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Foro de reforzamiento Introducción al cálculo vectorial: Vectores en el espacio Licenciatura en Tecnologías de Información y Comunicación Semestre 3 LAIT303-2020-2 - Cálculo de vectores Docente: Leonor García Martínez Grupo LAIT-CAV-20-2-B1-301

Galois Rodríguez Álvarez

Instituto de Estudios Superiores de la Ciudad de México Rosario Castellanos

Galois Rodríguez A.

Instituto Rosario Castellanos

1

Índice 1. Propósito

2

2. Desarrollo

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3. Conclusiones

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4. Referencias

5

Galois Rodríguez A.

1.

Instituto Rosario Castellanos

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Propósito

”Expresar los contenidos de la unidad 1 y aplicar tus conocimientos sobre los vectores para resolver problemas. ”

Galois Rodríguez A.

2.

Instituto Rosario Castellanos

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Desarrollo

1. Describe que es una cantidad escalar y qué es una cantidad vectorial. Da dos ejemplos de cada una. Una cantidad escalar tiene magnitud pero no tiene dirección, como ejemplos podemos tener la masa y la temperatura. Un vector puede ser entendido como un segmento de recta dirigido (hay que recordar que la extensión de una recta es infinita y que únicamente requerimos un segmento de esta), el cuál se puede representar gráficamente en 2 y 3 dimensiones por medio de una flecha. Para determinar este segmento de recta dirigido se puede proporcionar información como el ángulo y la longitud de dicho segmento o bien, considerando como inicio del vector el origen de coordenadas (0,0) se puede determinar el mismo con las coordenadas finales del vector ( x, y) (el par ordenado ( x, y)). En 3 dimensiones tenemos ( x, y, z), pudiéndose extender este concepto usualmente se manejan las componentes del vector como ( x1 , x2 , ..., xn ) y este vector residiría en un espacio de n-dimensiones Un ejemplo de vector puede ser el vector de velocidad instantánea, cuya dirección es tangente a la trayectoria, un segundo ejemplo puede ser el vector de fuerza. 2. Considerando los vectores A y B, calcule lo que se indica: A=(6, -5, 18) B=(8, -3, 2) a. La magnitud del vector A y del vector B. La magnitud del vector A queda determinada como | A| =

√

62 + (−5)2 + 182 =

p 36 + 25 + 324

b. La suma A+B A+B= (6+8, -5-3,18+2)=(14,-8,20) c. La diferencia B-A B-A=(2,2,-16) d. El producto escalar A·B A · B = (6)(8) + (−5)(−3) + (18)(2) = 48 + 15 + 36 = 99

e. El producto vectorial AxB ¯ ¯ ¯i j k ¯¯ ¯ A × B = ¯¯6 −5 18¯¯ = i (−5(2) − 18(−3)) − j (6(2) − 18(8)) + k(6(−3) − (−5)8) ¯8 −3 2 ¯ = i (−10 + 54) − j (12 − 144) + k(−18 + 40) = 11 i + 14 j + 22 k o bien (44, 132, 22)

Galois Rodríguez A.

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f. El producto A ·( A × B) = ((6, −5, 18)·(44, 132, 22) = 6(44)−5(132)+18(22) = 264−660+396 = 0

g. Dibuje en el espacio los vectores A, B y AxB

Figura 1: Los vectores A y B

Figura 2: Producto cruz A × B

Galois Rodríguez A.

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3. Determine la ecuación de la recta que pasa por el punto P=(2, 4, 1) y que contiene al vector u=(1,-1,-4) Sea la recta expresada en la forma R = P + λu, tendríamos R = (1, −1, −4) + λ(2, 4, 1)

4. Determine la ecuación del plano que contiene al punto P = (5, −10, −42) y tiene al vector normal V = (3, −14, 4)

⃗ 1 ·V ⃗ =0 Se debe satisfacer la condición de que PP −−→

Tenemos que PP1 = ( x − 5, y + 10, z + 42) se debe satisfacer ( x − 5, y + 10, z + 42) · (3, −14, 4) = 0

es decir ( x − 5)3 + ( y + 10)(−14) + ( z + 42)4 = 0 3 x − 15 − 14 y − 140 + 4 z + 168 = 0 3 x − 14 y + 4 z + 13 = 0

3. Conclusiones Los escalares, vectores y las operaciones de estos son herramientas que facilitan la comprensión y el trabajo con objetos o situaciones que se presentan en la vida cotidiana y otras más abstractas.

4. Referencias [1] Colley, S. (2013). Cálculo vectorial. México: Pearson. [2] Grossman, S. (2012). Álgebra lineal. McGraw-Hill, México. [3] Marsden, J. (2013). Cálculo vectorial. México: Pearson.