• Author / Uploaded
• fernanda

Citation preview

FACULTAD DE ESTUDIOS EN AMBIENTES VIRTUALES INGENIERÍA DE SISTEMAS

GUÍA No. 4 ACTIVIDAD 2 APLICACIONES DE LA TRASFORMADA DE LA PLACE

GRUPO DE TRABAJO COLABORATIVO

TUTOR

BOGOTÁ, D.C,

1

TABLA DE CONTENIDOS

CONTENIDO 1.Introducción…………………………………………………………..3 2.Desarrollo de la actividad 2…………………………………………4 2.1 importancia de la trasformada Laplace………………….4 2.2opinion del video …………………………………………...4 2.3ejemplos……………………………………………………..4 2.31 primer ejercicio…………………………………………5 2.32 segundo ejercicio………………………………………7 2.33 tercer ejercicio………………………………………….8 2.34 cuarto ejercicio…………………………………………11 3.Conclusiones………………………………………………………...13 4.Referente bibliográfico………………………………………………14

2

INTRODUCCION

El desarrollo de esta actividad estará centrado en el tema de las aplicaciones de la trasformada de la place, se representan modelos matemáticos donde se podrán reconocer aplicaciones de las EDO a la ingeniería para solución de procesos, se utilizará la herramienta Matlab la cual nos enseña una solución analítica y visualiza los campos vectoriales utilizando la trasformada de la place.

3

ACTIVIDADES Actividad No 2 1. Realizar un documento escrito acerca de la utilidad de la trasformada de Laplace en ingeniería. Indicaremos diciendo que las matemáticas y los sistemas dinámicos es de gran importancia ya que estos están relacionado con el mundo real, por medio de ecuaciones diferenciales es posible describir el comportamiento de una gran cantidad de fenómenos físicos., en el caso de la trasformada de Laplace esta a sido abordada por investigaciones educativas vinculadas con la ingeniería en diferentes formas, un ejemplo de ello es el control de procesos en el ámbito domestico ya sea para controlar temperaturas, humedad, en la trasportación para controlar que autos o aviones se mueven de un lugar a otro de forma segura y exacta, en la industria controla el numero de variables en los procesos. 2. Vea atentamente el video que se encuentra en el siguiente link http://goo.gl/g9lw90 y responda: ¿cuál es su opinión acerca de la transformada de Laplace después de ver el video? • Presente un método para resolver la transformada de Laplace utilizando MATLAB. Luego de ver el video, se afirma que la trasformada de Laplace es una técnica matemática utilizada para resolver ecuaciones diferenciales lineales y ecuaciones integrales. El video nos muestra la aplicación que tiene en la vida cotidiana con ejemplos enfocados al control de procesos, ya que en este campo es muy importante evaluar modelos dinámicos definido por ecuaciones diferenciales y la trasformada de Laplace es una herramienta fundamental para su resolución Gracias a herramientas como Matlab, el cálculo de la trasformada de Laplace se ha hecho muy sencillo, por lo que toma mucha importancia una definición acertada del sistema que deseamos proyectar y establecer correctamente sus condiciones iniciales 3. Utilizando cuatro ejemplos de ecuaciones diferenciales (se utilizarán los ejemplos de la guía anterior) utilizando el método de la trasformada de Laplace de manera analítica con la herramienta Matlab hallar:  Puntos críticos  Presentar EDO en su forma normal  Espacios de fase  Solución EDO 4

Esta actividad trata de mejorar la competencia” la capacidad para utilizar la técnicas habilidades y herramientas modernas necesarias para la práctica de la ingeniería Ejemplos 3.1 ejemplo Despejamos l 1

ecución EDO por medio de LAPLACE.

(

(i)=

−11 3 (i) 3 −3

((5+ μ)−

)

L i 1=−11i 1 +3 i2 i2=3i 1−3 i 2

{

l 1=

}

s l 1−l 1 ( 0 )=−11 l 1+ 3

l 1=

s l 2−l 2 (0)=3 l 1−3 l 2

s l 2−l 2 (0)=3 l 1−3 l 2

1

s+ 3 (i1 ( 3 ) ) s + 14 s +24 2

l 2=

3 s+3 2 s +3 s +14 s+ 24

l 2=

3 (i 2 ( s)) s + 14 s +24

2

(

)

2

Hacemos fracciones parciales para l 1 (s)e l 2 (s), Obteniendo

Reorganizamos variables ( s+11) l 1−3 l 2=11 −3 l 1+(5+3) l 2=0 2 Despejamos l 2 en2

l 1 ( s )=

9 1 1 1 × + × 10 s +12 10 s+2

l 2 ( s )=

3 1 3 1 × − × 10 s +2 10 s +12

Calculamos L−1 {l 1 ( s ) } y L−1 {l 2 ( s ) }

−3 l 2= l s +3 1

Obteniendo

Reemplazamos en 1

( s+ μ ) l 1−3

1 (5+ μ)(5+3)−9 s +3

Reemplazamosl 1 en 2

Condiciones Iniciales I 0 (0)=LA ,l 2 (0)=0 s l 1−l 1 (0)=−11l 1 +3 l2

9 ) l =1 s+ 3 1

( s+33 ) l =1

i 1 (t)=

9 −12 t 1 −2 t e + e 10 10

i 2 (t)=

3 −2 t 3 −12t e − e 10 10

1

Ahora vamos a function [ output_args ] = lapCircuit( input_args ) %UNTITLED Summary of this function goes here

% Detailed explanation goes here %Ec 1 clc

5

syms t s LD=laplace(D+0*t);LH=laplace(H+0*t); I1 = ( (E.*s-G).*LD+(E.*sG).*i10+C.*LH+C.*i20 )/( (E.*s-G).*(A.*s-B)C.*F ); i1t=ilaplace(I1); i1s=laplace(i1t); I2 = ( (A.*s-B).*i1s-LD-i10)./C; yt=ilaplace(I2); ys=laplace(yt); %Rta

A=1; B=-11; C=3; D=0; %Ec2 E=1; F=3; G=-3; H=0; %COnd Inic i10=1; i20=0; %Inf

disp(' ') disp(' ') disp(' *** Soluciones ***') disp('Dominio de Laplace ') disp([' I1(s) = ',char(i1s)]) disp([' I2(s) = ',char(ys)]) disp(' ') disp(' Dominio del Tiempo ') disp([' i1(t) = ',char(i1t)]) disp([' i2(t) = ',char(yt)]) subplot(2,1,1), ezplot(i1t),title('i1(t)'),grid on subplot(2,1,2), ezplot(yt),title('i2(t)'),grid on end

disp(' *** Ecuaciones y valores iniciales *** ') disp(['i1´(t) = ',num2str(B),' i1 + ',num2str(C),' i2 ']) disp(['i2´(t) = ',num2str(F),' i1 + ',num2str(G),' i2 ']) disp([' i1(0) = ',num2str(i10),' i2(0) = ',num2str(i20)]) %Laplace

Ecuaciones y valores iniciales

Soluciones

i1´(t) = -11 i1 + 3 i2

Dominio de Laplace

i2´(t) = 3 i1 + -3 i2

I1(s) = 1/(10*(s + 2)) + 9/(10*(s + 12))

i1(0) = 1 i2(0) = 0

I2(s) = 3/(10*(s + 2)) - 3/(10*(s + 12)

Dominio del Tiempo i1(t) = exp(-2*t)/10 + (9*exp(-12*t))/10 i2(t) = (3*exp(-2*t))/10 - (3*exp(-12*t))/10

6

3.2 ejemplo 2 .

x =3 x−2 y

x ( s )=

.

y =−2 x +3 y

1−2 y ( s ) ( s−3 )

Reemplazamos en 2

x ( 0 )= y ( 0 )=1 Aplicaciones L

2

(

1−2 y ( s ) + ( 5−3 ) y ( s )=1 s−3

)

.

{}

L x =L { 3 x−2 y }

(

y ( s ) ( s−3 )−

.

{}

L y =L {−2 x +3 y }

4 2 =1− s−3 s−3

)

2 s−3 y ( s )= 4 ( s−3 )− s−3 1−

sx ( 0 )−x ( 0 )=3 x ( s ) −2 y ( s ) sy ( s )− y ( 0 )=−2 x ( s ) +3 y ( s )

( s−3 ) x ( s ) +2 y ( s )=1 1

( s−3 )−2 s−3 y ( s )= ¿¿¿

1 2 x ( s )+ ( s−3 ) y ( s )=1 2

y ( s )=

s−s ¿¿

y ( s )=

s−s 1 = ( s−s ) ( s−1 ) s−1

Reorganizamos variables

Despejamos x ( s ) a 1

7

1 s−1

Reemplazamos valores de y ( s ) en 1

x ( s )=

2 s−1 x ( s )= s−3

Aplicamos L−1 { X ( S ) } , L−1 { Y ( S ) }

1−

X ( t )=e t

s−1−2 s−1 s−3 x ( s )= = s−3 ( s−3 )( s−1 )

Y (t )=e t

Utilizando Matlab function [ output_args ] = lapCircuit2( input_args ) %UNTITLED Summary of this function goes here % Detailed explanation goes here %Ec 1 clc syms t s A=1; B=3; C=-2; D=0; %Ec2 E=1; F=-2; G=3; H=0; %COnd Inic x0=1; y0=1; %Inf disp(' El sistema de Ecuaciones diferenciales dado por: ') disp(['x´(t) = ',num2str(B),' x + ',num2str(C),' y + , num2str(D)']) disp(['y´(t) = ',num2str(F),' x + ',num2str(G),' ' ])

disp([' i1(0) = ',num2str(x0),' i2(0) = ',num2str(y0)]) %Laplace LD=laplace(D+0*t);LH=laplace(H+0*t); X = ( (E.*s-G).*LD+(E.*s-G).*x0+C.*LH+C.*y0 )/( (E.*s-G).*(A.*s-B)-C.*F ); xt=ilaplace(X); xs=laplace(xt); Y = ( (A.*s-B).*xs-LD-x0)./C; yt=ilaplace(Y); ys=laplace(yt); %Rta disp(' ') disp(' ') disp('Soluciones Dominio de Laplace ') disp([' X(s) = ',char(xs)]) disp([' Y(s) = ',char(ys)]) disp(' ') disp('SOluciones Dominio del Tiempo ') disp([' x(t) = ',char(xt)]) disp([' y(t) = ',char(yt)]) subplot(2,1,1), ezplot(xt),title('x(t)'),grid on subplot(2,1,2), ezplot(yt),title('y(t)'),grid on end

Soluciones Dominio de Laplace

Soluciones Dominio del Tiempo

X(s) = 1/(s - 1) Y(s) = 1/(s - 1)

x(t) = exp(t) y(t) = exp(t)

8

3.3 ejercicio 3

Despejamos x ( s ) en 1

¿

X ❑ =3 x−2 y +sin t

x (s )=

1 1 ( −2 y ( s)) s−3 s 2+ 1

plicamosTransformada de Laplace

x (s )=

1−2(s2 +1) y ( s) ( s−3)( s2 +1)

L { X ¿ }=L { sx−2 y +sin t }

Reemplazamos en 2

Y ¿ =−4 x− y−cost X ( 0 ) =Y ( 0 )=0

L { Y ¿ }=L { 4 x− y−cos t } −4( Resolvemos sx ( s ) −x ( 0 ) =3 x ( s )−2 y ( s )+

Despejamos Y ( s )

1 2 s +1

sy (s )− y (0)=4 x (s)− y ( s)−

Y (s)¿

s s +1 2

y (s)=

Reorganizamos variables ( S−3) x (s )+ 2 y ( s)=

1 s +1

−4 x(s)+(s +1) y (s)=

2

s s +1 2

1−2(s2 +1) y (s) −s )+(s +1) y ( s)= 2 2 (s−3)(s +1) s +1

4 (s2 +1)−s ( s−3)( s 2+1) ¿ (s−3)¿ ¿

y ( s )=(s 2+ 1) ¿ ¿ ¿ 1 y ( s )= 2 9

−s2 +3 s +4 −s 2−3 s−4 = ( s 2 +1 ) ( s 2−2 s +2 ) ( s 2+ 1 )( s 2−2 s+ 2 )

y (s)=

( s−4)(s +1) ( s +1)( s2−2 s+2)

x (s )=

2

ReemplazamosY ( s ) en 1 x (s )=

3 s+1 (s +1)(s 2−2 s +2) 2

Aplicamos L−1 { X ( S ) } , L−1 { Y ( S ) }

1 ¿ s−3

x ( t )=

Resolviendo x ( s ) Obtenemos

−2 t 2 7 1 e cos ( 2 t )+ et sin ( 2 t )+ cos ( t ) − sin ( t ) 10 5 10 10

y (t)=

11 7 cos(t )+ sin(t)−e t ¿ 10 10

Pasamos a MATLAB function [ output_args ] = lapCircuit3( input_args ) %UNTITLED Summary of this function goes here % Detailed explanation goes here %Ec 1

disp(['y´(t) = ',num2str(F),' x + ',num2str(G),' y + cos(t) ' ]) disp([' i1(0) = ',num2str(x0),' i2(0) = ',num2str(y0)]) %Laplace LD=laplace(D+0*t);LH=laplace(H+0*t); X = ( (E.*s-G).*LD+(E.*s-G).*x0+C.*LH+C.*y0 )/( (E.*s-G).*(A.*s-B)-C.*F ); xt=ilaplace(X); xs=laplace(xt); Y = ( (A.*s-B).*xs-LD-x0)./C; yt=ilaplace(Y); ys=laplace(yt);

clc syms t s

A=1; B=3; C=-2; D=sin(t);

%Rta

%Ec2

disp(' disp('

E=1; F=4; G=-1; H=-cos(t);

') ')

disp('Soluciones Dominio de Laplace ') disp([' X(s) = ',char(xs)]) disp([' Y(s) = ',char(ys)]) disp(' ') disp('SOluciones Dominio del Tiempo ') disp([' x(t) = ',char(xt)]) disp([' y(t) = ',char(yt)]) subplot(2,1,1), ezplot(xt),title('x(t)'),grid on subplot(2,1,2), ezplot(yt),title('y(t)'),grid on

%COnd Inic x0=0; y0=0; %Inf disp(' El sistema de Ecuaciones diferenciales dado por: ') disp(['x´(t) = ',num2str(B),' x + ',num2str(C),' y + sin(t) ' ])

end

Soluciones Dominio de Laplace X(s) = (7*s)/(10*(s^2 + 1)) - (7*(s - 1))/(10*((s - 1)^2 + 4)) - 1/(10*(s^2 + 1)) + 4/(5*((s 1)^2 + 4))

10

Y(s) = (11*s)/(10*(s^2 + 1)) - (11*(s - 1))/(10*((s - 1)^2 + 4)) + 7/(10*(s^2 + 1)) - 3/(5*((s 1)^2 + 4)) Soluciones Dominio del Tiempo x(t) = (7*cos(t))/10 - sin(t)/10 - (7*exp(t)*(cos(2*t) - (4*sin(2*t))/7))/10 y(t) = (11*cos(t))/10 + (7*sin(t))/10 - (11*exp(t)*(cos(2*t) + (3*sin(2*t))/11))/10

2.4 ejercicio 4 .

x =x + y +1

Solucionado obtenemos

.

y =x + y x ( 0 )=0 , y ( 0 )=

1 X ( t )= +1−e2 t 2

−5 2

Y (t)=

Utilizando MATLAB function [ output_args ] = lapCircuit4( input_args ) %UNTITLED Summary of this function goes here % Detailed explanation goes here %Ec 1

A=1; B=1; C=1; D=1;

clc syms t s

E=1; F=1; G=1; H=0;

%Ec2

11

−t 3 2 t − −e 2 2

%COnd Inic x0=0; y0=-5/2;

Y = ( (A.*s-B).*xs-LD-x0)./C; yt=ilaplace(Y); ys=laplace(yt);

%Inf

%Rta

disp(' El sistema de Ecuaciones diferenciales dado por: ') disp(['x´(t) = ',num2str(B),' x + ',num2str(C),' y + ' , num2str(D)]) disp(['y´(t) = ',num2str(F),' x + ',num2str(G),' ' ]) disp([' i1(0) = ',num2str(x0),' i2(0) = ',num2str(y0)]) %Laplace

disp(' disp('

') ')

disp('Soluciones Dominio de Laplace ') disp([' X(s) = ',char(xs)]) disp([' Y(s) = ',char(ys)]) disp(' ') disp('SOluciones Dominio del Tiempo ') disp([' x(t) = ',char(xt)]) disp([' y(t) = ',char(yt)]) subplot(2,1,1), ezplot(xt),title('x(t)'),grid on subplot(2,1,2), ezplot(yt),title('y(t)'),grid on

LD=laplace(D+0*t);LH=laplace(H+0*t); X = ( (E.*s-G).*LD+(E.*s-G).*x0+C.*LH+C.*y0 )/( (E.*s-G).*(A.*s-B)-C.*F ); xt=ilaplace(X); xs=laplace(xt);

end

Soluciones Dominio de Laplace X(s) = 1/s - 1/(s - 2) + 1/(2*s^2) Y(s) = - 1/(s - 2) - 3/(2*s) - 1/(2*s^2) Soluciones Dominio del Tiempo x(t) = t/2 - exp(2*t) + 1 y(t) = - t/2 - exp(2*t) - 3/2

12

CONCLUSIONES

En el desarrollo de esta actividad se profundizo el tema de solución de Ecuaciones diferenciales ordinarias por la trasformada de Laplace, utilizando herramientas computarizadas como Matlab para hallar os puntos críticos y espacios de fase. la trasformada de Laplace es una herramienta que se utiliza en el campo de aplicación de los sistemas de control, ingeniera de producción, igualmente en los procesos de modelos dinámicos de comportamiento variable respecto al tiempo, con el fin de representarlo matemáticamente el comportamiento de un proceso

13

REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS  Nagle, R., Saff, E. y Snider, A. (2005). Fundamentos de ecuaciones diferenciales y problemas con valores en la frontera. Pearson: México. Capítulos 5 y 6.  Boyce, W., y DiPrima, R. (2004). Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems. John Wiley & Sons.  Lundberg, K., Miller, H., y Trumper D. (s.f) Initial Conditions, Generalized Functions, and the Laplace Transform.  Oppenheim, A., y Willsky, A. (2010). Señales y Sistemas. Prentice Hall.  Zill, D. (2010). Ecuaciones diferenciales, con aplicaciones de modelado. México: International Thomson Editores.

14

15