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Ecuaciones de Movimiento para un Robot de 2gdl Planar con Dinámica Gravitacional. Juan D. Ramírez Zamora1 Universidad Autónoma de Estado de Hidalgo, CITIS, Cd. Universitaria, Carretera Pachuca-Tulancingo Km. 4.5, Mineral de la Reforma, Hidalgo, México.

Resumen Se calcularán las ecuaciones de movimiento para un robot planar de dos grados de libertad con dinámica gravitacional considerando las masas de los eslabones (m1 , m2 ),la longitud de los eslabones (L1 , L2 ), longitud al centro de gravedad (LCG1 , LCG2 ), coeficiente de fricción viscosa (b1 , b2 ) y coeficiente de fricción seca o Coulomb (k1 , k2 ).

1.

Dinámica de un robot planar 2gdl

Para determinar la dinámica de un brazo de 2gdl, se examino la F igura1, donde se ha supuesto que las masas enlace se concentran en los extremos de los enlaces. La variable conjunta es q = [θ1 θ2 ]T y el vector de fuerza generalizada es τ = [τ1 τ2 ]T con θ1 y θ2 pares de torsión suministrado por los actuadores.

Figura 1. Robot 2gdl

1.1.

Energía Cinética y Energía Potencial

La energía cinética y potencial estan determinadas por K=

1 mv 2 2

2

P = mgh

para el eslabón 1, la energía cinética y potencial son

K1 =

2 1 m1 L21 θ˙1 2

P1 = m1 gLCG1 Sin(θ1 ) Para el eslabón 2 tenemos X2 = L1 Cos(θ1 ) + L2 Cos(θ1 + θ2 ) X˙ 2 = −L1 θ˙1 Sin(θ1 ) − L2 (θ˙1 + θ˙2 )Sin(θ1 + θ2 ) Y2 = L1 Sin(θ1 ) + LCG2 Sin(θ1 + θ2 ) Y˙2 = L1 θ˙1 Cos(θ1 ) + LCG2 (θ˙1 + θ˙2 )Cos(θ1 + θ2 )

La velocidad al cuadrado es 2 2 v 2 = X˙ 2 + Y˙2

Sustituyendo tenemos v 2 = [−L1 θ˙1 Sin(θ1 ) − L2 Sin(θ1 + θ2 )(θ˙1 + θ˙2 )]2 + [L1 θ˙1 Cos(θ1 ) + L2 Cos(θ1 + θ2 )(θ˙1 + θ˙2 )]2

Reduciendo términos se tiene la siguiente ecuación de v 2 2

2

v 2 = L21 θ˙1 + L22 (θ˙1 + θ˙2 )2 + 2L1 L2 (θ˙1 + θ˙1 θ˙2 )Cos(θ2 )

La energía cinética del eslabón 2 queda representada de la siguiente manera 2 2 1 1 m2 L21 θ˙1 + m2 L22 (θ˙1 + θ˙2 )2 + m2 L1 L2 (θ˙1 + θ˙1 θ˙2 )Cos(θ2 ) 2 2 La energía potencial del eslabón 2 queda representada de la siguiente manera

K2 =

P2 = m2 gL1 Sin(θ1 ) + m2 gLCG2 Sin(θ1 + θ2 ) 1.2.

Ecuaciones de Lagrange

La ecuación del Lagrangiano es L = K1 + K2 − P1 − P2 Sustituyendo y reduciendo los valores de K1 , K2 , P1 , P2 en la formula anterior y tenemos L=

2 1 2˙2 1 L θ1 (m1 + m2 ) + m2 L22 (θ˙1 + θ˙2 )2 + m2 L1 L2 (θ˙1 + θ˙1 θ˙2 )Cos(θ2 ) 2 1 2 − (m1 LCG1 + m2 L1 )gSin(θ1 ) − m2 gLCG2 Sin(θ1 + θ2 )

3

Los términos necesarios para encontrar nuestra dinámica son ∂L = L21 θ˙1 (m1 + m2 ) + m2 L22 (θ˙1 + θ˙2 ) + m2 L1 L2 (2θ˙1 + θ˙2 )Cos(θ2 ) ∂ θ˙1 [ ] 2 d ∂L = (m1 + m2 )L21 θ¨1 + m2 L22 (θ¨1 + θ¨2 ) + m2 L1 L2 (2θ¨1 + θ¨2 )Cos(θ2 ) − m2 L1 L2 (2θ˙1 θ˙2 + θ˙2 )Sen(θ2 ) ˙ dt ∂ θ1 ∂L = −(m1 LCG1 + m2 L1 )gCos(θ1 ) − m2 gLCG2 Cos(θ1 + θ2 ) ∂θ1 ∂L = m2 L22 (θ˙1 + θ˙2 ) + m2 L1 L2 θ˙1 Cos(θ2 ) ∂ θ˙2

[ ] d ∂L = m2 L22 (θ¨1 + θ¨2 ) + m2 L1 L2 (θ¨1 Cos(θ2 ) − m2 L1 L2 θ˙1 θ˙2 Sen(θ2 ) dt ∂ θ˙2 2 ∂L = −(m2 L1 L2 Sen(θ2 )(θ˙1 + θ˙1 θ˙2 ) − m2 gLCG2 Cos(θ1 + θ2 ) ∂θ2

Finalmente, de acuerdo a la ecuación de Lagrange, la dinámica del robot de 2gdl está dado por el siguiente par de ecuaciones diferenciales no lineales [ ] [ ] τ1 = (m1 + m2 )L21 + m2 L22 + 2m2 L1 L2 Cos(θ2 ) θ¨1 + m2 L22 + m2 L1 L2 Cos(θ2 ) θ¨2 2 − m2 L1 L2 (2θ˙1 θ˙2 + θ˙2 )Sen(θ2 ) + (m1 LCG1 + m2 L1 )gCos(θ1 ) + m2 gLCG2 Cos(θ1 + θ2 ) + bθ˙1 + ktanh(β θ˙1 ) 2 τ2 = [m2 L22 + m2 L1 L2 Cos(θ2 )]θ¨1 + [m2 L22 ]θ¨2 − m2 L1 L2 θ˙1 Sen(θ2 ) + m2 gLCG2 Cos(θ1 + θ2 ) + b(θ˙1 + θ˙2 ) + ktanh(β θ˙1 + θ˙2 )

2.

Conclusión

Se obtuvieron las ecuaciones de movimiento de robot de 2gdl siguiendo la metodología Euler-Lagrange, como es un sistema de 2gdl de considera el comportamiento del primer eslabón para definir el comportamiento del segundo eslabón.