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Geometria Analitica

1 Geometria Analitica

Eje 4 Actividad Evaluativa

NICOLAS GIOVANNY CERON ALFONSO

Carlos Javier Garcia Castellanos

Fundación Universitaria del Area Andina Fundamentos de matemáticas Bogotá Abril de 2020

Geometria Analitica

2 Introducción

La geometria analitica se debe al matemático, científico y filósofo René Descartes (Sistemas cartesianos) X,Y,Z. Dichos elementos son usados en el sistema cartesiano entre dos puntos, pendiente, punto medio, ecucacion de la recta, etc. De igual modo la geometria analitica es la parte de la matemática que establece una conexión entre el álgebra y la geometría euclidiana. Se estudia las figuras geométricas bajo un sistema de coordenadas y se resuelven los problemas geométricos por medio de métodos algebraicos. Las coordenadas se representan por grupos numéricos y las figuras por ecuaciones.

De igual forma como rama de la geometría en las líneas rectas, curvas y las figuras geométricas se representan por medio de expresiones algebraicas y numéricas con el uso de ejes y coordenadas. Cualquier punto del plano se puede localizar con respecto a un par de ejes perpendiculares el cual da las distancias del punto a cada uno de los ejes. D igual forma la geometria analitica cuenta con cinco grandes temáticas como lo son: La ecuación de la recta, la ecuación de la circunferencia, la ecuación del elipse, ecuacion de parabola y la ecuación de de la hiperbola en sus diferentes representaciones como lo son en el origen, fuera del origen y su forma general. De acuerdo a lo anterior podemos identificar coordenadas de un punto en el plano y conocer su interpretación geométrica. Reconocer e interpretar gráficamente lugares geométricos de puntos de distancia constante entre los ejes. estudiar analiticamente la incidencia entre los puntos y rectas. De igual forma determinar la posición relativa entre dos rectas y expresar en una tabla de valores.

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3 Objetivos

General: Indagar acerca de las distintas figuras que componen la geometría analítica postulando sitios en internet donde se puedan generar dichas figuras. Específicos: 1. permitir afianzar los conocimientos que tienen y están adquiriendo sobre las distintas figuras propias de la geometría analítica. 2. desarrollar un espacio web en donde los usuarios que la consulten podrán obtener información de tipo escrito, visual, auditivo y audiovisual acerca de la elipse, la hipérbola, el círculo, la circunferencia, sólo por mencionar algunas de las figuras que hacen parte de la geometría . Desarrollo: Durante el desarrollo de este trabajo usaremos cuatro webs de acceso gratuito como software matemático e interactivo libre, calculadoras gráficas. Dichas aplicaciones matemáticas son: geogebra, Symbolab, Wolframalpha y Matway. Estas web se usarán del siguiente modo; teniendo en cuenta que tenemos los temas de Recta, Parábola, Hiper Parábola, Círculos y Elipse se asignan las web como corresponde en el siguiente cuadro:

Tema

Graficador

Recta

Symbolab

parábola

Geogebra

Hipérbola

Geogebra

Círculo

Mathway

Elipse

Wolfamalpha

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De este modo podremos identificar todas las web y que tipo de propiedades tiene cada una.

La recta Una línea recta es aquella que yace por igual respecto de los puntos que están en ella, en la geometria analitica una línea recta es el conjunto de todos los puntos del plano, donde las coordenadas de cada punto obedecen una relación de primer grado. Como primer ejemplo usaremos m=4 b=0 como un breve ejemplo usando symbolab:

La recta tiene propiedades fundamentales como lo son: ● Por dos puntos distintos pasa una y solo una recta. ● Dos rectas distintas se cortan en un solo punto, o bien son paralelas. Cómo identificamos en nuestro ejemplo anterior se cumplen los axiomas de Euclides con respecto a las propiedades de una recta.

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De igual forma la ecuación de la recta puede tener o adoptar diferentes formas y algunas de esas formas tienen nombres especiales y no habría que confundir con varias ecuaciones si no todo lo contrario es una sola ecuación representada en diferentes formas y se puede pasar de una a otra de manera algebraica con las ecuaciones como: despeje, multiplicación por constantes no nulas, etc. ¿Que otro tipo de características nos determinan una recta particular? ● Tener pendiente dada y pasar por un determinado punto. ● tener una pendiente dada y cortar el eje Y en cierto punto. ● Cortar los ejes coordenados en dos puntos dados, distintos entre sí. ● Pasar por dos puntos distintos. Para nuestro segundo ejemplo graficamos una ecuación ordinaria o una ecuación de punto pendiente que tiene bajo formula y=mx+b y asignaremos los siguientes valores y=¿{2}{3 }x +4 Cabe recordar que bajo la fórmula M es la inclinación de la recta multiplicada por X más B que es el punto de corte con el eje Y. Hay que tener en cuenta que la mayoría de las rectas cortan al eje X y al eje Y exceptuando las rectas horizontales o verticales que solo cortan un eje. Graficamos en Symbolab:

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Resultado:

De igual modo si cambiamos B no cambiamos la inclinación solo cambiaríamos el punto de corte con el eje Y para este ejemplo usaremos la misma fórmula pero cambiando el valor de B

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y=(2)/(3) x +2y graficamos con Geogebra para identificar el uso de esta herramienta.

Parábolas La geometria analitica define una parábola como el lugar geométrico de los puntos de un plano equidistantes a una recta dada, llamada directriz, y a un punto fijo que se denomina foco. el lado recto 4 mide veces más la distancia focal. al segmento de recta comprendido por la parábola que pasa por el foco y es paralelo a la directriz, se le conoce como Lado recto y mide 4 veces más que la longitud de P.

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Como nombramos anteriormente una parábola debe cumplir con unas propiedades o características como lo son: ● La directriz: es la recta donde se mide la distancia hasta el punto cualquiera de la parábola, esta debe ser igual a la distancia de este mismo punto al foco. ● Eje focal: es la recta perpendicular a la directriz que pasa por el foco. ● Vértice: es el punto en el cual la parábola corta al eje focal. ● Lado recto: es un segmento paralelo a la directriz, que pasa por el foco y es perpendicular al eje focal y sus extremos son puntos de la parábola (A,B).

Como ejemplo resolveremos el siguiente ejercicio usando la fórmula: ( x−h)(2)=4 p ( y +k ) y asignamos los valores (x-3)^(2)=8 (y+2) y graficamos con Geogebra:

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Esta parábola abre hacia los positivos del eje Y (Abre hacia arriba) Y abre paralelo al eje y ese quiere decir que es positiva y además observamos que el signo junto al número 8 es positivo por eso decimos que abre hacia los positivos del eje Y.

Hipérbolas La hipérbola es un lugar geométrico de los puntos de un plano cuya diferencia de distancias a los puntos fijos llamados focos es un constante valor absoluto.

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Para el siguiente ejemplo vamos a tomar la ecuación (( y−4)(2) )/(9)−((x −6)(2) )/(16)=1

Esto es una hiperbola vertical puesto a que el termino positivo el cual es (y-4)^2/9 es el que

contiene la letra Y con un centro(H,K) es decir

( y−k )2 (x −h)2 − =1 esto quiere decir que -h es a2 b2

igual a y -k es igual a -4 y se obtiene la coordenada (6,4) = HK. Por otro lado a^2 es igual a 9 y b^2 es igual a 16.

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11 Círculos

Es un conjunto de todos los puntos de un plano que equidistan de otro punto fijo y coplanario llamado centro. El centro de un círculo es denominado radio y al segmento de una recta formado por dos radios

alineados se les llama diámetro.

Existen varios puntos, rectas y segmentos, singulares en la circunferencia: ● Centro, el punto interior equidistante de todos los puntos de la circunferencia; ● Radio, el segmento que une el centro con un punto cualquiera de la circunferencia; ● Diámetro, el mayor segmento que une dos puntos de la circunferencia (necesariamente pasa por el centro); ● Cuerda, el segmento que une dos puntos de la circunferencia; (las cuerdas de longitud máxima son los diámetros) ● Recta secante, la que corta a la circunferencia en dos puntos; ● Recta tangente, la que toca a la circunferencia en un sólo punto; ● Punto de tangencia, el de contacto de la recta tangente con la circunferencia; ● Arco, el segmento curvilíneo de puntos pertenecientes a la circunferencia; ● Semicircunferencia, cada uno de los dos arcos delimitados por los extremos de un diámetro. Para el siguiente ejemplo tomaremos a la siguiente fórmula x^2+y^2=45 puesto a que la circunferencia con el centro de origen y de radio igual a la unidad es llamada circunferencia geometría o de unidad.

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Resultado:

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La elipse Es una linea curva, cerrada y plana cuya definicion es: lugar geometrico de todos los puntos de un plano, tales que la suma de las distancias a otros dos puntos fijos son llamados focos constante. Elementos de una elipse: La elipse y algunas de sus propiedades matemáticas. La elipse es una curva plana y cerrada, simétrica respecto a dos ejes perpendiculares entre sí: ● El semieje mayor (el segmento C-a de la figura), y ● El semieje menor (el segmento C-b de la figura). Miden la mitad del eje mayor y menor respectivamente.

Para el siguiente ejercicio tomaremos de ejemplo la siguiente ecuación: x^(2)+4y^(2)=16 y vamos a obtener x^(2)+4y^(2)=16 x^(2)/16+y^(2)/4=1 y obtenemos el eje mayor A(4,0) A’ (-4,0) Eje menor B(0,2) B’ (0,-2) Graficamos en dos herramientas:

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15 Referencias

Algebra Y Trigonometria Con Geometria Analitica. (2011). Retrieved 6 April 2020, from https://books.google.es/books? hl=es&lr=&id=VusfgRZ3_vYC&oi=fnd&pg=PR4&dq=geometría+analítica&ots=fwEvgPV qvY&sig=CcYbFBNQg_r-wJ8EBx5OqgwXHBk#v=onepage&q=geometría analítica&f=false Ejercicios. (2020). Retrieved 7 April 2020, from https://www.superprof.es/apuntes/escolar/matematicas/analitica/conica/ejerciciosde-la-ecuacion-de-la-elipse.html Ingresar. (2020). Retrieved 6 April 2020, from http://www.ebooks724.com.proxy.bidig.areandina.edu.co/stage.aspx?il=&pg=&ed= Introducción a la línea recta. (2020). Retrieved 7 April 2020, from https://www.cecyt3.ipn.mx/ibiblioteca/mundodelasmatematicas/IntroduccionALaLine aRecta.html LA CIRCUNFERENCIA - GEOMETRIA ANALITICA. (2020). Retrieved 7 April 2020, from https://sites.google.com/site/geometriaanaliticageraferjenny/unidad-3/lacircunferencia La hiperbola. (2020). Retrieved 7 April 2020, from https://www.superprof.es/apuntes/escolar/matematicas/analitica/conica/hiperbola.h tml