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• Yuliana Rodriguez

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TECNICAS DE CONTEO Métodos para determinar de una manera directa el número de resultados posibles de un experimento. 1. PRINCIPIO FUNDAMENTAL DEL CONTEO Si un evento puede realizarse de n1 maneras diferentes y si continuando el procedimiento, un segundo evento puede realizarse de n2 maneras diferentes, y así después de efectuados un tercer evento puede realizarse de n 3 maneras diferentes, y así sucesivamente, entonces el numero de maneras en que los eventos pueden realizarse en el ORDEN indicado, es el producto n 1. n2. n3…………….nr EJEMPLO1. Una placa de automóvil consta de dos letras distintas, seguidas de tres dígitos de los cuales el primero no es cero. Cuantas placas diferentes pueden grabarse? 26. 25. 9. 10. 10 = 585.000 placas diferentes EJEMPLO 2. Si no se permiten repeticiones, a) cuantos números de 3 dígitos se pueden formar con los dígitos 2, 3, 5, 6,7 y 9. b) cuantos de estos son menores que 400? c) cuantos son pares? d) Cuantos impares? e) Cuantos múltiplos de 5? a) El primer número se puede escoger de 6 maneras diferentes, el que sigue de 5 maneras diferentes, y el tercer numero de 4 maneras diferentes. 6. 5. 4 = 120 números b) El primer número puede escogerse de 2 maneras diferentes; el 2 o el 3 puesto que cada número debe ser menor que 400; el número que le sigue puede llenarse de 5 maneras y finalmente el ultimo numero puede escogerse de 4 maneras. 2. 5. 4 =40 números. c) El ultimo numero puede escogerse de 2 maneras: el 2 o el 6 solamente; el primer numero de 5 maneras y el del centro de 4 maneras. 5. 4. 2 = 40 números d) Para que sean impares el último número puede escogerse de 4 maneras diferentes; el primer numero de 5 maneras y el del centro de 4 maneras diferentes 5. 4. 4 = 80 maneras e) Como los números deben ser múltiplos de 5, para el último número solo hay una manera (5), el primer numero de 5 maneras y el del centro de 4 maneras diferentes. 5. 4. 1 = 20 maneras EJEMPLO 3 De cuantas maneras se pueden acomodar en una reunión 7 personas en una fila de 7 sillas? 7. 6. 5. 4. 3. 2. 1 = 5040 maneras

NOTACION FACTORIAL Es el producto de los enteros positivos desde 1 hasta n, y de denota por el símbolo n! (n factorial) Recuerde que 0! = 1 Ejemplo: 2! = 1.2 =2 4!= 1.2.3.4= 24 6!= 1.2.3.4.5.6 = 720 PERMUTACIONES Es una selección en un orden dado de r objetos, tomados de un conjunto n. Se define como P(n, r) = n! (n – r)! EJEMPLO1 Hallar el número de palabras de 3 letras diferentes que pueden formarse con las letras a, b, c, d, e, f. P (6,3) = 6! = 3! 4.5.6 = 120 palabras (6-3)! 3! Este problema puede resolverse también utilizando el principio fundamental del conteo. 6. 5. 4 = 120 palabras. EJEMPLO2 De cuantas maneras 3 niños y 2 niñas pueden sentarse en una fila? b) de cuantas maneras pueden sentarse si Los niños se sientan juntos y las niñas también? a) Las 5 personas pueden sentarse en una fila P(5, 5) = 5! = 5! = 120 maneras (5-5)! 0!

b) Si los niños se sientan juntos y las niñas también, hay dos maneras de distribuirlos según el sexo. HHH MM MM HHH En cada caso los niños pueden sentarse P (3, 3) = 3! = 6 maneras y las niñas P (2,2) = 2! = 2! = 2 maneras (3-3)! 0! 1 Luego en total se pueden sentar : 2. 3!. 2! = 2 .6. 2 = 24 maneras c) De cantas maneras pueden sentarse si justamente las niñas se sientan juntas? Hay 4 maneras para distribuirse según el sexo: MMHHH, HMMHH, HHMMH, HHHMM En cada caso las niñas pueden sentarse de 2! Maneras y los niños de 3! Maneras. Así en total hay 4. 3! 2! = 48 maneras. PERMUTACIONES CON REPETICION Con frecuencia se desea saber el número de permutaciones de objetos de los cuales algunos son iguales. Para esto utilizamos la siguiente formula: El numero de permutaciones de n objetos de los cuales n 1 , n2 ,n3 ,…….nr son iguales es: n! n 1! . n2! n3!.n4!....nr!! EJEMPLO1: Cuantas señales diferentes, cada una de 8 banderas colocadas en línea vertical, pueden formarse con un conjunto de 4 banderas rojas sin marcar,3 blancas sin marcar y una azul. Necesitamos encontrar el número de permutaciones de 8 objetos de los cuales 4 son iguales (las banderas rojas) y 3 también (las blancas) Entonces según la definición anterior se tiene: 8! = 280 señales diferentes 4! 3! EJEMPLO2: Cuantas palabras distintas pueden formarse con todas las letras de la palabra estadísticas? Puesto que hay 12 letras de las cuales 3 son s, 2 son t ,2 son i, y dos son a tenemos: P = 12! = 9.979200 palabras 3! 2! 2! 2! COMBINACIONES Es una selección de r objetos tomados de un conjunto n, donde el orden no se tiene en cuenta. C(n, r) = n! (n-r)! r! EJEMPLO1: Cuantos comités de 3 se pueden formar con 8 personas? Observamos que no importa el orden en que se escojan las personas. C (8,3) = 8! = 56 comités diferentes pueden formarse. (8-3)! 3! EJEMPLO2: De cuantas maneras puede escogerse un comité, compuesto de 3 hombres y dos mujeres de un grupo de 7 hombres y 5 mujeres? De los 7 hombres podemos escoger 3 C (7,3) = 7! = 35 maneras 4! 3! Y de las 5 mujeres se pueden escoger 2 C (5,2) = 5! = 10 maneras 3! 2! Por lo tanto el comité puede escogerse de 35.10 = 350 maneras. EJEMPLO3: Una delegación de 4 estudiantes de una Universidad, se seleccionan todos los años para asistir a la Asamblea Nacional de Estudiantes. a) De cuantas maneras puede escogerse la delegación si hay 12 estudiantes elegibles? b) De cuantas maneras si dos de los estudiantes elegibles no asisten al mismo tiempo? c) De cuantas maneras si dos de los estudiantes elegibles son casados y solo asistirán si van ambos? a) Los 4 estudiantes pueden ser escogidos de los 12: C (12,4) = 12! = 495 maneras. 8! 4!

b) Si no se incluye A ni B, la delegación puede escogerse de C (10,4) = 10! = 210 maneras 6! 4! O Si uno de los dos A o B pero no juntos es incluido, entonces la delegación puede escogerse de C(2,1) Y C(10, 3) = 2! . 10! = 240 maneras 1! 1! 7! 3! Entonces la delegación puede escogerse 210 +240 450 =maneras c) Pueden suceder dos casos: que no vayan los dos estudiantes casados entonces la delegación puede escogerse de C (10,4) = 210 maneras; o que vayan los dos; entonces la delegación puede escogerse C (10,2)= 45 maneras. En resumen la delegación puede escogerse de 210 + 45 = 255 maneras. PRUEBAS ORDENADAS. Muchos problemas de la probabilidad se relacionan con la escogencia de un objeto, tomado de un conjunto que contiene n objetos. Cuando escogemos un objeto tras otro del conjunto, r veces, definimos esta escogencia como una prueba ordenada de tamaño r. Se consideran dos casos: 1. PRUEBAS CON SUSTITUCION : en este caso el elemento escogido se regresa al conjunto antes de tomar el siguiente. Puesto que hay n maneras diferentes para escogerlo, según el principio fundamental del conteo se tiene: n.n.n.n.n…….n = n r r veces 2. PRUEBAS SIN SUSTITUCION: Aquí el elemento no se devuelve al conjunto antes de tomar el siguiente. Luego se tiene: n. (n-1).(n-2)…….(n-r) se convierte en una permutación. EJEMPLO1 1. De cuantas maneras se pueden escoger 3 cartas sucesivas de una baraja de 52 cartas. a) con sustitución b) sin sustitución. a) Si cada carta se regresa a la baraja antes de escoger la siguiente, entonces cada carta puede escogerse de 52 maneras diferentes. Entonces hay 52.52.52 = 52 3 = 140680 b) Si no hay sustitución, entonces la primera carta puede escogerse de 52 maneras diferentes, la segunda carta de 51 maneras diferentes, y la tercera de 50 maneras diferentes. Por lo tanto hay 52. 51. 50 = 132600 maneras.

EJERCICIOS PROPUESTOS 1. Un estudiante tiene que contestar 8 de 10 preguntas en un examen. a) cuantas maneras de escoger tiene? b) Cuantas maneras de escoger tiene, si las 3 primeras preguntas son obligatorias? 2. Hallar el número de maneras en que: a) 4 niños y 4 niñas se pueden sentar en una fila. b) si los hombres y las mujeres deben quedar alternados c) si las niñas deben quedar juntas. 3 Una señora tiene 11 amigos de confianza a) de cuantas maneras puede invitar a 5 de ellos a comer? b) De cuantas maneras si dos son casados y no asisten el uno sin el otro? c) de cuantas maneras si dos de Ellos no la van bien y no asisten juntos? 4 Una clase consta de 9 niños y 3 niñas. a) de cuantas maneras el profesor puede escoger un comité de 4? c) Cuantos comités contaran con un niña por lo menos? c) Cuantos tendrán una niña exactamente? 5. Una urna contiene 10 bolas. Hallar el número de pruebas ordenadas de tamaño 3 con sustitución b) de tamaño 4 sin sustitución 6. Hallar el número de palabras de 4 letras que se pueden formar con la palabra CRISTAL b) cuantas empiezan y terminan por consonante. c) cuantas empiezan por T y terminan por vocal 7. Tres miembros de una organización social e han ofrecido para pertenecer como presidente, tesorero y secretario. Halle el numero deformas en que los tres podrían asumir sus puestos. 8. De entre 5 matemáticos y 7 físicos hay que constituir una comisión de 2 matemáticos y 3 físicos. De cuantas formas podrá hacerse si : a) todos son elegibles. b) Un físico particular ha de estar en la comisión. c )Dos matemáticos concretos tienen prohibido pertenecer a la comisión. 9. Hallar el número de maneras como se pueden colocar en un estante 5 libros grandes,4 medianos y 3 pequeños, de modo que los libros de igual tamaño queden juntos. 10. De cuantas maneras puede un profesor escoger uno o más estudiantes de seis elegibles? NOTA: consultar más ejercicios de este tipo, en los libros dados en la bibliografía que se encuentra en el microcurriculo.(biblioteca de la Universidad)