promedio de diez llamadas por hora, ¿Cuál es la probabilidad de que ninguna llamada sea recibida entre las 8am y las 12m? 15. El tamaño de cierto pez sigue una variable aleatoria con función de densidad f (x) = x/16, 2 ≤ x ≤ 6 En promedio, ¿qué tamaño se espera que tenga el pez?

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Taller III

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16. Supóngase que el tiempo (en minutos) que dura una llamada telefónica es una variable aleatoria con función de densidad dada por  1   e−t/5 si t > 0 5 f (x) =   0 c.o.c Sea C(t) el monto (en pesos) que debe pagar un usuario por una llamada de t minutos de duración si  si 0 < t ≤ 5  500 750 si 5 < t ≤ 10 C(t) =  100t t > 10 Calcular el costo medio de una llamada 17. Cierto sistema de un vehículo espacial debe funcionar correctamente para que la nave pueda reingresar en la atmósfera terrestre. Un componente del sistema opera sin problemas sólo el 85 % de las veces. Al fin de aumentar la confiabilidad del sistema, cuatro de estos componentes se instalan de modo tal que el sistema opere sin problemas, si por lo menos uno de los componentes está funcionando sin problemas. ¿Qué probabilidad hay de que falle el sistema? suponga que los componentes operan de forma independiente. 18. El promedio de homicidios mensuales en un pais es de 1 por cada 100000 habitantes. a.) Determinar la probabilidad de que en una ciudad de dicho pais, de 300000 habitantes, haya 5 o más homicidios en un mes dado. b.) Calcular la probabilidad de que haya, por lo menos, dos meses durante el año en los que, en dicha ciudad, ocurran 5 o más homicidios. c.) Contando el presente mes como el mes número 1 ¿Cuál es la probabilidad de que el primer mes en tener 5 o más homicidios sea el cuarto?

Nelson Javier Deaza Triana [email protected]

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