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• Wilfredo Catachura

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ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR

Reducción de orden de una E.D Consideramos aquí otro tipo de E.D de orden superior que se puede resolver reduciendo el orden y usando los métodos de las E.D de primer orden. I) Ecuación inmediatamente integrable

dny  f (x) dx n Para resolver esta E.D. seguimos el siguiente procedimiento d n1 y  f  x dx  c1 dx n1  d n2 y  f  x dx  c1 dx  c2 dx n2   . .









y   ... f  x dx  c1... dx  cn

Es decir, vamos reduciendo la derivada integrando hasta llegar a la variable dependiente sin derivada. Ejemplo: 1) Resolver la E.D

y' ' '  senx  cos x Solución: Resolvemos la E.D mediante la integración sucesiva

y ' '   senx  cos x dx  c1 y ' '   cos x  senx  c1 Luego:

y '    cos x  senx  c1 dx  c2 y '   senx  cos x  c1 x  c2 y    senx  cos x  c1 x  c2 dx  c3 y  cos x  senx 

c1 x 2  c2 x  c3 2

2) Resolver la E.D. y IV  x con las siguientes condiciones iniciales:

y x0 ;

y'  1 ;

y' '  y' ' '  0

Solución:

101

y ' ' '   xdx  c1 y' ' ' 

x2  c1 2

Reemplazando los valores de las condiciones iniciales c1  0

x2 2 x2 y ' '   dx  c2 2 3 x y' '   c2 6 y' ' ' 

Reemplazando valores iniciales c2  0 x3 6 x3 x4 y '   dx  c3  y '   c3 6 24 y' ' 

Reemplazando valores c3  1 x4 1 24  x4  y     1dx  c4  24  y' 

y

x5  x  c4 120

Reemplazando valores c4  0 y

x5 x 120

3) Hallar la solución general de la E.D y ' ' ' 

y  0 ; x 1 ; II)

y'  1 ;

ln x con las condiciones iniciales: x2

y' '  2





Ecuaciones de la forma f x, y k , y k 1 ,... y n  0 se puede reducir el orden de la E.D usando y

k 

v

1) Resolver: xy ' '2 y'  6 x Solución:

y'  v 

y ' '  v' 

dv dx

Reemplazando en la ED dada: 102

dv  2v  6 x dx dx 2 dv 2  v  6  F .I  e x  e 2 ln x  x 2 dx x

x

vx2  6 x 2 vx2  6  x 2 dx  c1 vx2  2 x 3  c1 2 x 3 c1 v 2  2 x x Pero v  y' ; reemplazando c dy  2 x  12 dx x c   dy   2 x  2 dx x  

Integrando

y  x2 

c2 x

2) Resolver: 2 yy ' '  3   y'

2

Sea y '  v



y ' '  v' 

dv dx

Reemplazando

2y

dv  3  v2 dx

Sabemos que

Si

dv dv dy  . dx dy dx

dy  y'  v  dx

Luego: 2 y.v



dv dv  .v dx dy

dv  3  v2 dy



2 y.vdv  3  v 2 dy

Arreglando

2vdv dy  3  v2 y 2vdv dy  3  v 2   y  c1

103

du  ln y  c1 u Ln(3  v 2 )  Lnyc1



(3  v 2 )  yc1 v 2  yc1 3  v 

yc1  3

dy  dx

dy  dx yc1  3

yc1  3 

  yc

dy

1  3

1

  dx  c2

2

1

2u 2  x  c2 2 yc1  3 2  x  c2 1

 yc1  312  x  c2 2

 x  c2  yc1  3     2  yc1 

2

x  c2 2  3

4 x  c2 2  3 y 4c1 c1

3) Resolver: 4 y' ' y  0

y'  v  4

y ' '  v' 

dv dx

dv  y0 dx

Pero

dv dv  .v dx dy dv 4 .v  y  0 dy dv 4v  y  0 dy

104

4vdv  ydy  0 4  vdv   ydy  c y2 2v  c 2 4v 2  y 2  c 2

4v 2  c  y 2 v2 

c  y2 4

c  y2 dy c  y 2 dy 1     c  y2 4 dx 4 dx 2 dy 1 dy 1  dx     dx  c2 2 2 2 2 c y c y

v

 y 1 arc sen   x  c2 c 2 y 1   sen x  c2  c 2   1  y  c sen x  c2  2  4)

y ' ' '  1   y ' '

2

Si y ' '  v



y ' ' '  v' 

dv dx

dv  1  v2 dx dv  dx 1  v2 dv  1  v 2   dx  c arctan v  x  c

v  tan x  c y ' '  tan x  c y '   tan x  c dx  c2

y '   ln cos x   x  c2

y    ln cos x   x  c2 dx  c3 y    ln cos x  

x2  c2 x  c3 2

105

ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN N Estas ecuaciones son de la forma:

anx y n   an1 x y n1  ...  a| x y1  a0 x y  Rx ...(1) donde a0 , a1 ,..., an y R son

funciones solo de x o constantes. Si Rx   0 se tiene:

an x y n   an1 x y n1  ...  a1 x y1  a0 x y  0 ... (2) En este caso la ecuación (2) se llama E.D. homogénea. Ejemplos: 1) x 3 y' ' '2 xy ' '5 y' xy  senx

y' '3 y'2 y  0 3) yy 'x  0 (no es lineal) 4) y' ' y' y  0 2)

INDEPENDENCIA LINEAL DE FUNCIONES Sea el conjunto finito de funciones:

f1 x , f 2 x ,..., f n x  Definidas en el intervalo a, b  . Estas funciones son linealmente independientes si existe escalares (o números reales) c1 , c2 ,.., cn tal que, si

c1 f1 x   c2 f 2 x   ...  cn f n x   0 entonces c1  c2  ...  cn  0

Si alguno de los ci i  1,2,3,..., n es diferente de cero, entonces las funciones dadas son linealmente dependientes. Ejemplos: 1) Averiguar si las funciones e x ; e  x son linealmente independientes. Solución: Tenemos 2 funciones, derivamos n  1 veces:

f1 x   e x

;

f 2 x   e  x

Sea c1e x  c2 e  x  0

c1e x  c2 e  x  0

2c1e x  0 si

ex  0

c1  0 Reemplazando en valor de c1 en la primera ecuación se tiene

c1e x  c2 e  x  0

c2 e  x  0 c2  0 Por lo tanto e x , e  x son funciones linealmente independientes.

106

2) Averiguar si las funciones f1 x   e x , f 2 x   2e x , f 3 x   e  x son linealmente independientes. Sea c1e x  c2 2e x  c3e  x  0...(1) Derivando c1e x  2c2 e x  c3e  x  0...(2) Derivando c1e x  2c2 e x  c3e  x  0...(3) En este caso, resulta más fácil resolver por determinantes. El Wronskiano Sean las n funciones: f1 x , f 2 x ,..., f n x  derivables c/u n  1 veces en el intervalo a, b  . Para que el conjunto de las n funciones sean linealmente independientes es necesario que se cumpla:

f1 f' w 1 f1 ' '  n 1 f1

f2 f2 ' f2 '' f2

 n 1

.... .... .... ....

fn fn ' 0 fn ''

f nn 1

El determinante w se llama determinante de wronsky o wronskiano de las funciones dadas. Observaciones: 1) Si y  y1 x ; y  y2 ( x);...; y  yn ( x) son n soluciones linealmente independientes de la E.D.L.H. (2), entones: y  c1 y1 x   c2 y2 x   ...  cn yn x  es la primitiva o solución general de la E.D.L.H. (2) 2) Si y  S (x) es una solución particular (o integral particular) de la E.D.L. (1),

entonces: y  c1 y1 x   c2 y2 x   ...  cn yn x   S x  es la primitiva o solución general de la E.D.L. (1)

Ejemplos: 1) Demostrar que las funciones 2, cos x, cos 2 x son funciones linealmente independientes. Solución: Hacemos uso del wronskiano: En este caso son 3 funciones y derivamos n  1 veces, es decir 2 veces

2 cos x cos 2 x w  0  senx  2sen2 x 0  cos x  4 cos 2 x Resolviendo:

w2

 senx  2sen2 x 0  2sen2 x 0  senx  cos x  cos 2 x  cos x  4 cos 2 x 0  4 cos 2 x 0  cos x

w  24senx cos 2 x  2sen2 x cos x   0 w  8senx cos 2 x  4sen2 x cos x





w  8senx cos 2 x  sen 2 x  42senx cos x cos x

107

w  8senx cos 2 x  8sen3 x  8senx cos 2 x w  8sen3 x  0  w  0 Por lo tanto las funciones dadas son linealmente independientes. 2) Determinar si e x , e 2 x , e3 x son linealmente independientes o dependientes. 3) Hallar el wronskiano de e x ,2e x , e  x

108

ECUACIONES DIFERENCIALES HOMOGENEAS DE COEFICIENTES CONSTANTES

Sea la E.D.

an y n  an1 y n1  ...  a1 y'a0 y  0...(1) Donde a0 , a1 ,..., an 1 , an  R con an  0 Ejemplo: y' ' '2 y' ' y' y  0 Para resolver esta E.D. 1) Formamos la ecuación característica an n  an 1n 1  ...  a  a0  0...(2) 2) Esta ecuación característica se resuelve algebraicamente es decir, hallamos las raíces reales y complejas. 3) Con las raíces se forma la solución de la E.D. tomando en cuenta que podemos tener:  Raíces reales diferentes  Raíces reales que se repiten  Raíces complejas diferentes  Raíces complejas que se repiten Entonces veamos cada caso: CASO I: Cuando las raíces de la ecuación característica (2) son reales y diferentes. El sistema fundamental de solución de la ecuación (1) tiene la forma:

e1x ; e2 x ;...; en x (Todas representan soluciones linealmente independientes de la E.D. (1)) luego la solución general de la ecuación (1) es:

y  c1e1x  c2 e 2 x  ...  cn en x x Teorema: Si 1 es una raíz de la E.C. (2) entonces y  e 1 es una solución de la ecuación (1)

Ejemplos: 1) Resolver la E.D. y' ' '3 y' '10 y'  0 E.C. 3  32  10  0 Observe que  solo reemplaza a la variable con derivada. Si la variable esta sin derivada solo colocamos su coeficiente.

 2  3  10  0

  0  2  3  10  0   5  2  0   5    2 Por lo tanto las raíces son:

1  0 ; 2  5 ; 3  2 109

Luego la solución general de la E.D. es:

y  c1e 0 x  c2 e5 x  c3e 2 x y  c1  c2 e5 x  c3e  2 x 2) Resolver: y' ' '3 y' '18 y'  0 CASO II: Cuando algunas de las raíces de la E.C son múltiples sea 1  2  ...K   de modo que  es una raíz k  múltiple o de multiplicidad K de la E.C y las demás n  k raíces restantes son diferentes. La solución general es:

y  c1ex  c2 xex  c3 x 2ex  ...  ck x k 1ex  c( k 1)e

( k 1)  x 

 ...  cnen x

Ejemplo: Hallar la solución general

y IV  9 y' ' '27 y' '27 y'  0 E.C. 4  93  272  27  0

 3  92  27  27   0    33  0

   0    3  0    3  1  3 ; 2  0 ; 3  0 ; 4  0 3

La S.G es:

y  c1e 3 x  c2 xe 3 x  c3 x 2 e 3 x  c4 e 0 x y  c1e 3 x  c2 xe 3 x  c3 x 2 e 3 x  c4 CASO III: Cuando algunas de las raíces de la E.C don complejas Si la E.C tiene raíces complejas   i , también tiene una raíz conjugada   i Supongamos que la E.C tiene raíces complejas

3    i 1 4    i ;

1    i ; 2    i

con   0 ;   0 y las demás raíces son reales y

diferentes. La solución general es:

y  c1ex cos x  c2ex senx  c3ex cos x  c4ex senx  c5e5 x  ...  cn en x Ejemplo: Hallar la solución general:

y' ' '2 y' '50 y'  0 E.C. 3  22  50  0

 2  2  50  0   0  2  2  50  0 110

 2  4  200 2   2   196





 2  14  1   1  7i  2   1  7i

 1  1  7i ; 2  1  7i ; 3  0 y  c1e  x cos 7 x  c2 e  x sen7 x  c3e 0 x y  c1e  x cos 7 x  c2 e  x sen7 x  c3 CASO IV: Cuando las raíces complejas se repiten.



Si     i es una raíz k  múltiple o de multiplicidad k de la E.C k  n

2

 entonces

2    i es también raíz k  múltiple de la E.C.; las demás raíces son reales y diferentes. La S.G es:

y  c1ex cos x  c2ex senx  c3ex x cos x  c4 xex senx  ...  c5 x 2ex cos x  c6 x 2ex senx  ...   c2 k 1 x k 1 cos x  c2 k 1 x k 1ex senx  c2 k 1e2 k x  ...  cnen x Ejemplo: Resolver yV  2 y IV  2 y' ' '4 y' ' y'2 y  0

5  24  23  42    2  0



4



 22  1   2  0

  2  1  0    2 4

 

2 1 2

2

0

  i

1  i ; 2  i ; 3  i ; 4  i ; 5  2 y  c1e 0 x cos x  c2 e 0 x senx  c3 xe 0 x cos x  c4 xe 0 x senx  c5 e 2 x y  c1 cos x  c2 senx  c3 x cos x  c4 xsenx  c5 e 2 x

111

ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES NO HOMOGENEAS DE COEFICIENTES CONSTANTES

Estas ecuaciones son de la forma

an y n   an 1 y n 1  ...  a1 y'a0 y  R( x) Para resolver estas ecuaciones, primero resolvemos el primer miembro igualando a cero, es decir como si fuera una ecuación diferencial homogénea, entonces hallamos yg; luego encontramos yp , finalmente la solución es:

y  yg  y p

Ejemplo: 1) Hallar la primitiva de la E.D.

y ' ' ' y ' ' y ' y  x 2  x.......................1

3  2    1  0 2   1    1  0



2



 1   1  0

2  1  0    1  0 y g  c1e 0 x cos x  c2 e 0 x senx  c3e x y g  c1 cos x  c2 senx  c3e x Ahora hallamos y p 1er caso: raíz de la E.C

 y p  Ax 2  Bx  C para algún A, B, C real seguimos el método de coeficientes indeterminados.

y p  Ax 2  Bx  C y ' p  2 Ax  B

Reemplazando en la E.D. dada

y' ' p  2 A

0  2 A  2 A  2 Ax  B  Ax 2  Bx  C  x 2  x

y' ' ' p  0

 Ax 2  2 A  B x  B  C  x 2  x  A 1 A  1

; ;

2A  B  1 2 1  B  2  1 B  3

; ;

BC  0 1 C  0 C  1

Reemplazando valores en yp tenemos:

y p   x 2  3x  1  y  yg  y p

y  C1 cos x  C2 senx  C3e x  x 2  3x  1 112

2) Resolver:

y IV  y ' ' '  x 2  x  3

4  3  0

3   1  0  3  0 ;   1  0

 1 1  0 ; 2  0 ; 3  0 ; 4  1 y g  C1e 0 x  C2 xe 0 x  C3 x 2 e 0 x  C4 e x y g  C1  C2 x  C3 x 2  C4 e x Cuando 0 es raíz de la E.C y de multiplicidad 3



y p  x 3 Ax 2  Bx  C y p  Ax  Bx  Cx 5

4



3

y '  5 Ax 4  4 Bx 3  3Cx 2 y ' '  20 Ax 3  12 Bx 2  6Cx y ' ' '  60 Ax 2  24 Bx  6C y IV  120 Ax  24 B Reemplazando:

120 Ax  24 B  60 Ax 2  24 Bx  6C  x 2  x  3  60 Ax 2  120 A  24 B x  24 B  6C  x 2  x  3  60 A  1 1 A 60

; ;

120 A  24 B  1  1  120    24 B  1  60  1 B 24

; ;

24 B  6C  3  1  24    6C  3  24  2 C 3

1 2  1  y p  x3   x 2  x   24 3  60

1 2  1 y  c1  c2 x  c3 x 2  c4 e x  x 3   x 2  x   24 3  60

113