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• Carlos Ribeiro

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En el Leithold hay algunas aplicaciones a la economía.

Ver estos videos y el ejemplo al final. https://www.youtube.com/watch? v=gynj6rftf3U https://www.youtube.com/watch? v=DOOnifKZOj8 https://www.youtube.com/watch? v=THwWHHvZd-E https://www.youtube.com/watch? v=KYoxy_DO0oo https://www.youtube.com/watch? v=Woggf7w7n-k

https://www.youtube.com/watch?v=yU1D58-BFs

Revisar documento http://www.academia.edu/9896936/LA_INT EGRAL_DEFINIDA

Ejemplo: ¿Cómo determinar la utilidad acumulada de un equipo de producción de nueva adquisición durante el lapso de funcionamiento que conviene tener en operación la maquinaria (tiempo de vida útil)? Una empresa adquirió una maquinaria que fabrica cierto producto. La venta del mismo genera un cierto ingreso, que conforme pasa el tiempo, su comportamiento es el siguiente: I(t)=5.88-0.05t2 Donde t está en años y el ingreso en millones de BsF. Conforme pasa el tiempo, el costo de mantenimiento de dicha maquinaria se va incrementando de acuerdo a la

siguiente expresión: C(t)=0.2+0.2t2 Donde, t está dado en años e igualmente el costo está en millones de BsF.

a) Determina el tiempo que le conviene tener en operación la maquinaria. b) Determina la utilidad acumulada desde el momento de la compra de la maquinaria, hasta el momento determinado en el inciso anterior. Parte a) Para determinar el tiempo de vida útil de la maquinaria, Iguale ambas funciones y encuentre el valor de t, redondeado a dos decimales 5.88 - 0.05t2 = 0.2 + 0.2t2 5.88 - 0.2 = 0.2t2 + 0.05t2 5.68 = 0.25t2 t2 = 5.68 / 0.25 = 22.72 t = sqrt(22.72) = 4.77 años Luego le conviene tenerla 4.77 años · Parte b) Para determinar la utilidad acumulada en el tiempo de vida útil de la maquinaria, Se construye la función Utilidad Acumulada Se Integra la resta de ingreso y costo con los límites de cero hasta el valor determinado en el inciso anterior y se hace la integral de la utilidad desde 0 hasta 4.77. U(t) = I(t) - C(t) = 5.88 - 0.05t2 - (0.2 + 0.2t2) = 5.68 - 0.25t2

4.77

∫ 0

(5.68−0.25t2) dt

=

[5.68t−0.25⋅(t3/3)] 4.77 0

=

[5.68⋅(4.77) − 0.25⋅ (4.77)3/3] – [0 + 0]

=

27.0936−9,04427775

=

18.04932225

Eso son millones de BsF., en valor monetario corriente sería: 18.049.322,25 BsF. Que sería la estimación de Ganancia Acumulada del equipo durante su tiempo de vida útil.

http://datateca.unad.edu.co/contenidos/551110/Unidad_3/Otras_aplicaciones_de_ la_integral.pdf ver aquí ejemplo 11. (al final).

APLICACIONES A LA ECONOMÍA Y A LOS NEGOCIOS DE LA INTEGRAL DEFINIDA Se pueden presentar varias situaciones económicas en donde las cantidades pueden expresarse como integrales definidas y representarse geométricamente como áreas entre curvas. Veamos el caso de las utilidades netas

Supóngase que dentro de x años un plan de inversión generará utilidades a un ritmo de

R 1  x   50  x 2 dólares por año, mientras que un segundo plan lo hará a un ritmo de

R 2  x   200  5 x

dólares por año.

a.) b.)

¿Cuántos años será más rentable el 2º plan? ¿Cuál es el exceso de utilidad neta, si se invierte en el 2º plan, en lugar del 1º, durante el período que éste es más rentable que el 1º? c.) Explicar y representar, geométricamente, el exceso de utilidad neta calculado en el ítem b. Solución:

R1 x   R2 x  a.)

El segundo plan será más rentable hasta que

50 x2  200 5x

 x2  5x  150 0  x  15 años no tener en cuentax  10

0  x  15 b) Para

, el ritmo al que las utilidades generadas por el 2º plan exceden las

R 2 x   R1 x 

del 1º es dólares por año. Entonces el exceso de utilidad neta que genera el 2º plan durante los 15 años está dado por la integral definida:

Exc . de utilidad neta  15



 0

c)

x

2



15

R 2  x   R 1  x  dx



0







 x3 5   5 x  150 dx    x  150 x    3 2  

15

200  5 x   50  x  dx  2

0

15

 1 . 687 ,50 dól. 0

Geométricamente, la integral definida antes calculada es el área de la

y  R2 x  , y  R1 x 

y

región limitada por las curvas

x 0 desde

hasta

x  15

275 R2 (x) 200

Exc. Util.

R1 (x)

50 0

5

10

15

x

Otra aplicación importante es el cálculo de las ganancias netas producidas por una maquinaria industrial, por ejemplo.

Cuando tienes x años, una maquinaria industrial genera ingresos a razón de

R  x   5 . 000  20 x 2 dólares por año, y los costos de operación y mantenimiento se

C  x   2 .000  10 x 2 acumulan a razón de

dólares por año.

a.) b.)

¿Durante cuántos años es rentable el uso de la maquinaria? ¿Cuáles son las ganancias netas generadas por la maquinaria en ese periodo de tiempo? c.) Explicar y representar, geométricamente, las ganancias netas calculadas. Solución: a)

El uso de la maquinaria será rentable en tanto que el ritmo al que se generan los ingresos sea superior al que se generan los costos. Es decir, hasta que

R  x   C x 

5000  20 x 2  2000  10 x 2 30 x 2  3000



 x  10 años

no tener en cuenta x  10 

b) Dado que las ganancias netas generadas por la maquinaria durante cierto período de tiempo están dadas por la diferencia entre el ingreso total generado por la misma y el costo total de operación y mantenimiento de ésta, se puede determinar esta ganancia por la integral definida: 10

 

Ganancia neta 

R  x   C x  dx



0

10





 

10

5000  20 x   2000  10 x  dx  2

0

3000  30 x 2 dx  3000 x  10 x 3

0

c) y En términos geométricos, la ganancia

2



10 0

neta calculada en el ítem anterior está

representada por el área de laR(x) región limitada entre las curvas

x 0

desde

 20000 dól.

y  Rx 

x  10

hasta

.

Gan. Neta

3000 C(x)

2000

y  C x 

y

,

5000

Otra importante aplicación es el cálculo del excedente de los consumidores y del excedente en la producción.

F q  La siguiente gráfica muestra una curva de oferta para un producto, donde p indica el precio por unidad al que un fabricante venderá o suministrará q unidades.

D q  También se muestra la curva de demanda para el producto, donde p indica el precio por unidad al que los consumidores comprarán o demandarán q unidades del mismo.

 q 0 , p0  El punto es el punto de equilibrio, en el cual se presenta estabilidad en la relación producto – consumidor. Suponiendo que el mercado está en equilibrio, en que el precio por unidad del producto

p0 es

, observando la curva de demanda se puede apreciar que hay consumidores que

p0 estarían dispuestos a pagar más que por el producto, así como también, si observamos la curva de la oferta, podríamos concluir diciendo que hay productores que

p0 están dispuestos a ofrecer el producto a un precio inferior que

.

De esta manera ambas partes pueden obtener una ganancia total que llamamos exceso.

En el caso de los consumidores, se denomina excedente o superávit del consumidor, y es la ganancia total que obtienen los consumidores por el hecho de estar dispuestos a pagar el producto a un precio superior al del mercado. Este se puede calcular por la integral definida dada por:

p Ex .C

Exc . Cons 



q0

 Dq   p0  dq 

0q

  







q

0 q0

Dq  dq 



q0

p0 dq 

p 00

0 q0

Dq  dq  p 0 . q

0

q0 0



q0

D(q)

Dq  dq  p 0 . q 0

0

0

En el caso de los productores, se denomina excedente o superávit del productor, y es la ganancia total que obtienen los productores por el hecho de estar dispuestos a ofrecer el producto a un precio inferior al del mercado. Este se puede calcular por la p Ex. P dada por: integral definida

Exc .P rod 



q

q00

q

 p0  F q  dq 

0





q0

p 0 q0

p0 dq  0

 p0 . q

q0 0

 p0 . q 0 



 

F  q  dq  

0 q0

F  q  dq 

0



q0

D q  dq

0

F(q) 0

En el caso de que las funciones de oferta y demanda estuviesen representadas cantidades en función de los precios, el planteo para el cálculo de los excedentes es el siguiente:

Exc . Cons . 



p2

D p dp

Exc . Pr od. 

p0

q

q0 Ex P Ex C

0

p1 p0

p2

p



p0

F  p dp

p1