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ECUACIONES DIFERENCIALES UNIDAD DOS ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR

Presentado a: EDSON DANIEL BENITEZ Tutor Entregado por: SMITH YOHANA JUSPIAN Código: 1.061.687.655 JUAN CARLOS ESPARZA Código: 1.095.921.016 LIZETH KATHERINE FERNANDEZ Código: 1.098.710.474 CRISTIAN DARIO BASTOS Código: xxxxx FABIO HERNAN GETIAL Código: xxxxx Grupo: 100412_57

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA - UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, INGENIERÍAS Y TECNOLOGÍAS CURSO DE ECUACIONES DIFERENCIALES FECHA 13 DE JULIO BOGOTÁ D.C. 2019

INTRODUCCIÓN

OBJETIVOS

PASO 2 ELECCIÓN DE EJERCICIOS A DESARROLLAR PARTE INDIVIDUAL Tabla de elección de ejercicios: Nombre del estudiante Smith Yohana Juspian Muñoz Juan Carlos Esparza Piña

Rol a desarrollar Entregas Compilador

Lizeth Katherine Fernández Mejía Fabio Hernán Getial

Revisor

Cristian Darío Bastos

Alertas

Evaluador

Grupo de ejercicios a desarrollar paso 1. El estudiante desarrolla el ejercicio a en todos los 3Tipo de ejercicios. El estudiante desarrolla el ejercicio b en todos los 3Tipo de ejercicios El estudiante desarrolla el ejercicio c en todos los 3Tipo de ejercicios El estudiante desarrolla el ejercicio d en todos los 3Tipo de ejercicios Ejemplo: Desarrollo el ejercicio a en todos los 3 Tipo de ejercicios.

DESARROLLO DE LA ACTIVIDAD COLABORATIVA PASO 3 EJERCICIOS INDIVIDUALES A continuación, se definen los 3 Tipos de ejercicios para presentar en el Paso 3.

TIPO DE EJERCICIOS 1 –ECUACIONES DIFERENCIALES HOMOGÉNEAS. Dar solución a las siguientes ecuaciones diferenciales de orden superior homogéneas (Cada estudiante debe desarrollar el ejercicio seleccionada en la tabla del paso, debe indicando la razón o argumento de cada paso en el procedimiento efectuado) ESTUDIANTE QUE REALIZÓ: Smith Yohana Juspian Muñoz

a.

PROPOSICIÓN ENUNCIADO O EXPRESIÓNMATEMÁTICA

RAZÓN O EXPLICACIÓN La ecuación características es: Formula cuadrática

La solución de la ecuación es

ESTUDIANTE QUE REALIZÓ:

PROPOSICIÓN ENUNCIADO O EXPRESIÓNMATEMÁTICA

RAZÓN O EXPLICACIÓN

ESTUDIANTE QUE REALIZÓ: Lizeth Katherine Fenández Mejía

PROPOSICIÓN ENUNCIADO O EXPRESIÓNMATEMÁTICA

RAZÓN O EXPLICACIÓN Una EDO homogénea, lineal de segundo orden tiene la siguiente forma

Para una ecuación ay´´- by´+ cy = 0, se asume una

solución con la forma Se reescribe la ecuación con Se simplifica Se resuelve

Para dos raíces reales

, la solución general

toma la forma Se simplifica

ESTUDIANTE QUE REALIZÓ:

PROPOSICIÓN ENUNCIADO O EXPRESIÓN MATEMÁTICA

RAZÓN O EXPLICACIÓN

ESTUDIANTE QUE REALIZÓ: Cristian Darío Bastos

PROPOSICIÓN ENUNCIADO O EXPRESIÓNMATEMÁTICA

RAZÓN O EXPLICACIÓN Para la solución de la ecuación diferencial se debe partir de lo general una vez resuelto se pueden encontrar el valor de las constante La expresión de la ecuación diferencial se debe poner en términos de un polinomio característico. Factorizar para así obtener el valor de m

Ya que los valores de m son iguales y reales se plantea la siguiente solución. Ya teniendo la solución se reemplazan por las condiciones iniciales.

Obtenemos las constantes

Solución de la ecuación diferencial.

EJERCICIOS 2 – ECUACIONES DIFERENCIALES NO HOMOGÉNEAS Solucionar las siguientes Ecuaciones diferenciales de primer orden empleando el método de Homogéneas (Cada estudiante debe desarrollar el ejercicio seleccionada en la tabla del paso, debe indicando la razón o argumento de cada paso en el procedimiento efectuado)

ESTUDIANTE QUE REALIZÓ: Smith Yohana Juspian Muñoz

PROPOSICIÓN ENUNCIADO O EXPRESIÓN MATEMÁTICA

RAZÓN O EXPLICACIÓN La ecuación característica es:

De multiplicidad por dos La solución homogénea es: Se propone la solución: Derivamos: Sustituimos en la ecuación dada:

Coeficientes equivalentes:

La solución general es:

ESTUDIANTE QUE REALIZÓ:

PROPOSICIÓN ENUNCIADO O EXPRESIÓN MATEMÁTICA

RAZÓN O EXPLICACIÓN

ESTUDIANTE QUE REALIZÓ: Lizeth Katherine Fenández Mejía

PROPOSICIÓN ENUNCIADO O EXPRESIÓN MATEMÁTICA

RAZÓN O EXPLICACIÓN La solución general de la ecuación diferencial lineal no homogénea dada es Solución:

Sustituir en la ecuación diferencial

Se resuelve la ecuación auxiliar utilizando la formula cuadrática

Por lo tanto, la solución general de la ecuación diferencial homogénea es Resolver para

, utilizando el método de variación

de parámetros. Calcular el Wronskiano usando

Hallamos los valores w

Hallamos los valores

Hallamos los valores

Hallamos los valores

Hallamos los valores

,=

La solución general es:

ESTUDIANTE QUE REALIZÓ:

PROPOSICIÓN ENUNCIADO O EXPRESIÓN MATEMÁTICA

RAZÓN O EXPLICACIÓN

ESTUDIANTE QUE REALIZÓ: Cristian Darío Bastos

PROPOSICIÓN ENUNCIADO O EXPRESIÓN MATEMÁTICA

RAZÓN O EXPLICACIÓN Encontrar la solución de la ecuación diferencial igualada a 0. Hallamos el valor de z y vemos que esta repetida 3 veces. Al tener 3 resultados iguales se plantea la siguiente solución. Asumimos la solución de la siguiente manera. Se deriva 3 veces la solución.

Reemplazamos los valores de la solución derivada 3 veces en la ecuación diferencial original.

Hallamos los valores de las constantes

Solución de la ecuación diferencial.

EJERCICIOS 3 - ECUACIÓN DE CAUCHY - EULER. De acuerdo al texto anterior soluciona las siguientes Ecuaciones de Cauchy Euler (Cada estudiante debe desarrollar el ejercicio seleccionada en la tabla del paso, debe indicando la razón o argumento de cada paso en el procedimiento efectuado) ESTUDIANTE QUE REALIZÓ: Smith Yohana Juspian Muñoz

a.

PROPOSICIÓN ENUNCIADO O EXPRESIÓN MATEMÁTICA

RAZÓN O EXPLICACIÓN Ecuación característica Buscamos las raíces de la ecuación

Raíz de multiplicidad dos

La solución es:

ESTUDIANTE QUE REALIZÓ:

PROPOSICIÓN ENUNCIADO O EXPRESIÓN MATEMÁTICA

RAZÓN O EXPLICACIÓN

ESTUDIANTE QUE REALIZÓ: Lizeth Katherine Fenández Mejía

PROPOSICIÓN ENUNCIADO O EXPRESIÓN MATEMÁTICA

RAZÓN O EXPLICACIÓN Buscamos las raíces de la ecuación

El polinomio característico tiene las tres raíces simples. Como todas estas raíces son enteros no negativos, se deduce que la solución general de la ecuación es

ESTUDIANTE QUE REALIZÓ:

PROPOSICIÓN ENUNCIADO O EXPRESIÓN MATEMÁTICA

RAZÓN O EXPLICACIÓN

ESTUDIANTE QUE REALIZÓ: Cristian Darío Bastos

PROPOSICIÓN ENUNCIADO O EXPRESIÓN MATEMÁTICA

RAZÓN O EXPLICACIÓN Planteamiento de la Ecuación diferencial Planteamiento de solución del componente homogéneo. Se hace una sustitución y se deriva 3 veces Se obtiene los valores de r

Como se obtuvo valores parte real parte imaginaria se plantea la siguiente ecuación. Solución del componente homogéneo.

Para encontrar la solución completa se plantea esta solución. Se Reemplaza la solución derivada en la ecuación diferencial original.

Se da la solución a la parte particular de la ecuación diferencial. Solución del ejercicio

PASO 4 PRESENTACIÓN DE APORTES A LA SOLUCIÓN DEL PROBLEMA PLANTEADO EJERCICIO 4. SITUACIÓN PROBLEMA A partir de la situación problema planteada el grupo debe realizar los aportes respectivos en el foro colaborativo con el fin de reconocer las características del problema que se ha planteado y buscar el método de solución más apropiado según las ecuaciones diferenciales de primer orden seleccionando la respuesta correcta de las 4 alternativas. Un sistema vibratorio que consiste en una masa unida a un resorte como se muestra en la figura

Se suelta desde el reposo a

unidades debajo de la posición de equilibrio. La masa es de

constante elástica es

El movimiento es amortiguado (

una fuerza periódica externa

, comenzando en

. Para esta situación, la solución corresponde a:

y la

y está siendo impulsado por Dicha fuerza está definida como

a.

b.

c.

d. .

PROPOSICIÓN ENUNCIADO O EXPRESIÓN MATEMÁTICA

RAZÓN O EXPLICACIÓN Se tiene un movimiento forzado con amortiguamiento

Aceleración Velocidad Trasponiendo términos en la ecuación

Multiplicando por 5 tenemos Ecuación homogénea ; f(t)=0 La ecuación característica es Se resuelve por formula cuadrática

Entonces la solución homogénea es Con el método de coeficientes indeterminados, la solución particular será de la forma

Sustituyendo en la ED

Factorizando El sistema de ecuaciones resultante es:

Se tiene que Reescribiendo tenemos La solución es

Haciendo t = 0

Derivando la expresión y haciendo t = 0

Tenemos

Por lo tanto, la ecuación es

PASO 5 EJERCICIO 5. ANÁLISIS Y EVALUACIÓN DE LA SOLUCIÓN DE UNA SITUACIÓN PLANTEADA. Se presenta un problema junto con su solución, de forma colaborativa deben evaluar y analizar toda la solución a la situación plantea, si consideran que todo el proceso y respuesta se encuentra de manera correcta, deben realizar aportes en cuanto a procedimiento faltante y fórmulas utilizadas, resaltando en otro color los aportes extras a la solución. Si el grupo considera que el proceso y/o respuesta se encuentra incorrecto, deben realizar la observación y corrección al error o errores encontrados resaltando en otro color la corrección y aportes extras a la solución. Situación y solución planteada:

Situación

Se conecta en serie un resistor de 12 Ω, un capacitor de 0.1 F, un inductor de 2 H y una fuente de voltaje V = 20 V, formando un circuito RLC. Sí inicialmente se encuentra descargado el capacitor y no circula corriente por el circuito. Determinar las expresiones para la carga y la corriente:

EJERCICIO Y SOLUCIÓN PLANTEADA

OBSERVACIONES, ANEXOS, MODIFICACIONES A LA SOLUCIÓN PLANTEADA

Solución planteada: Se tiene que la carga

sobre el capacitor

se modela con la ED:

La solución general de esta ecuación se obtiene sumando las soluciones complementaria y particular:

Haciendo cambio de variable derivando

y

,

. Sustituyendo:

La ecuación característica:

Factorizando se obtienen las siguientes soluciones:

Cuando las raíces son diferentes y reales, una función complementaria es:

Pero por lo que la carga es:

Derivando se obtiene la corriente:

Si se tiene en cuenta las condiciones iniciales y , se obtiene el siguiente sistema:

Sustituyendo:

La corriente que circula sobre el circuito es:

PASO 8 TABLA ENLACES VIDEOS EXPLICATIVOS Nombre Estudiante Smith Yohana Juspian Muñoz

Ejercicios sustentados a de todos los tipos de ejercicios.

Enlace video explicativo

Juan Carlos Esparza Piña

b de todos los tipos de ejercicios.

Lizeth Katherine Fernández Mejía Fabio Hernán Getial

c de todos los tipos de ejercicios. d de todos los tipos de ejercicios.

Cristian Darío Bastos

e de todos los tipos de ejercicios.

CONCLUSIONES

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS