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• Eduardo Antunez

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Efecto Hall en semiconductores 1.OBJETIVOS Obtener el coeficiente Hall para un semiconductor de germanio tipo -p, así como la magnetorresistencia. 2.INTRODUCCIÓN TEÓRICA El efecto hall (Edwin Herbert Hall, 1879) surge en materiales conductores y semiconductores cuando circula por ellos una corriente eléctrica que se ve afectada por un campo magnético perpendicular a la dirección de la corriente j, y se manifiesta por una desviación de los portadores de carga en la dirección perpendicular a la corriente y al campo magnético.

La explicación se deriva de ley de Lorentz.     F = q( E + v ∧ B)

( SI )

[ec.1]

Al aplicar un campo magnético en la dirección z, siendo inicialmente j en la dirección x, aparecerá sobre las cargas una fuerza en el eje y, dependiendo del signo de las cargas el sentido de esa fuerza. Por lo tanto, las cargas se irán acumulando en uno de los bordes del material, apareciendo un campo Ey que contrarresta esta fuerza magnética. (el dibujo aparece para cargas negativas).

1

En este sentido, se define como coeficiente Hall

RH =

Ey

=

j x Bz

Vy

[ec.2]

IB z

y como magnetorresistencia: ρ=

Ex jx

[ec.3]

que da una medida de la resistencia del material bajo campos magnéticos. Por otro lado, podemos encontrar a qué equivalen estas magnitudes en el modelo de electrones libres, introduciendo el modelo cinético de colisiones o modelo de Drude1. En la práctica de Wiedemann-Franz se llegaba a que la ecuación dinámica que rige el movimiento de los electrones colisionantes en este modelo es la siguiente:   dv (t ) dp (t ) p (t )  m = =− + f (t ) [ ec.4] dt dt τ donde f(t) es la fuerza externa a la que se ve sometido. En nuestro caso     f (t ) = q ( E + v ∧ B ) . Introduciendo esta expresión y resolviendo se llega a las

siguientes expresiones:

(

)

     p = mv =τ·q E + v xB

[ec.5]

que se puede expresar componente a componente:

τqE x − ω cτv y m τqE y vy = − ω cτv x m τqE z vz = −ω m vx =

[ ec.6]

en donde wc=eB/m es la frecuencia de ciclotrón. Además vy=0 porque no hay corriente no puede salir del sistema en la dirección y. Para que esto sea posible debe de existir un campo Ey tal que

vy =

τ qE y m

− ω cτ v x = 0 ⇒ E y =

ω c vx m = q

  Bj q/ Bm/ v xτ/ = Bv x = { j = nqv } = x q/ m/ τ/ nq

[ec.7]

que si sustituimos en [ec.2] y [ec.3] llegamos a:

1

Ver Introducción teórica en la práctica “Ley de Wiedemann-Franz”

2

RH =

ρ=

Ey j x Bz

=

1 nq

Ex m = 2 jx nq τ

[ec.8] [ec.9]

Vemos que RH sólo depende de n y de q. En el modelo de electrones libres, dado que q=-e, RH 0 ⇒ q > 0 ⇒ las cargas son huecos. nq

Podemos corroborarlo de la siguiente forma: según [ec.1]las cargas, sean del tipo que sean, se acumularán en el punto 1 (ver dibujo 2). Tal y como teníamos conectados los terminales, ese corresponde al terminal positivo, y como Vy>0 llegamos a la misma conclusión: q>0, luego el semiconductor conduce por huecos. Además, por la misma expresión podríamos calcular el número de portadores por unidad de volúmen n=(9,48±0,21)·1020 m-3

Además, a través, teniendo en cuenta que

   I j = = nqv podemos saber la A

velocidad media a la que se mueven en el eje x las cargas en cada caso. A modo de ejemplo, tomando I=2,52mA, tenemos que: v=1,66±0,03 m/s

7

Sin embargo, este resultado no es válido, ya que está suponiendo que la corriente que circula no depende del campo magnético aplicado, lo que no es cierto, como veremos en el siguiente apartado: 4.2.Magnetorresistencia: Midiendo la resistividad en el eje x para diferentes campos magnéticos, tenemos: Magnetorresistencia 0,00264

0,00262

ρ (Ω m)

0,00260

0,00258

0,00256

Y =0,00255+1,64298E-5 X+5,33187E-4 X

0,00254 -0,05

0,00

0,05

0,10

0,15

0,20

0,25

0,30

0,35

2

0,40

B(T)

ρ( Ωm ) = 0,00255 +1,643·10 −5 B + 5,332·10 −4 B 2

r2=0,9957 Podemos ver la perfecta dependencia cuadrática, tal y como habíamos previsto. 5.CONCLUSIONES En esta práctica hemos comprobado experimentalmente el efecto Hall y hemos visto como deducir el tipo de portadores mayoritarios del semiconductor. A la vista de los resultados obtenidos hemos visto como la teoría de electrones libres supone una buena aproximación del comportamiento real, si bien es cierto que también aparecen discrepancias, para lo que es necesario introducir el modelo de Drude, o la teoría de electrones Bloch (por ejemplo, para justificar la existencia de una resistencia distinta de cero, y dependiente de la temperatura).

8

Anexo: aqui reproduzco los datos tomados junto con los parámetros de los ajustes: En primer lugar la recta de calibración de B: Isolenoide (A) B(mT) 0,01 -47 0,6 7 1,28 85 1,65 131 2 162 2,5 213 3,11 273 3,67 325

B=a+b I Parameter a b r

Value Error -47,30 0,67 103,06 0,30 0,99922

A continuación la recta V frente a I para B=0 para hallar la componente longitudinal de V12: I(A)

B(mT) 0

I(mA)

0 V(mV)

-0,01 9,95 8,95 7,69 6,43 5,17 4,53 3,25 2,01 0,74

0,03 -5,481 -4,928 -4,235 -3,541 -2,847 -2,497 -1,791 -1,106 -0,409

V=a+b I Parameter a b r

Value Error 7,46E-03 5,7E-04 -5,5183E-01 9,8E-05 -0,99999

A continuación las rectas para el cálculo de R H; medida de V12 frente a I o frente a B según sea a B=cte y a I=cte, respectivamente. La tabla de datos medidos hace referencia a esa V12, pero a la hora de ajustar ya se ha hecho la corrección V y = V12- Vx, por eso aparece Vy encima de los datos del ajuste.

I(A) s(I) 1,21 0,01 I(mA) s(I) mA 9,98 0,01 8,87 0,01 7,61 0,01 6,71 0,01 5,07 0,01 3,94 0,01 2,98 0,01 1,42 0,01

B=cte B (T) u(B) 1,247E-01 1,095E-03 V(mV) s(V) mV 3,99 0,01 3,51 0,01 3,04 0,01 2,66 0,01 2,01 0,01 1,56 0,01 1,2 0,01 0,57 0,01

Vy=a+bI Parameter a b r

B=124mT Value Error -5,9E-06 1,2E-05 9,496E-01 1,9E-03 0,99999

9

I(A) s(I) 2,29 I(mA) s(I) 9,7 8,94 8,03 6,93 6,05 4,8 3,42 2,54 0,91 I(A) s(I) 3,39 I(mA) s(I) 10,01 8,69 7,52 6,76 5,74 5,01 3,88 2,4 0,9

0,01 0,01 0,01 0,01 0,01 0,01 0,01 0,01 0,01 0,01

0,01 0,01 0,01 0,01 0,01 0,01 0,01 0,01 0,01 0,01

B (T) u(B) 2,360E-01 1,247E-03 V(mV) s(V) 11,52 0,01 10,61 0,01 9,51 0,01 8,27 0,01 7,22 0,01 5,73 0,01 4,09 0,01 3,05 0,01 1,12 0,01 B (T) u(B) 3,494E-01 1,463E-03 V(mV) s(V) 18,43 0,01 15,96 0,01 13,82 0,01 12,43 0,01 10,55 0,01 9,21 0,01 7,14 0,01 4,43 0,01 1,69 0,01

Vy=a+bI Parameter a b r

B=236mT Value Error 4,3E-05 1,5E-05 1,734E+00 2,3E-03 0,99999

Vy=a+bI Parameter a b r

B=349mT Value Error 7,607E-06 1,8E-05 2,389E+00 2,8E-03 1

I=cte I(mA) s(I) (mA) 2,52 0,01 I(B) (A) s(I) 0,49 0,01 0,88 0,01 1,39 0,01 1,88 0,01 2,22 0,01 2,85 0,01 3,29 0,01 3,71 0,01

B(T) u(B) V(mV) s(V) 5,05E-02 1,0E-03 -0,38 0,01 9,07E-02 1,1E-03 0,42 0,01 1,433E-01 1,1E-03 1,46 0,01 1,938E-01 1,2E-03 2,37 0,01 2,288E-01 1,2E-03 2,97 0,01 2,937E-01 1,4E-03 3,95 0,01 3,391E-01 1,4E-03 4,55 0,01 3,824E-01 1,5E-03 5,1 0,01

Vy=a+bB I=2,52mA Parameter Value Error a 3,8E-04 1,4E-04 b 1,65E-02 5,6E-04 r 0,99657

I(mA) s(I) (mA) 5,41 0,01 I(B) (A) s(I) 0,51 0,01 1,06 0,01 1,53 0,01 2,06 0,01 2,53 0,01 2,89 0,01 3,46 0,01 3,67 0,01

B(T) u(B) V(mV) s(V) 5,256E-02 1,0E-03 -0,89 0,01 1,092E-01 1,1E-03 1,55 0,01 1,577E-01 1,1E-03 3,53 0,01 2,123E-01 1,2E-03 5,62 0,01 2,607E-01 1,3E-03 7,66 0,01 2,979E-01 1,4E-03 8,64 0,01 3,566E-01 1,5E-03 10,05 0,01 3,782E-01 1,5E-03 10,7 0,01

Vy=a+bB I=5,41mA Parameter Value Error a 7,2E-04 3,8E-04 b 3,56E-02 1,5E-03 r 0,99469

I(mA) s(I) (mA) 7,47 0,01 I(B) (A) s(I) B(T)

u(B)

V(mV) s(V)

10

0,5 1,08 1,48 1,99 2,49 2,98 3,57

0,01 0,01 0,01 0,01 0,01 0,01 0,01

5,153E-02 1,113E-01 1,525E-01 2,051E-01 2,566E-01 3,071E-01 3,679E-01

1,0E-03 1,1E-03 1,1E-03 1,2E-03 1,3E-03 1,4E-03 1,5E-03

-1,34 2,21 4,84 7,41 9,89 12,04 14,34

0,01 0,01 0,01 0,01 0,01 0,01 0,01

Vy=a+bB I=7,47mA Parameter Value Error a 8,9E-04 4,7E-04 b 4,95E-02 2,0E-03 r 0,99583

Por último, los datos medidos para la magnetorresistencia, con los resultados obtenidos en cada caso. Isolenoide (A) 0 0,42 0,62 0,8 1 1,25 1,4 1,69 2,04 2,25 2,45 2,58 2,83 3,02 3,24 3,4 3,59

s(Isolen) B (T) 0,01 0,000E+00 0,01 4,33E-02 0,01 6,39E-02 0,01 8,25E-02 0,01 1,031E-01 0,01 1,288E-01 0,01 1,443E-01 0,01 1,742E-01 0,01 2,102E-01 0,01 2,319E-01 0,01 2,525E-01 0,01 2,659E-01 0,01 2,917E-01 0,01 3,112E-01 0,01 3,339E-01 0,01 3,504E-01 0,01 3,700E-01

u(B) 1,0E-03 1,0E-03 1,0E-03 1,1E-03 1,1E-03 1,1E-03 1,1E-03 1,2E-03 1,2E-03 1,2E-03 1,3E-03 1,3E-03 1,3E-03 1,4E-03 1,4E-03 1,5E-03 1,5E-03

Vx (V) 0,2048 0,2042 0,2041 0,2042 0,2044 0,2047 0,205 0,2055 0,2061 0,2065 0,207 0,2073 0,208 0,2085 0,2089 0,2093 0,2105

s(Vx) 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001

Ix (A) 0,004 0,004 0,004 0,004 0,004 0,004 0,004 0,004 0,004 0,004 0,004 0,004 0,004 0,004 0,004 0,004 0,004

s(Ix) 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001

ρ (Ωm) 2,5605E-03 2,5530E-03 2,5517E-03 2,5530E-03 2,5555E-03 2,5592E-03 2,5630E-03 2,5692E-03 2,5767E-03 2,5817E-03 2,5880E-03 2,5917E-03 2,6005E-03 2,6067E-03 2,6117E-03 2,6167E-03 2,6317E-03

u(ρ) 5,1E-06 5,1E-06 5,1E-06 5,1E-06 5,1E-06 5,1E-06 5,1E-06 5,1E-06 5,2E-06 5,2E-06 5,2E-06 5,2E-06 5,2E-06 5,2E-06 5,2E-06 5,2E-06 5,3E-06

11