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• Daisy Calles

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INTRODUCCION El presente reporte elaborado por alumnos de la Universidad Dr. José Matías Delgado correspondiente a la materia Matemáticas 4 en el cual identificaremos algunas propiedades que poseen las ecuaciones diferenciales de orden superior (EDOS ) y prestaremos especial atención a las EDOS homogéneas con coeficientes constantes, las cuales tienen la forma

''

'

y +a 1 y +a2 y=0 , expondremos métodos

generales para determinar sus soluciones y conoceremos los diferentes casos para obtener la ecuación auxiliar y algunos ejemplos para su mejor comprensión.

OBJETIVOS  Identificar una Ecuación Diferencial de Orden Superior (EDO S) homogénea. 

ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR  Ecuaciones Diferenciales Homogéneas Se dice que una ecuación diferencia lineal de n-esimo orden de la forma

Es homogénea, mientras que una ecuación del tipo

Con g(x) no idéntica a cero, es no homogénea. Observamos que y=0 siempre es una solución de una ecuación lineal homogénea.  Ecuaciones Diferenciales de orden superior (EDO s) con coeficientes constantes. Forma general. La ecuación diferencial de primer orden constante, posee la solución exponencial

y ´ +ay=0

y=c1 e−ax

donde a es en el intervalo (

−∞ , ∞ ). Por lo tanto, es natural preguntarse si existen soluciones

exponenciales para ecuaciones diferenciales lineales homogéneas de orden superior

Donde los coeficientes ai , i=0, 1 … ,n son constantes reales y an ≠ 0

. Lo sorprendente es que todas las soluciones de estas ecuaciones de orden superior son funciones exponenciales o están construidas a partir de funciones exponenciales.

Ecuación auxiliar Comencemos por considerar el caso especial de una ecuación de segundo orden a y ' ' +b ´ + cy=0

(2)

Si intentamos encontrar una solución de la forma entonces, después de sustituir (2) se convierte en a m2 emx +bme x + c e x =0

y ' =m emx

y

mx

y=e

,

y '' =m2 e mx , la ecuación

mx 2 O e ( a m +bm+ c )=0

x

Como e nunca es cero para valores reales de x, evidentemente la única forma que tiene esta función exponencial de satisfacer la ecuación diferencial (2) es elegir m como una raíz de la ecuación cuadrática. am 2+ bm+ c=0

(3)

Esta última ecuación se denomina ecuación auxiliar de la ecuación diferencial (2). Dado que las dos raíces de (3) son

m1=(−b+ √b 2−4 ac)/2 a

2 y m2=(−b−√ b −4 ac )/2 a habrá tres formas

de la solución general de (1) correspondiente a los tres casos: 1.

m1

2 y m2 son reales y distintas b −4 ac >0

2.

m1

2 y m2 son reales e iguales b −4 ac =0

3.

m1

2 y m2 son números complejos b −4 ac