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• Jose Achicahuala Mamani

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3.10 Aplicaciones de la Integral Definida - Áreas entre curvas_______________ Ejercicio 1 Para cada uno de los siguientes casos, calcule el área de la región sombreada:

Ejercicio 2 En cada caso grafique el área de la región encerrada por las curvas: a) 𝑦 = 2𝑥 − 𝑥 2 ; 𝑦 = 𝑥 3 − 𝑥 2 − 2𝑥. b) 𝑦 = 2𝑥 2 ; 𝑦 = 𝑥 4 − 2𝑥 2 . c) 𝑥 = 𝑦 2 − 2𝑦 , 𝑥 − 𝑦 − 4 = 0. d) 𝑥 = −6𝑦 2 + 4𝑦 , 𝑥 + 3𝑦 − 2 = 0. e) 𝑦 = 𝑥 + 6, 𝑦 = 𝑥 3 y 2𝑦 + 𝑥 = 0. f) 𝑥 = 4𝑦 4 , 𝑥 = 8 − 4𝑦 2 . g) 𝑦 = 3𝑥 − 𝑥 2 ; 𝑦 = 3𝑥 2 − 𝑥 3 . h) 𝑥 = −𝑦 + 4𝑦 2 − 𝑦 3 ; 𝑥 = 5𝑦 − 𝑦 2 . i) 𝑦 = √𝑥 − 4 ; 𝑦 = 0 ; 𝑥 = 8.

Ejercicio 3 En cada caso grafique y calcule el área de la región encerrada por las curvas: a) 𝑦 = 𝑒 𝑥+1 , 𝑦 = ln(𝑥 + 1) , 𝑥 + 𝑦 = 0, 𝑦 = 3. b) 𝑦 = 𝑒 𝑥 , 𝑦 = 𝑒 −𝑥 , 𝑥 = 1. 𝑥 c) 𝑦 = ln 𝑥 , 𝑦 = − + 2. 𝑒

d) 𝑦 = 𝑒 |𝑥| y la recta que pasa por los puntos (2, 𝑒 2 ) y (−1, 𝑒). e) 𝑦 = 2−𝑥 ; 𝑦 = 𝑒 𝑥+1 ; 𝑦 = 0 y la recta 𝑥 = 1.

Ejercicio 4 En cada caso grafique y calcule el área de la región encerrada por las curvas: a) 𝑦 = |𝑥 − 1| ; 𝑦 = 2. b) 𝑦 = 2 − 𝑥 2 ; 𝑦 = |𝑥|. c) 𝑦 = |𝑥 − 1| ; 𝑦 = 𝑥 2 − 3. 𝑥

d) 𝑦 = √2 ; 𝑦 = |1 − 𝑥|. e) 𝑦 = |𝑥 2 − 2𝑥| y la recta que pasa por los puntos (1,1) y (4,8).

Ejercicio 5 En cada caso grafique y calcule el área de la región encerrada por las curvas: a) 𝑦 = 2𝑠𝑒𝑛𝑥 ; 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛(2𝑥); 0 ≤ 𝑥 ≤ 𝜋. 2 b) 𝑦 = 𝑥 2 ; 𝑦 = 2 . 𝑥 +1 c) El eje 𝑋, 𝑦 = 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠𝑥 ; 𝑦 = 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛𝑥. 1 d) 𝑦 = 𝑥 2 ; 𝑦 = 𝑥 y la recta 𝑥 = 2. 1

e) 𝑦 = 𝑥 2 ; 𝑦 = 𝑥 ; 𝑦 = 8𝑥 . Ejercicio 6 En la figura adjunta se muestra la región limitada por la gráfica 𝟏 𝟐 de la función 𝒇(𝒙) = − 𝟑 𝒙𝟐 + 𝟑 𝒙 + 𝟏 , la recta tangente en el punto (𝒑, 𝒒) y el eje 𝒀. Modele la integral definida que permite calculara el área de la región sombreada.

Ejercicio 7 [𝐏𝐂𝟒 𝟐𝟎𝟏𝟓_𝟎𝟎] La figura de la derecha muestra la región limitada por la gráfica de la función 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 − 2𝑥 + 2 , la recta tangente en el punto 𝑃(𝑎, 𝑏) y el eje 𝑌. a) Modele la ecuación de la recta tangente. b) Modele la integral definida que permite calcular el área de la región sombreada. c) Si el área de la región sombreada es 𝑨𝑢2 , modele la ecuación, en términos de 𝑨 , que permita calcular el valor de la constante b.

Ejercicio 8 Se desea colocar grass artificial a un terreno que tiene la forma de la región D del plano limitada por las gráficas de 𝒙 = −𝟏, 𝒙 = 𝟐, 𝒚 = 𝒆𝒙, 𝒚 = 𝒍𝒏 𝒙, donde las unidades están medidas en metros. a) Grafique y sombree la región D. b) Modele mediante una integral definida el gasto total, si el costo de cada metro cuadrado es 80 soles. Ejercicio 9 En la gráfica adjunta se muestra un sector circular limitado por la 𝜋 circunferencia 𝑥 2 + 𝑦 2 = 𝑎2 y el ángulo central α, con 0 < 𝛼 < . 2 a) Determine las coordenadas del punto P en términos del radio y del ángulo central. b) Modele la(s) integral(es) definida(s) que permita calcular el área del sector circular. c) Muestre que el área del sector circular está dada por el 1 número 2 𝛼𝑎2 .

Ejercicio 10 La gráfica adjunta muestra el comportamiento de las ventas de dos empresas de neumáticos, una norteamericana y la otra europea, para los siguientes 8 años, a partir de 2015, donde 𝑡 = 0 corresponde al 2015. Los modelos para la razón de cambio de ventas acumuladas, en millones de dólares, de la empresa norteamericana y europea, son 𝑠(𝑡) = 3,06(1,19)𝑡 y 𝑢(𝑡) = −0,04𝑡 3 + 0,5𝑡 + 2,5𝑡 respectivamente, donde t está en años. a) Explique el significado de 𝑠(2) ≈ 𝑢(2). b) Modele la integral definida que permite calcular la diferencia de las ventas acumuladas de estas dos compañías entre el segundo y octavo año. c) Estime el número de neumáticos que se dejarán de vender, la compaña una norteamericana debido a la futura reducción proyectada.

Ejercicio 11 El consumo de petróleo en nuestro país en los años 2000 – 2004 siguió el modelo 𝑓(𝑡) = 16,1𝑒 0,07𝑡 (millones de barriles anuales), donde 𝑡 = 0 corresponde a 2000. En el 2004, el consumo cambió al modelo 𝑔(𝑡) = 21,3𝑒 0,04(𝑡−4) , 𝑡 ≥ 4. a) Elabore un bosquejo de ambas funciones. b) Asuma que 𝑓(4) ≈ 𝑔(4). Explique el significado de este número. c) Modele la integral definida que permite estimar el número de barriles que se dejó de consumir entre los años 2002 y 2010.

Ejercicio 12 Un jardín tiene la forma de una región limitada por 𝑦 = 𝑥 2 , el eje 𝑦 y la recta tangente a 𝑦 = 𝑥 2 en el punto (2,4), donde “x” e “y” se miden en metros. Una señora se enamoró de la forma del jardín y quiere construir uno en su casa en el cual tiene el espacio necesario para construirlo. El costo por metro cuadrado es de S/. 90. La señora tiene un ahorro disponible para dicho jardín de S/. 250. ¿Será posible que la señora pueda mandar dicho jardín con lo ahorrado? Ejercicio 13 Si el ritmo de crecimiento de una cierta población está descrita por la siguiente función 𝑏(𝑡) = 2200𝑒 0,024𝑡 (personas por año) y el ritmo de muerte lo describe la función 𝑑(𝑡) = 1460𝑒 0,018𝑡 (personas por año) a) Calcule el área entre las gráficas de estas dos funciones para 0 ≤ 𝑡 ≤ 10. b) Explique mediante una redacción lo que representa el área hallada en el ítem anterior. Ejercicio 14 Las velocidades de dos objetos que caen por efecto de la gravedad vienen dadas por 𝑓(𝑡) = −40 − 32𝑡 pies/s y 𝑔(𝑡) = −30 − 32𝑡 pies/s, si los dos objetos parten de la misma altura en 𝑡 = 0. a) Elabore un bosquejo de ambas funciones. b) Modele la integral definida que permite calcular el área entre las curvas para 0 ≤ 𝑡 ≤ 10. c) Interprete el valor del área obtenido en el ítem anterior. Ejercicio 15 Sea f una función diferenciable y positiva en R, cuya gráfica pase por el punto (0; 1) y que además cumpla la siguiente relación: 𝑥

[𝑓(𝑥)]2

∫ 𝑓(𝑡) cos(𝑡) 𝑑𝑡,

∀𝑥 ∈𝑅

𝜋 4

a. Determine la regla de correspondencia de la función f. 𝜋

b. Calcule el valor de la integral ∫0 𝑓(𝑡)𝑑𝑡 c. Determine el área de la región limitada por la gráfica de f y las rectas 𝑦 = 1, 𝑥 = 0, 𝑥 = 2𝜋 Ejercicio 16 2 La región R se encuentra limitada por las curvas 𝑦 = 𝑥 2 + 1, 𝑦 = , 𝑦 = 𝑥 − 1 y los ejes coordenados. 𝑥

a) Elabore un esbozo de la región R. b) Modele una expresión para el área usando integrales. c) Calcule el valor del área de la región sombreada.

3.11 Volúmenes de sólidos de revolución__________________________________ Ejercicio 1 Calcule el volumen del sólido de revolución obtenido al rotar, alrededor de la recta 𝑥 = −1, la región del 4 1 primer cuadrante limitada por 𝑦 = 𝑥 y las rectas 𝑦 = 4𝑦 y 𝑦 = 4 𝑥. Ejercicio 2 La región R limitada por las curvas 𝑦 = √5−𝑥 2 y 𝑦 = 1, gira alrededor del eje X. Calcule el volumen del sólido generado. Ejercicio 3 Calcule el volumen del sólido de revolución obtenido al rotar alrededor del eje X la región del tercer cuadrante acotada por 𝑥 = 𝑦 2 (𝑦 + 1) y la recta 𝑥 = 2𝑦. Ejercicio 4 Calcule el volumen del sólido generado al rotar la región limitada por las curvas 𝑦 = ln 𝑥 + 1, 𝑦 = − ln 𝑥 y 𝑥 = 1 cuando gira alrededor de la recta 𝑥 = 2. Ejercicio 5 Calcule el valor del sólido obtenido al girar alrededor de la recta 𝑥 = −1, la región acotada por las gráficas de 𝑦 = 2𝑥 2 − 𝑥 3 y de la recta 𝑦 = 0. Ejercicio 6 Use el método de las capas cilíndricas para calcular el volumen V del sólido obtenido al rotar la región limitada por las gráficas de 𝑓(𝑥) = 9 − 𝑥 2 𝑦 𝑔(𝑥) = 9 − 3𝑥, alrededor del eje Y. Ejercicio 7 Calcule el volumen del sólido generado al girar, alrededor de la recta 𝑥 = −2, la región limitada por las curvas 𝑦(𝑥 + 1); 𝑦 − 𝑥 − 2 = 0, 𝑦 = 1. Ejercicio 8 [𝐏𝐂𝟒 𝟐𝟎𝟏𝟓_𝟎𝟎] Calcule el volumen del sólido de revolución generado cuando la región ubicada en el 2 segundo cuadrante y acotada por la curva 𝑦 = − 𝑥+1 , 𝑥 = −5, y 𝑦 = 2, se gira alrededor de la recta 𝑥 = −5. Ejercicio 9 Calcule el volumen del sólido generado, por la rotación de la región limitada por las gráficas de las curvas 𝑦 = (𝑥 − 1)3 ; 𝑦 = 1 + (𝑥 − 2)2 , 𝑥 ≥ 0, alrededor de la recta 𝑥 = −1. Ejercicio 10 Calcule el volumen del sólido de revolución obtenido al rotar alrededor de la recta 𝑦 = −1 la región acotada por 𝑥 = 𝑦(𝑦 − 1)2 , 𝑥 = 1 − 𝑦 2 y la recta 𝑦 = −1.

Ejercicio 11 [𝐏𝐂𝟒 𝟐𝟎𝟏𝟓_𝟎𝟏] En el gráfico adjunto se muestra la región sombreada R limitada por las gráficas de las funciones f y g.

En su cuadernillo complete los espacios en blanco la siguiente tabla.

Integral definida que permite calcular el volumen del sólido obtenido al girar la región R alrededor del eje X. Integral definida que permite calcular el volumen del sólido obtenido al girar la región R alrededor de la recta 𝑥 = −1. Integral que permite calcular el volumen del sólido obtenido al girar la región R alrededor de la recta 𝑦 = 5. Ejercicio 12 Una función cuadrática 𝑦 = 𝑓(𝑥) satisface las siguientes condiciones: 1

𝑓(0) = 0 ; 𝑓(1) = 0 y ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 1 0

a) Modele la regla de correspondencia de la función cuadrática. b) Modele la integral definida que permite calcular el volumen del sólido que se genera al hacer rotar la región limitada por la gráfica de la función cuadrática y el eje X, alrededor del eje Y. Ejercicio 13 La región R, que está limitada por el segmento de recta que une el origen de coordenadas con el punto (𝑎, 𝑏), la recta 𝑦 = 𝑏 y el eje Y, gira alrededor del eje Y. a) Dibuje la región y el sólido generado. b) Modele la integral definida que permita calcular el volumen del sólido generado. Ejercicio 14 Con el propósito de ampliar el alcance de un helicóptero, se diseña un tanque auxiliar de gasolina que deberá caber en la parte inferior del fuselaje. Después de experimentar en la mesa de dibujo, se decide que la forma del tanque será igual a la de la superficie de revolución generada al hacer girar la región encerrada por las curvas 𝑦 = 1 − (𝑥 2⁄16) , 𝑦 = 0, alrededor del eje x (las medidas están en pies). a) ¿Cuántos pies cúbicos de gasolina podrá contener el tanque? b) Un pie cúbico equivale a 7.481 galones. Si el helicóptero recorre 2 millas por galón, ¿cuántas millas adicionales podrá volar una vez que se le instale el tanque? Ejercicio 15 Un equipo de ingenieros ha sido contratado para diseñar cierto tipo de bombas de gasolina para camiones. Según las especificaciones del contratista, el depósito de la bomba que almacena el combustible debe tener una capacidad de 72π cm3 y su forma debe corresponder a la obtenida mediante la rotación alrededor del eje 𝑦 = 𝑘 con 𝑘 > 2, de la región limitada en el primer cuadrante

por la curva 𝑥 = 4 − 𝑦 2 y los ejes coordenados. Asumiendo que “x” e “y” se miden en centímetros, determina “k”.

Ejercicio 16 [𝐏𝐂𝟒 𝟐𝟎𝟏𝟓_𝟎𝟐] En una construcción se ha excavado un agujero de forma circular de radio 10 m, con una profundidad máxima de 2 m, de modo que en el centro del mismo ha quedado un montículo de tierra que ha sido extraída de la excavación. Al realizar un corte vertical por el eje central de la excavación (ver figura adjunta), a x metros del eje central, la altura (por debajo o por encima del nivel del suelo) está dada por ℎ(𝑥) = 0.001(𝑥 2 − 100)(𝑥 2 − 16) metros a) Grafique la función h e indique claramente sus intersectos con el eje X. b) Modele la integral definida que permite calcular el volumen que ocupa la parte del agujero por debajo del nivel del suelo. (Sug.: Considere el nivel del suelo como el eje X). c) Modele la integral definida que permita calcular la cantidad de tierra que ha quedado en el montículo sobre el nivel del suelo. ( Sug.: Considere el nivel del suelo como el eje X) Ejercicio 17 Se le pide que diseñe una plomada de bronce que pese 190g y se decide darle la forma del solido de revolución mostrada en la figura. a) Modele la integral definida que permita calcular el volumen de la plomada. b) Si se elige bronce de 8,5 𝑔⁄𝑐𝑚3. ¿Cuánto pesara la plomada? Ejercicio 18 [𝐏𝐂𝟒 𝟐𝟎𝟏𝟓_𝟎𝟏] La nariz de una nave espacial se diseña haciendo girar la región del primer cuadrante limitada por la curva 𝑦 2 + 4𝑥 − 80 = 0. Si todas las secciones transversales perpendiculares al eje de simetria, tomadas a 𝑳 pies del extremo derecho de la nariz de la nave, son circulos cuyos radios miden R pies. a) Represente la situación planteada mediante un dibujo, considerando al eje 𝑿 como el eje de simetria. b) Determine la expresión para R en términos de la varaible 𝑳. c) Modele la integral definida, en términos de la variable 𝑳, que permita calcular el volumen de nariz de la nave espacial. Ejercicio 19 [𝐏𝐂𝟒 𝟐𝟎𝟏𝟓_𝟎𝟎] En un taller de mecánica, un operador perfora una esfera maciza de metal con un taladro, atravesándola completamente, creando un agujero a través del centro de la esfera. Si el radio de la esfera mide 9 cm y el radio del agujero mide 3 cm. a) Represente de manera gráfica la situación problemática planteada

b) Modele la integral definida que permita calcular el volumen de la esfera agujereada. c) Modele la integral definida que permita calcular el volumen de la esfera que se ha perdido al hacer a perforación. Ejercicio 20 [𝐄𝐅 𝟐𝟎𝟏𝟒_𝟎𝟏] El tronco de cono (también llamado cono truncado) es un sólido de revolución que se genera al hacer girar la región limitada por un trapecio rectángulo alrededor de uno de sus lados perpendiculares a las bases. Si la altura del trapecio es igual a 10 unidades y las bases del trapecio tienen igual longitudes de R y r unidades, con 𝑹 > 𝒓 , modele la integral definida que permita calcular del tronco de cono usando. a) El método del disco. b) El método de los casquetes cilíndricos. Ejercicio 21 [𝐄𝐅 𝟐𝟎𝟏𝟒_𝟎𝟐] Calcule el volumen del sólido generado al girar alrededor del eje 𝑿 la región limitada por las curvas 𝑦 = 1, 𝑦 = √𝑠𝑒𝑛𝑥 , 𝑥 = 0, 𝑥 = 𝜋.

Ejercicio 22 Sea P la parábola 𝑦 = 𝑥 2 − 4𝑥 + 5 y 𝑳 la recta tangente a P en el punto de abscisa 3, si R es la región limitada por P , la recta 𝑳 y el eje Y . Modele una expresión matemática que permite calcular el volumen del solido formada cuando R gira alrededor del eje Y. Ejercicio 23 En la figura se muestra una región sombreada R. Si se rota la región R alrededor del eje 𝑥 = 𝜋, modele( en cada caso) la integral que permita calcular el volumen del solido generado. a) Usando el método del disco. b) Usando el método de los casquetes cilíndricos.

Ejercicios 24 Considere la función 𝑓(𝑥) = 𝑥 3 + 𝑥 + 1 con dominio [0,1] y la región 𝑅 limitada por la grafica de 𝑓 y las rectas 𝑥 = 1 y 𝑦 = 1. a. Calcule el área de 𝑅. b. Modele la integral que permita calcular el volumen del solido formado por la rotación de la región 𝑅 alrededor del eje de giro 𝑥 = 2, usando el método de los casquetes cilíndricos.+ c. Calcule el volumen del solido formado y explique la razón por la cual no es adecuado usar el método de la arandela en este caso. Ejercicio 25 Determine el volumen del toro generado por la revolución de la región limitada por la circunferencia 𝑥 2 + (𝑦 − 2)2 = 1alrededor del eje 𝑋. Ejercicio 26 El “Trompo” de una mezcladora de concreto ha sido diseñado por la rotación alrededor de la recta 𝑥 = 1 de la región acotada por: 𝑓(𝑥) = 4𝑥 − 𝑥 2 , 𝑔(𝑥) = 0, 𝑥 = 2 Con 𝑥 ∈ [2,4] y las coordenadas medidas en metros. Entre el eje de giro y la zona a rotar se genera un espacio vacío que será ocupado por un eje que hara rotar el trompo, por lo tanto este espacio no contendrá concreto. a. Grafique la región acotada. b. Modele la integral que permita calcular el volumen de la mezcladora, indicando el método usado para hallar dicho volumen. c. Calcule el volumen pedido.

Ejercicio 27 [𝐏𝐂 𝟐𝟎𝟏𝟒_𝟎𝟐] En la figura adjunta , se muestra la región R ,limitada por las rectas 𝑦 = 2, 𝑥 = 2 y por las gráficas de las funciones. 𝑓(𝑥) = 2 − 𝑒 −𝑥

𝑦 𝑔(𝑥) = 1 −

𝑥3 8

Calcule el volumen del sólido que se genera al rotar R alrededor de la recta 𝑥 = 3.

Ejercicio 28: El volumen del solido que se genera al girar la región limitada por las curvas 𝐶1 y 𝐶2 alrededor de 𝑦 = 𝑘 es 128𝜋. Calcule el valor de 𝑘 cuando 𝑘 < 0.