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• Yeimer Jose Povea Padilla

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EJEMPLO 2-14 Conducción del calor en una pared calentada por radiación solar Considere una pared plana grande de espesor L=0.06 m y conductividad térmica k= 1.2 W/m · °C en el espacio. La pared está cubierta con losetas de porcelana blanca que tienen una emisividad de e=0.85 y una absortividad solar de α= 0.26, como se muestra en la figura 2-48. La superficie interior de la pared se mantiene a T1=300 K en todo momento, en tanto que la exterior está expuesta a la radiación solar que incide a razón de qsolar=800 W/m2. La superficie exterior también está perdiendo calor por radiación hacia el espacio profundo que está a 0 K. Determine la temperatura de la superficie exterior de la pared y la razón de la transferencia de calor a través de la pared cuando se alcanzan las condiciones estacionarias de operación. ¿Qué respondería si no incidiera radiación solar sobre la superficie?

SOLUCIÓN Una pared plana en el espacio está sujeta a una temperatura específica sobre uno de sus lados y a radiación solar sobre el otro. Se deben determinar la temperatura de la superficie exterior y la razón de transferencia de calor. Suposiciones  La transferencia de calor es estacionaria dado que no hay cambio con el tiempo.  La transferencia de calor es unidimensional, ya que la pared es grande en relación con su espesor y las condiciones térmicas en ambos lados son uniformes.  La conductividad térmica es constante.  No hay generación de calor. Propiedades Se da que la conductividad térmica es k=1.2 W/m · °C.

Análisis Tomando la dirección x como la perpendicular a la superficie de la pared con su origen sobre la superficie interior, la ecuación diferencial para este problema se puede expresar como _0 con las condiciones de frontera T(0) _ T1 _ 300 K _k _ es[T(L)4 _ T 4 espacio] _ aq· solar en donde Tespacio _ 0. Una vez más, por medio de dos integraciones sucesivas, se obtiene que la solución general de la ecuación diferencial es T(x) _ C1x _ C2 (a) donde C1 y C2 son constantes arbitrarias. Aplicando la primera condición de frontera, se obtiene T(0) _ C1 _ 0 _ C2 → C2 _ T1 Dado que dT/dx _ C1 y T(L) _ C1L _ C2 _ C1L _ T1, la aplicación de la segunda condición de frontera da _k _ esT(L) 4 _ aq· solar → _kC1 _ es(C1L _ T1) 4 _ aq· solar Aun cuando C1 es la única incógnita en esta ecuación, no se puede obtener una expresión explícita para ella porque dicha ecuación no es lineal y, por tanto, no se puede obtener una expresión en forma cerrada para la distribución de temperatura. Esto debe explicar por qué se hizo el mejor esfuerzo para evitar las no linealidades en el análisis, como las asociadas con la radiación. Se retrocede un poco y se denota la temperatura de la superficie exterior por T(L) _ TL, en lugar de T(L) _ C1L _ T1. En este caso, la aplicación de la segunda condición de frontera da _k _ esT(L)4 _ aq· solar → _kC1 _ es _ aq· solar Despejando C1 da C1 _ (b) Ahora, sustituyendo C1 y C2 en la solución general (a), se obtiene T(x) _ x _ T1 la cual es la solución para la variación de la temperatura en la pared en términos de la temperatura desconocida de la superficie exterior, TL. En x _ L, se transforma en TL _ L _ T1 (d ) la cual es una relación implícita para la temperatura de la superficie exterior, TL. Si se sustituyen los valores dados, se obtiene TL _ (0.06 m) _ 300 K la cual se simplifica a TL _ 310.4 _ 0.240975

Esta ecuación se puede resolver por medio de uno de los varios programas para resolver ecuaciones no lineales (o bien, por el antiguo método de tanteos) para dar (figura 2-49) TL _ 292.7 K Al conocer la temperatura de la superficie exterior y si se sabe que debe permanecer constante en condiciones estacionarias, se puede determinar la distribución de temperatura en la pared mediante la sustitución del valor de TL antes encontrado en la ecuación (c): T(x)_ x_300 K la cual se simplifica a T(x) _ (_121.5 K/m)x _ 300 K Note que la temperatura de la superficie exterior resulta menor que la de la superficie interior. Por lo tanto, la transferencia de calor a través de la pared será hacia afuera, a pesar de la absorción de la radiación solar por la superficie exterior. Si se conocen las temperaturas de las superficies interior y exterior de la pared, se puede determinar la velocidad estable de conducción de calor a través de la pared, a partir de q· _ k _ (1.2 W/m · K) _ 146 W/m2 Discusión En el caso de que no incidiera radiación solar, la temperatura de la superficie exterior, determinada a partir de la ecuación (d), haciendo q· solar _ 0, será TL _ 284.3 K. Es interesante notar que la energía solar que incide sobre la superficie causa que la temperatura superficial se incremente sólo en alrededor de 8 K, cuando la temperatura de la superficie interior de la pared se mantiene en 300 K.