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PROYECTO INTEGRADOR. EL MOVIMIENTO DE UNA PARTÍCULA

M18C3G16-BB-014

1. Lee y analiza el siguiente planteamiento: ¿Sabías que la velocidad de la luz es de 300,000 km/s? Existen laboratorios dedicados a la investigación en Física de partículas, mismas que se encuentran en todo el universo. Algunos investigadores intentan calcular qué tanto se puede acelerar una partícula y de esta manera acercarnos a saber si los objetos pueden viajar a velocidades cercanas a la velocidad de la luz. Se estudia, en específico, el caso de una partícula cuya aceleración está dado por: f ' ' ( x ) =6 x 2−20 x+28 Los investigadores, están interesados en determinar: a) ¿Cuál es la función de velocidad si al instante  dicha partícula es de 0? a ( x )=f ' ' ( x )=6 x 2−2 0 x +28 Integre la función anterior:

V ( x )=f ' ( x )=∫ f ¨ ( x ) dx=∫ 6 x 2−20 x +28 dx v ( x )=

6 x 2+1 2 0 x 1+1 − +28 ( x ) +C 3 2

Simplifique y escriba la respuesta f ´ ( x )=2 x 3−10 x 2+28 x +C Ahora solo sustituiremos la función tomando en cuenta que t=0

v ( 0 )=f ´ ( 0 ) =2(0)3−10 ( 0 )2 +28(0)+C v ( 0 )=f ´ ( 0 ) =2(0)−10( 0)+28 (0)+ C v ( 0 )=f ´ ( 0 ) =0−0+0+C v ( 0 )=f ´ ( 0 ) =C

 la velocidad de

v ( 0 )=f ´ ( 0 ) =0 Entonces C=0 Como puedes ver los términos como tendrán x quedarán cero y no importa si se suman o respuesta quedará que: Al realizar la operación el resultado es C=0 Por lo que al final quedaría de la siguiente forma:

Escribe tu respuesta

f ´ ( x )=2 x 3−10 x 2+28 x +0 b) ¿Cuál es la función de posición, la cual se sabe que en el instante  toma un valor de 2?

f ´ ( x )=2 x 3−10 x 2+28 x

Se debe realizar otra vez la integración p ( x ) =∫ v (x )dx =∫ f ´ ( x )=∫ 2 x 3−10 x 2 +28 x dx 3+1

2x 10 x p ( x) = − 4 3 p ( x) =

2+1

28 x 1+1 + +K 2

2 x 4 10 x 3 28 x 2 − + +K 4 3 2

x 4 10 x 3 2 ( ) p x= − +14 x + K 2 3

 

K es la otra constante de integración. Complete la respuesta. Nota: NO UTILICE DECIMALES, solo las fracciones simplificadas. Todo número multiplicado por cero el resultado es cero por lo que el resultado sería de la siguiente manera: p ( 0 )=

( 0) 4 10 (0)3 − +14 (0)2+ K 2 3

0 10 ( 0 ) p ( 0 )= − + 14(0)+ K 2 3 0 0 p ( 0 )= − +14(0)+ K 2 3 p ( 0 )=0−0+ 0+ K p ( 0 )=K p ( 0 )=K =2 K=2

b) ¿Cuánto ha recorrido la partícula en el intervalo [3,6]? 6

6

∫ f ´ ( x ) dx=[ f (x) ]3 =[ f ( 6 ) ]− [ f ( 3 ) ] 3

Cambie f(x) por la respectiva función y ponga el procedimiento completo:

6

6

(6) 4 10( 6)3 (3)4 10(3)3 x 4 10 x 3 2 2 ∫ 2 x −10 x +28 x dx= 2 − 3 + 14 x = 2 − 3 +14 (6) − 2 − 3 + 14(3)2 3 3 3

¿

[

2

] [

[

1296 10 ( 216 ) 729 10 ( 27 ) − +14 (36) − − + 14(9) 2 3 2 3

][

][

]

]

[

¿ 648−

2160 729 270 +504 − − + 126 3 2 3

][

]

¿ [ 648−720+504 ] −[ 364.5−90+126 ] ¿ [ 432 ] − [ 400.5 ] ¿ 31.5

d) Determina los puntos máximos y mínimos en su función de posición, si es que existen. f ´ ( x )=2 x 3−10 x 2+28 x Factorice la expresión anterior con factor común, en este caso es “x”. x ( 2 x 2−10 x+ 28 )=0 La expresión cuadrática intente factorizar y si no se puede use la fórmula del discriminante: 2 x2 −10 x +28 a=2 , b=−10 y c=28 b 2−4 ac=(−10 )2−4 ( 2 ) ( 28 ) b 2−4 ac=100−224 b 2−4 ac=−124

Si queda mayor que cero utilice fórmula general, si queda menor a cero no tiene solución en los reales y si queda 0 tiene una solución única o doble. Como el discriminante es menor que cero, es decir, es negativo la ecuación 2 x2 −10 x +28 no tiene solución en los números reales y tampoco se puede factorizar por lo mismo.

Nota: Le sugiero hacer la gráfica. e) ¿Cuál es la razón de cambio promedio de la función de posición en los intervalos de tiempo: [2,4] y [5,6]? f ( x )=

x 4 10 x 3 2 − +14 x +2 2 3

[2,4] Sustituya x=2 y x=4 en la función posición Para las operaciones puedes apoyarte con una calculadora científica. f ( 4)=

(4 )4 10 ( 4 )3 − + 14(4)2 +2 2 3

f ( 4)=

256 10 ( 64 ) − +14 (16)+ 2 2 3

f ( 4 ) =128−

640 + 224+2 3

f ( 4 ) =354−

640 3

f ( 4)=

3 (354) 640 − 3 3

f ( 4)=

1062 640 − 3 3

f ( 4)=

422 3

f ( 2) =

(2) 4 10 ( 2 )3 − + 14(2)2+ 2 2 3

f ( 2) =

16 10 ( 8 ) − +14(4)+2 2 3

f ( 2 ) =8−

80 +56+2 3

f ( 2 ) =66−

80 3

f ( 2) =

3 (66) 80 − 3 3

f ( 2) =

198 80 − 3 3

f ( 2) =

118 3

Se sustituye en la fórmula: f ( x 2 )−f (x 1) x2 −x1 422 118 304 − f ( 4 )−f ( 2 ) 3 3 3 304 152 = = = = 4−2 4−2 2 6 3

[5,6]

Sustituya x=5 y x=6 en la función posición x 4 10 x 3 2 ( ) f x= − +14 x +2 2 3

(6)4 10(6)3 f ( 6 )= − +14( 6)2+2 2 3 f ( 6 )=

1296 10 ( 216 ) − +14 (36)+ 2 2 3

f ( 6 )=

1296 2160 − +504 +2 2 3

f ( 6 )=648−720+504+2

f ( 6 )=434

(5)4 10(5)3 f ( 5 )= − +14 (5)2+2 2 3 f ( 5 )=

625 10 ( 125 ) − + 14(25)+2 2 3

f ( 5 )=

625 1250 − +350+2 2 3

f ( 5 )=

1487 6

Se sustituye en la fórmula: f ( x 2 )−f (x 1) x2 −x1

f ( 6 ) −f (5) = 6−5

1487 1117 6 6 1117 = = =186.16 6−5 1 6

434−

2. Cuando hayas finalizado, analice y de respuesta a los siguientes planteamientos: a) ¿Qué nos indica la diferencia en el cálculo de la razón de cambio promedio en los intervalos de interés?

b) Imagina que, en lugar de estar hablando de la velocidad de una partícula, estuviéramos calculando ingresos ¿Qué utilidad tendría el cálculo de la razón de cambio promedio en el contexto de un negocio familiar? Argumenta tu respuesta en máximo 10 líneas.