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Modelos y Simulación Víctor Anaya

Objetivo El alumno planteará y resolverá problemas a través de simulación digital, con el auxilio de la computadora. El estudiante comprenderá la metodología de la simulación, para poder resolver problemas de optimización que no tengan solución analítica.

Esquema de aprendizaje Unidad I. Metodología en la solución de problemas. Unidad II. Generación y uso de variables aleatorias. Unidad III. Estimación estadística e inferencia. Unidad IV. Lenguajes de simulación. Unidad V. Aplicaciones.

Simulación • Según R.E. Shannon la simulación es el proceso de diseñar un modelo de un sistema real y llevar a término experiencias con él, con la finalidad de comprender el comportamiento del sistema o evaluar nuevas estrategias -dentro de los limites impuestos por un cierto criterio o un conjunto de ellos - para el funcionamiento del sistema.

Ventajas de los métodos de simulación • La simulación permite analizar grandes problemas complejos para los que no están disponibles resultados analíticos. • Es un proceso relativamente eficiente y flexible. • Puede ser usada para analizar y sintetizar una compleja y extensa situación real, pero no puede ser empleada para solucionar un modelo de análisis cuantitativo convencional.

Ventajas de los métodos de simulación • La simulación por computadora permite que el “tomador de decisiones” experimente con muchas políticas y argumentos diferentes sin cambiar o experimentar realmente con el sistema existente real. • La simulación por computadora le permite comprimir tiempo. Por ejemplo, se puede estudiar el impacto a largo plazo de una política para un banco durante todo un año en una simulación por computadora que dura unos cuantos minutos.

Desventajas de los métodos de simulación • Los resultados numéricos obtenidos se basan en el conjunto específico de números aleatorios, cuyos valores corresponden a sólo uno de los resultados posibles. • Para obtener estimaciones más exactas y para minimizar la probabilidad de tomar una mala decisión se deberá ▫ Hacer un gran número de ensayos en cada simulación y/o ; ▫ Repetir toda la simulación un gran número de veces.

Desventajas de los métodos de simulación • Cada simulación requiere su propio diseño especial para imitar el argumento real bajo investigación y su propio programa de computadora y modelo matemático asociado. Aunque es posible aprender y usar paquetes de software especializados, el esfuerzo de desarrollo en el diseño y programación de simulaciones del mundo real es extremadamente tardado.

Métodos de Monte Carlo En general al conjunto de métodos que se utilizan para resolver problemas de simulación se les conoce como métodos de Monte Carlo. La invención del método de Monte Carlo se asigna a Stan Ulam y a John von Neumann. Ulam ha explicado cómo se le ocurrió la idea mientras jugaba un solitario durante una enfermedad en 1946. Advirtió que resulta mucho más simple tener una idea del resultado general del solitario haciendo pruebas múltiples con las cartas y contando las proporciones de los resultados que calcular todas las posibilidades de combinación.

Generación de números aleatorios • Se puede generar una variable con cualquier distribución aleatoria a través de números uniformes (0,1) si conocemos la función de distribución acumulada.

• Existen algunos algoritmos computacionales para generar los llamados: “números PseudoAleatorios”

Generadores de números Pseudo-Aleatorios Para generar cadenas de números pseudoaleatorios (con distribución uniforme), los lenguajes de programación implementan los algoritmos:

• Algoritmo de cuadrados medios • Algoritmo de productos medios • Método congruencial.

Números Uniformes (0,1) • En Excel ® se utiliza la función =Aleatorio()

Método de la transformación inversa • Teorema de inversión. Sea X una variable aleatoria con función de distribución de probabilidad F, continua e invertible, y sea F − 1 su función inversa. Entonces, la variable aleatoria U = F(X) tiene distribución uniforme en (0,1). Como consecuencia, si U es una variable aleatoria uniforme en (0,1) entonces la variable aleatoria X = F − 1(U) satisface la distribución F.

Ejemplo 1 - Simulación • Para generar un número aleatorio con distribución exponencial, primero generamos un número uniforme entre cero y uno U • Ahora

Ejemplo 1 - Simulación Entonces si U tiene distribución uniforme entonces

Tendrá una distribución exponencial con media 1/l

Ejemplo 2 - Simulación La lotería de Nueva York acaba de diseñar una nueva lotería instantánea. Cada tarjeta contiene 3 filas. En cada renglón hay 2 casillas, una que tiene un valor oculto de $1 y la otra $5. El jugador raspa 1 casilla de cada renglón y si todos los valores son los mismos, entonces gana esa cantidad. La pregunta es, ¿cuánto debe cobrar por cada tarjeta para estar en el punto de equilibrio?

Ejemplo 2 - Simulación Este problema en particular tiene una solución analítica, es decir, podemos encontrar el “precio justo” a través de un desarrollo matemático. Otra manera de encontrar la solución es usando un modelo de simulación, podemos implementar éste en una hoja de Excel ®.

Ejemplo 2 - Simulación

Ejemplo 2 - Simulación

Ejemplo 2 - Simulación Entonces… El precio justo de cada tarjeta es: $0.759

Ejemplo 3 - Simulación • El gerente de PRODUCTOS PRECEDEROS SL vende todos los días un producto perecedero en el mercado, de tal manera que las existencias que no se venden en el día constituyen una perdida neta igual al coste de su adquisición más 1€/unidad en concepto de transporte.

Ejemplo 3 - Simulación • A primera hora de la mañana adquiere las unidades de producto que prevé que va a vender. A continuación se va a su puesto en el mercado, donde permanece hasta las 14 horas. Después de esa hora las unidades sobrantes van al contenedor de basura. • Por esta razón, el gerente desea ser muy cuidadoso con las provisiones de ese producto y con tal motivo ha decidido realizar un modelo de simulación que le informe de cuantas unidades de ese producto debe adquirir cada día.

Ejemplo 3 - Simulación Los datos pertinentes y la implementación en Excel ® están en el workbook:

(Doble clic para abrir)

Ejemplo 4 – Simulación de Inventarios Una empresa está evaluando estrategias de inventarios para mantener el abastecimiento del producto X. • El número de unidades demandadas producto tiene una distribución Poisson(15). Es decir, en promedio se necesitan 15 unidades por día • El productor tarda 2 días en surtir la bodega.

Ejemplo 4 – Simulación de Inventarios • El costo por almacenar el producto X es de $1.5 por día. • El costo de penalización (por ausencia del producto) es de $5 por unidad. (Es costoso no tener el producto)

Ejemplo 4 – Simulación de Inventarios Se evalúan las estrategias: • Realizar un pedido de 80 unidades cada que el nivel de inventarios llegue a 30. • Realizar un pedido de 120 unidades cada que el nivel de inventarios llegue a 30. • Realizar un pedido de 80 unidades cada que el nivel de inventarios llegue a 40. • Se desea conocer que estrategia genera menor costo.

Ejemplo 4 – Simulación de Inventarios • Es fácil implementar el modelo en una hoja de cálculo, sólo basta con simular las variables de demanda.

Ejemplo 4 – Simulación de Inventarios • Hoja de cálculo

Ejemplo 4 – Simulación de Inventarios • Estrategia 1 Nivel de inventarios 100

90

Estrategia 1. Costo promedio diario: $63.29

80 70 60 50

Estrategia 1

40 30 20 10 0

-10

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26

Ejemplo 4 – Simulación de Inventarios • Estrategia 2 Nivel de inventarios 140

Estrategia 2. Costo promedio diario: $73.48

120 100 80

60

Estrategia 2

40 20 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 -20

Ejemplo 4 – Simulación de Inventarios • Estrategia 3 Nivel de inventarios 140 120

Estrategia 3. Costo promedio diario: $79.27

100 80 60

Estrategia 3

40 20

0 1 -20

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26

Ejemplo 4 – Simulación de Inventarios • Solución: • Se decide implementar la estrategia 1 porque el manejo del inventario es más barato.

• El modelo de Excel®

• (Doble clic).

FIN Simulación