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• Daniel Herradora A.

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EDADES Los problemas relativos a edades son siempre interesantes y ejercen cierta fascinación sobre los jóvenes con inclinaciones matemáticas. 1. CARLOS EN EL AÑO 2.000. ¿Qué edad tendrá Carlos en el año 2.000 sabiendo que esa edad será igual a la suma de las cuatro cifras de su año de nacimiento? 2. LA EDAD DEL SR. GÓMEZ. "Yo tenía n años en el año n²", gustaba decir el Sr. Gómez a sus amigos. Bien, ¿cuándo nació? Hablaba en el siglo XX. 3. ¿QUIÉN ES MAYOR? Dentro de dos años mi hijo será dos veces mayor que era hace dos años. Y mi hija será dentro de tres años tres veces mayor que era hace tres años. ¿Quién es mayor, el niño o la niña? 4. POBRE PÍO. En una lápida podía leerse esta inscripción: «Aquí yace Pío Niro, muerto en 1971, vivió tantos años como la suma de las cifras del año de su nacimiento». ¿A qué edad murió? 5. LA EDAD DE JUAN. La edad de Juan es 1/6 la de su padre. La edad del padre dividida por 2, 3, 4, 6 y 8 da de resto 1; pero al dividirla por 5 da de resto cero. ¿Qué edad tiene Juan? 6. LA EDAD DE MI HIJO. Mi hijo es ahora tres veces más joven que yo. Pero hace cinco años era cuatro veces más joven. ¿Cuántos años tiene? 7. MI HERMANO Y YO. Mi hermano me lleva 8 años. ¿Dentro de cuántos años su edad será el doble que la mía, si hace tres años era el triple? 8. LAS MENINAS. El famoso cuadro Las Meninas fue pintado por Velázquez en 1656, a los 57 años de edad, después de vivir 34 años en Madrid, donde se había instalado a los 4 años de casado. ¿A qué edad se casó? 9. LA EDAD DEL CAPITÁN. El capitán dice a su hijo: tres veces el cuadrado de tu edad más 26 años dan el cuadrado de mi edad. ¿Cuál es la edad del capitán? 10. LA FAMILIA DE CARLOS. Carlos frisa en la cuarentena. Si se escribe tres veces seguidas su edad se obtiene un número que es el producto de su edad multiplicada por la de su mujer y la de sus cuatro hijos. ¿Qué edad tiene cada uno de los miembros de la familia? 11. ¿CUÁNTOS AÑOS TIENEN? Abuelo: Mi hijo tiene tantas semanas como mi nieto días. Mi nieto tiene tantos meses como yo años. Los tres juntos tenemos exactamente 100 años. ¿Qué edad tiene cada uno? 12. ¿QUÉ EDAD TENGO? Si multiplicamos por 3 los años que yo tenga dentro de 3 años y restamos el triplo de los que tenía hace tres años se obtendrán los años que tengo ahora. ¿Qué edad tengo ahora?

13. AÑOS DE SINDICATO. Pedro lleva ahora en el sindicato el doble de años que Joaquín. Hace dos años llevaba el triple de años. ¿Cuántos años lleva cada uno en el sindicato? 14. EN EL AÑO 1.994. Si en 1.974 María tuvo la cuarta parte de la edad de su madre, y en 1.984 la mitad, ¿qué edad tendrá cada una de ellas en 1.994? 15. LA ESTRELLA DE CINE. A una estrella de cine le preguntan qué edad tiene y contesta: "Si al doble de los años que tengo, le quita el duplo de los que tenía hace diez años, el resultado será mi edad actual. ¿Cuántos años tiene? 16. LOS TRES HERMANOS. La edad de Juan es mayor que la de su hermano Antonio en 5 años; Francisco tiene tantos años como los dos juntos, y entre los tres suman en total 70 años. ¿Qué edad tiene cada uno de ellos? 17. ¿CUÁNDO SALDRÁ DE LA CÁRCEL? Un hombre fue metido en la cárcel. Para que su castigo fuera más duro no le dijeron cuánto tiempo tendría que estar allí dentro. Pero el carcelero era un tipo muy decente, y el preso le había caído bien. Preso: Vamos, ¿no puedes darme una pequeña pista sobre el tiempo que tendré que estar en este lugar? Carcelero: ¿Cuántos años tienes? Preso: Veinticinco. Carcelero: Yo tengo cincuenta y cuatro. Dime, ¿qué día naciste? Preso: Hoy es mi cumpleaños. Carcelero: Increíble. ¡También es el mío! Bueno, por si te sirve de ayuda te diré (no es que deba, pero lo haré) que el día en que yo sea exactamente el doble de viejo que tú, ese día saldrás. ¿Cuánto tiempo dura la condena del preso? 18. LA EDAD DEL CURA. El cura: He encontrado en el pueblo tres personas cuyo producto de edades es 2450. La suma de sus edades es igual al doble de la de usted. ¿Cuáles son esas edades? El sacristán: Solamente con esos datos no puedo responder a su pregunta. El cura: Bueno, una de esas tres personas es mayor que yo. ¿Cuál es la edad del cura? 19. DIFERENCIA DE EDAD. Las sumas respectivas de las cifras que forman los años de nacimiento de Juan y Pedro son iguales. Sabiendo que sus edades empiezan por la misma cifra, ¿cuál es su diferencia de edad? 20. AL FINAL DE LA SECUNDARIA. Rita y Carlos se casaron hace 6 años cuando sus edades estaban en la proporción de 13 a 11. Tuvieron su primer hijo hace 4 años cuando sus edades estaban en la proporción de 7 a 6. Si su hijo terminara la enseñanza secundaria a los 15 años, ¿qué edad tendrá entonces su padre? 21. TRABALENGUAS DE EDADES (1). Carlos dirigiéndose a Juan: "Mi edad es el doble de la que tú tenías cuando yo tenía la que tú tienes. Cuando tú tengas la edad que yo tengo, tendremos entre los dos 63 años." Adivinar las edades de Carlos y Juan.

22. TRABALENGUAS DE EDADES (2). Pedro dice un día a Manolo: "Mi edad es el triple de la que tú tenías cuando yo tenía la que tú tienes. Cuando tú tengas la edad que yo tengo, tendremos entre los dos 77 años." Adivinar las edades de Pedro y Manolo. 23. TRABALENGUAS DE EDADES (3). Don Sixto le dice a Don Pedro: "Yo tengo el doble de la edad que usted tenía cuando yo tenía la que usted tiene. La suma del triple de la edad que usted tiene con la que yo tendré cuando usted tenga la edad que yo tengo, es 280. Cuales son las edades de Don Sixto y de Don Pedro? 24. HISTORIA DEL SIGLO XX. Una pareja de matemáticos; marido y mujer, mantienen el siguiente diálogo: El: ¿Te das cuenta de que mi edad sólo fue múltiplo de la tuya una vez? Ella: Es verdad, y es una pena que no nos conociéramos entonces, porque no volverá a suceder. El: Pero la edad de nuestro hijo es el máximo común divisor de las nuestras. Ella: Y el mínimo común múltiplo de nuestras edades es el año en que estamos. ¿En qué año nacieron él, ella y su hijo? 25.

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SOLUCIONES DE EDADES 1. CARLOS EN EL AÑO 2.000. 19 años. Nació en 1981. 1+9+8+1=19. 2. LA EDAD DEL SR. GÓMEZ. El Sr. Gómez nació en 1892; tenía 44 años en el año 44²=1936. 3. QUIÉN ES MAYOR? Son mellizos y tienen 6 años. Prueba: 6+2=8=2x4, 6+3=9=3x3. 4.

POBRE PÍO. Nació en 1953. Murió a los 18 años.

5. LA EDAD DE JUAN. Sea x la edad del padre. Como el mcm(2,3,4,6,8)=24, x = 24k+1 = 25h (h entero) que se cumple para k=1. Así: 25 es la edad del padre y 25/6=4 años y 2 meses la edad de Juan. Es cierto que caben otras soluciones, (k=6,11,...), pero implican para el padre edades superiores a 144 años, lo que las excluye, pues hubiese engendrado el hijo después de 120 años y, no conviene exagerar. 6.

LA EDAD DE MI HIJO. Hijo 15 años. Padre 45 años. 15=45/3, 15-5=10=4x40

7.

MI HERMANO Y YO.

8. LAS MENINAS. Se instaló en Madrid a los 57 - 34 = 23 años. Se casó a los 23 4 = 19 años. 9. LA EDAD DEL CAPITÁN. No existe solución. Se tendría: a² = 3b² + 26 = 3n + 2. Pero, un cuadrado será múltiplo de 3 o múltiplo de 3 más 1, nunca múltiplo de 3 más 2. 10. LA FAMILIA DE CARLOS. Sea ab la edad de Víctor. ababab = ab0000 + ab00 + ab = 10101 x ab = 1 x 3 x 7 x 13 x 37 x ab. Carlos tiene 39 años, su mujer 37 y sus hijos 1, 3, 7 y 13 años. 11. ¿CUÁNTOS AÑOS TIENEN? El hijo es 7 veces mayor que el nieto. El abuelo es 12 veces mayor que el nieto. Si el niño tuviera un año, el hijo tendría 7 y el abuelo 12, y todos juntos 20. Esto es exactamente 5 veces menos de lo que ocurre en realidad. Por tanto, el nieto tiene 5 años, el hijo, 35 y el abuelo, 60. 5 + 35 + 60 = 100. 12.

¿QUÉ EDAD TENGO? 18 años. Prueba: 3x21 - 3x15 = 63 - 45 = 18

13.

AÑOS DE SINDICATO. Pedro 8 años, Joaquín 4 años. 8=2x4, 6=2x3.

14.

EN EL AÑO 1.994. 25 y 40 años.

15.

LA ESTRELLA DE CINE. 20 años.

16.

LOS TRES HERMANOS. Francisco 35, Juan 20 y Antonio 15.

17. ¿CUÁNDO SALDRÁ DE LA CÁRCEL? Cuando el carcelero tenga el doble de años que el preso, la diferencia entre sus edades será la edad del preso. Además, la diferencia entre sus edades será la misma que ahora, es decir, 29 años. Así que cuando el preso tenga 29 años, el carcelero tendrá el doble (58). De modo que el preso tiene que esperar 4 años. 18. LA EDAD DEL CURA. Se descompone 2450 en factores primos. Como el sacristán conoce su propia edad, el doble de su edad debería permitirle elegir una de las soluciones. Al no poder hacerlo, es que tiene posibilidad de elección entre varias soluciones. Examinando las posibles posibilidades de las sumas de las tres edades, se observa que sólo el número 64 aparece dos veces: (49 + 10 + 5 = 64) y (50 + 7 + 7 = 64). El sacristán tiene entonces 32 años. Precisando que una de las personas es mayor que el cura, éste da una indicación al sacristán que le permite elegir entre las dos soluciones. El cura tiene pues 49 años. Aunque no se nos pregunta: las edades de las personas son: 50, 7 y 7. 19. DIFERENCIA DE EDAD. Sea (m,c,d,u) la descomposición según las cifras de millares, centenas, decenas y unidades de la fecha de nacimiento de Juan. Sea igualmente (m',c',d',u') la fecha de nacimiento de Pedro. Edad de Juan: Año en curso --> (1000m+100c+10d+u). Edad de Pedro: Año en curso --> (1000m'+100c'+10d'+u'). Diferencia de edad: 1000(m-m')+100(c-c')+10(d-d')+(u-u').

Por hipótesis sabemos que: m+c+d+u=m'+c'+d'+u'. Luego: (m-m')+(c-c')+(d-d')+(u-u')=0. Restamos esta cantidad nula a la diferencia de edad, y obtenemos: 999(mm')+99(c-c')+9(d-d') que evidentemente es divisible por 9. Como esta diferencia es necesariamente menor que 10 (ya que las dos edades empiezan por la misma cifra), ha de ser 9. Juan y Pedro tienen 9 años de diferencia. 20. AL FINAL DE LA SECUNDARIA. Sean x e y las edades actuales de Rita y Carlos. (x-6)/(y-6) = 13/11 (x-4)/(y-4) = 7/6 Resolviendo este sistema: x=32, y=28. La edad del padre dentro de 11 años (cuando el hijo termina la secundaria) es 39. 21. TRABALENGUAS DE EDADES (1). Si llamamos A a la edad que tu tenías cuando yo tenía la que tu tienes, y B a la edad que tu tienes, podemos escribir la siguiente tabla de correspondencia de edades: Tus edades A B 2A

Las mías B 2A 63-2A

Lo que nos da, fijándonos en los intervalos de tiempo, que son iguales para ambas columnas de la tabla: B-A=2A-B y 2A+2A+(2A-B)=63, o lo que es lo mismo: 3A=2B y 6A-B=63 que nos da B=21 y 2A=28. Luego la solución del problema es: Tu edad actual (Juan) = 21 años. Mi edad actual( Carlos) = 28 años. 22. TRABALENGUAS DE EDADES (2). Sea x la edad de Pedro, sea y la de Manolo. Lo que le dice Pedro a Manolo puede expresarse por la ecuación: x=3[y(x-y)], es decir, 4x=6y o bien 2x=3y. La segunda parte puede expresarse por: x+[x+(x-y)]=77, es decir, 3x=y+77. Resolviendo el sistema formado por las dos ecuaciones obtenidas: x=33, y=22. Es decir: Pedro 33 años y Manolo 22 años. 23. TRABALENGUAS DE EDADES (3). 24. HISTORIA DEL SIGLO XX. Él nació en 1.935, ella en 1.936 y su hijo en 1.979. El diálogo tiene lugar en 1.980, teniendo él 45 años, ella 44 y su hijo 1. La clave del problema está en lo primero que dice él: "Mi edad sólo fue una vez múltiplo de la tuya", y que precisa ella al decir "no volverá a suceder". Las edades de dos personas van aumentando de año en año, pero su diferencia se mantiene constante, y la edad de la mayor de las dos es múltiplo de la de la menor siempre que y sólo cuando la edad de la menor sea alguno de los divisores de la diferencia entre ellas. Por tanto, como en este caso se trata de dos edades en que sólo se da una vez esa divisibilidad, significa que la diferencia es un número que sólo tiene un divisor, y eso sólo le ocurre al número 1, luego la diferencia es 1: él tiene 1 año más que ella. Entonces, ya lo demás es fácil de deducir: como las edades del matrimonio son dos números consecutivos, su máximo común divisor he de ser 1 (que es la edad del hijo) y el mínimo común múltiplo es igual al producto de las

edades; y al verificarse que este producto es igual al año en que hablan (y que es del siglo XX), sólo hay que buscar dos números consecutivos cuyo producto esté comprendido entre 1.901 y 2.000. Los únicos números que lo cumplen son 44 y 45, cuyo producto es 1.980. 25.

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