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• Alexander García

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EC. DE CONSERVACIÓN DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO

MOMENTO LÍNEAL

MOMENTO ANGULAR

EC. DE CONSERVACIÓN DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO

ECUACIÓN DE MOMENTO LÍNEAL

ECUACIÓN DE MOMENTO LÍNEAL

ECUACIÓN DE MOMENTO LÍNEAL

ECUACIÓN DE MOMENTO LÍNEAL

APLICACIONES VC FIJOS

APLICACIONES VC FIJOS

APLICACIONES VC MOVILES

SIMPLIFICACIONES

SELECCIÓN DEL VC • •

VC se puede seleccionar arbitrariamente pero su selección complica o facilita el análisis. consideraciones: – Defina claramente las superficies de control de manera que sean normales al flujo. – Identifique todos los flujo que atraviesan las SC. – Identifique las fuerzas de interés que actúan en el VC y en las SC. – Para VC en movimiento use la velocidad relativa

– Para tomar en cuenta las aproximaciones de velocidad constante

 = Factor de corrección de la cantidad de movimiento

EJEMPLOS VC FIJOS

En el codo mostrado circulan 5 m3/s de agua, la presión en la entrada es de 650 kPa. Si la perdida de carga en el codo es de 10 m, determine la presión a la salida de éste y las fuerza de sujeción en las direcciones X y Z necesarias para mantener en su sitio el codo

y

z

x

V12 V22 V12 V22 P1  = P2   hl  P2 = P1    hl 2 2 2 2 V12 V22 P2 = P1    hl 2 2 5 5 V2 = = 9 . 9472 m / s ; V = = 25.4648.m / s 1 2 2   0 .4   0.25 0.9982  25.4648 2 0.9982  9.9472 2 P2 = 650    9.789  10 = 826.37 kPa. 2 2

y x

z

 F =  F  P A cos 60  P A V m  V m = V m cos 60  V m x

x

x

s

1

1

x

2

1

1

2

2

2

e

 Fx  P1 A1 cos 60  P2 A2 = V1 m1 cos 60  V2 m2 Fx = P1 A1 cos 60  P2 A2  V1 m1 cos 60  V2 m2 Fx = P1 A1 cos 60  P2 A2  V1 m1 cos 60  V2 m2 Fx = 650    0.25 2 cos 60  826.37    0.4 2  0.9982  5  25.4648 cos 60  0.9982  5  9.9472 Fx = 592.3863kN l

y x

z

 F =  F  P A sen60 V m  V m = V m sen60 z

z

z

s

1

1

z

1

1

e

 Fz  P1 A1 sen60 = V1 m1 sen60 Fx = ( P1 A1 sen60  V1 m1 sen60) Fx = (50    0.25 2 sen60  0.9982  5  25.4648sen60) Fz = 1185695kN

Por la pieza reductora, horizontal de la fig, circula agua. Si el caudal es de 450 lps, la presión aguas arriba de 147 kPa y las perdidas en la pieza son 8(V2 – V1)2/2g. Determinar la fuerza Fx necesaria para mantenerla fija.

EJEMPLOS VC FIJOS Por el codo de la fig, fluye agua que descarga a la atmosfera. Los diámetros respectivos de las secciones 1 y 2 son 10 cm y 3 cm. Cuando el flujo de peso es 150 N/s, la presión en 1 es 233 kPa. calcule las fuerzas sobre la abrazadera en la sección 1, sin considerar el peso del VC.

EJEMPLOS VC FIJOS Gasolina es mezclada al pasar a través de la “Y” horizontal que se muestra en la fig, Determine la magnitud de las componentes horizontal y vertical de la fuerza ejercida por el agua si la presión en 3 es p3 = 145 kPa. Asuma flujo sin fricción.

Fx

Fy

 F = V m  V m x

x

s

x

e

 F = V m  V m y

 F =  F  P A cos 30  P A cos 45  P A V m  V m = V m cos 30  V m cos 45  V m x

x

x

s

1

x

1

2

1

1

2

3

2

2

y

s

y

e

3

3

3

e

 Fx  P1 A1 cos 30  P2 A2 cos 45  P3 A3 = V1 m1 cos 30  V2 m2 cos 45  V3 m3 Fx = P1 A1 cos 30  P2 A2 cos 45  P3 A3  V1 m1 cos 30  V2 m2 cos 45  V3 m3

Fx Fy

F

y

= Fy  P1 A1 sen30  P2 A2 sen45

V m  V m = V m sen30  V m sen45 y

s

y

1

1

2

2

e

Fy  P1 A1 sen30  P2 A2 sen45 = V1 m1 sen30  V2 m2 sen45 Fy = V1 m1 sen30  V2 m2 sen45  P1 A1 sen30  P2 A2 sen45

Fx Fy Fx = P1 A1 cos 30  P2 A2 cos 45  P3 A3  V1 m1 cos 30  V2 m2 cos 45  V3 m3 m3 Q P3 = 145kPa, Q3 = Q1  Q2 = 30  3.4 = 33.4lps = 0.0334 ,V = s A Q 4 * 0.03 m 4 * 0.0034 m 4 * 0.0334 m V1 = 1 = = 0 . 955 ; V = = 0 . 433 , V = = 1 . 063 2 3 A1 s s s  0 .2 2  0.212  0.212 P V2 P V2 V2 P V2 P V2 P 1 1 z = 2  2 z = 3  3 z  1 = 3  3  1 1  2 3  2g 2g  2g   2g 2g  0.680 P = P  V 2  V 2  = 145  1.063 2  0.955 2 = 145.074kPa 1 3 2 3 1  2  0.680 P = P  V 2  V 2  = 145  1.063 2  0.433 2 = 145.320kPa 2 3 2 3 2  2









F y

F x

Fx = P1 A1 cos 30  P2 A2 cos 45  P3 A3  V1 m1 cos 30  V2 m2 cos 45  V3 m3 Fx = 145.074 0.12 cos 30  145.32 0.05 2 cos 45  145 0.12  ... ...0.680 * 0.03 * 0.955 cos 30  0.68 * 0.0034 * 0.433 cos 45  0.68 * 0.0334 * 1.063 F = 0.1922kN x Fy = V1 m1 sen30  V2 m2 sen45  P1 A1 sen30  P2 A2 sen45 Fy = 0.680 * 0.03 * 0.955sen30  0.68 * 0.0034 * 0.433sen45  ... ...145.074 0.12 sen30  145.32 0.05 2 sen45 F = 1.481kN y

EJEMPLOS VC FIJOS Agua (30°C) del depósito a presión de 3 bar, fluye hacia la bifurcación de donde sale por las áreas 1 y 2 .la tubería principal tiene un diámetro de 0.3 m, la pérdida de carga desde el depósito a la brida B es de 4 mca, la lectura h=0.3m, las velocidades de salida en la bifurcación son iguales V1=V2. .En estas circunstancias calcule: a) caudales de salida en la bifurcación b) perdidas de carga en cada rama de la bifurcación y c) reacciones en la brida B. Datos: A1= 0.05 m2, A2=0.03 m2, P1= 2.5 bars, P2=2.4 bars.

Analizando el tubo de pitot 2 Py Vx Px  = ; Vx = 2g  

2g( p y  px )



p = p y  p x = h ( S Hg  1) con  = 9.764kN / m 3 y S Hg = 13.56 Vx =

2 x9.81x0.3 x (13.56  1)



= 8.598 m

s

FUERZAS SOBRE PLACAS, PALETAS O ALABES FIJOS En la figura se muestra el flujo de agua a través de un conducto de 50 cm de alto y 1 m de ancho. La compuerta BC regula el chorro de agua que sale del conducto variando el ángulo β. Determine el valor de este ángulo que hará que la fuerza del chorro sobre la placa sea de 3 kN. Observe que la compuerta cierra totalmente el conducto cuando β= 90°.

EJEMPLOS VC FIJOS Por la T horizontal que se muestra en la fig 3 esta circulando agua. Con los siguientes datos Q1 = 0.25 m3/s, Q2 = 0.15 m3/s, p1 = 100 kPa, p2 = 70 kPa, p3 = 80 kPa, D1 = 15 cm, D2 = 10 cm, D3 = 15 cm calcule las fuerzas necesarias para mantener quieta la T.

EJEMPLOS VC FIJOS Agua descarga a la atmosfera a través del dispositivo hidráulico mostrado en la fig, determine las componentes horizontal y vertical de la fuerza requerida en la brida (flange) para mantener fijo el dispositivo.

Por el tubo vertical de aluminio mostrado en la fig, se descargan 5 cfs de agua a la atmosfera. El tubo pesa 1.5 lb por pie de longitud, la longitud L es de 50 pies y su diámetro es 6 pulg. Si la perdida de carga debido a la fricción de la sección 1 al extremo del tubo es de 10 pies, determine la fuerza longitudinal transmitida en la sección 1 por la pared del tubo.

F

y

= V y m  V y m s

F

y

e

= R y  P1 A1  Wtubo  Wagua

 V m   V m = m v y

s

y

2 2

 m1v1

e

como m2 = m1 y v 2 = v1

V m  V m = 0 y

s

F

y

e y

= R y  P1 A1  Wtubo  Wagua = 0

R y = P1 A1  Wtubo  Wagua

R y = P1 A1  Wtubo  Wagua  Wtubo = 1.5  30 = 45 lb Wagua = AL = 62.3    ( 123 ) 2  30 = 366.9773 lb P V2 P V2 P 1  1  z = 2  2  z  h ; 1 = z  z  h l 1  2 2 1 l  2g 2g  P 1 = 30  10 = 20 pies  P = 62.3  20 = 1246 psf 1 

R y = 1246    ( 123 ) 2  45  366.9773 = 167.326 Lb R y = 167.326 Lb

EJEMPLOS VC FIJOS En un canal abierto el flujo de agua es controlado por una compuerta de esclusa, como se muestra en la fig, suponiendo distribución hidrostática de la presión en las secciones de entrada y salida, determine la fuerza por unidad de ancho que ejerce el flujo sobre la compuerta.

EJEMPLOS VC FIJOS La fig muestra la sección de transición en un pequeño canal. Corriente arriba de la transición, el canal es de 5m de ancho, con una profundidad del agua de 4m y la velocidad del agua es de 0.75 m/s. Al salir de la transición y corriente abajo de la misma, el canal tiene un ancho de 1.5 m y el agua una profundidad de 3.6m. suponiendo distribución hidrostática de la presión en las secciones de entrada y salida Determine la fuerza sobre las paredes de la sección de transición

EJEMPLOS VC FIJOS

La fig muestra la sección de transición en un pequeño canal. Corriente arriba de la transición, el canal es de 5m de ancho, con una profundidad del agua de 4m y la velocidad del agua es de 0.75 m/s. Al salir de la transición y corriente abajo de la misma, el canal tiene un ancho de 1.5 m y el agua una profundidad de 3.6m. suponiendo distribución hidrostática de la presión en las secciones de entrada y salida Determine la fuerza sobre las paredes de la sección de transición

F

x

=

V

x

m  Vx m

s

e

F =  P A   P A  F  V m   V m = m(V  V ) x

1

A1

x

s



A1

1

A2

x

2

2

2

x

1

e

P1 A1 



A2

P2 A2  Fx = m(V2  V1 )

Fx = m(V2  V1 ) 



A2

P2 A2 



A1

P1 A1

Fx = m(V2  V1 )  F2  F1 m = VA = 998.2  0.75  4  5 = 14973kg / s V1 A1 0.75  4  5 V2 = = = 2.778m / s A2 1 .5  3 .6 F1 = Pc1 A1 = 9.789  2  20 = 391.56kN F2 = Pc 2 A2 = 9.789  1.8  1.5  3.6 = 95.1491kN Fx = 14.973(2.778  0.75)  95.1491  391.56 = 266.0456kN

EJEMPLOS VC FIJOS En el dispositivo que se muestra en la fig, en el punto A entran 30 L/s de agua a 20ºC con una presión de p1=300 kPa. En C se aspira 1 L/s de aceite con una S=0.65. Un flujo de la mezcla de agua y aceite sale por B a una presión manométrica p2 de 150 kPa. Las dimensiones de D1 y D2 son 200 y 250 mm respectivamente. Determine el empuje horizontal sobre el dispositivo. Asuma flujo sin fricción.

Un caudal de 600 l/s de agua fluye sin fricción por una tubería horizontal de 45 cm de diámetro que se bifurca en dos de 15 cm y 30 cm de diámetro como indica la figura (P.6). Se pide: Fuerzas Fx y Fy a que está sometida la pieza en Y

Un codo convergente desvía el flujo 135° en un plano vertical. El diámetro de la entrada es 400 mm y el de la salida 200mm, el volumen del codo entre esas secciones es de 0.2 m3. Si el caudal de agua es 0.4 m3/s y las presione en la entrada y salida del codo son de 150 kPa y 90 kPa respectivamente, la masa del codo es de 13 kg, Calcule las fuerzas de sujeción horizontal y vertical necesarias para mantener en su sitio el codo.

APLICACIONES VC MOVILES

APLICACIONES VC MOVILES

ECUACIÓN DE MOMENTO LÍNEAL VC moviéndose con velocidad constante

Un VC (fijo en relación en relación con un marco de referencia xyz.) moviéndose con una velocidad constante, Vrf , relativa a un marco de referencia fijo (inercial) XYZ también es inercial, puesto que no tiene aceleración respecto a XYZ. Es valida la ecuación.

Siempre que: 1. Todas las velocidades se miden relativas al VC

2. Todas las derivadas respecto al tiempo se miden relativas al VC

EJEMPLO VC MÓVIL Un chorro horizontal sale de una boquilla de diámetro 1 pulg, con una velocidad de 100 pies/s, dirigiéndose a una paleta donde es desviada simétricamente como se muestra en la fig , determine: a) la componente en la dirección x de la fuerza de sujeción requerida para mantener fija la paleta, b)idem para restringir la velocidad de la paleta a un valor de 10 pies /s a la derecha y c) la potencia transferida a la paleta móvil.

a) la componente en la dirección x de la fuerza de sujeción requerida para mantener fija la paleta,

 F = V m  V m x

Fx

F

x

 V m   V m = m V x

s

x

2

2

x

s

x

e

=  Fx

cos 45  m2V2 cos 45  m1V1

e

con m1 = 2m2 y V1 = V2

V m  V m = 2m V x

s

x

2

2

cos 45  m1V1 = m1V1 (1  cos 45)

e

Fx = m1V1 (1  cos 45) = AV 2 1  cos 45 2

 0 .5  2 Fx = 1.936      100 1  cos 45 = 180.26 Lb  12 

b) la componente en la dirección x de la fuerza de sujeción para restringir la velocidad de la paleta a un valor de 10 pies /s a la derecha Fx

 F = V x

F

x

 V m   V m = m V x

s

x

2

r2

s

rx

m   Vrx m e

=  Fx

cos 45  m2Vr 2 cos 45  m1Vr1

e

con m1 = 2m2 y Vr1 = Vr 2 = V  U

V s

rx

m   Vrx m = 2m2Vr 2 cos 45  m1Vr1 = m1Vr1 (1  cos 45) e

Fx = m1 (V  U )(1  cos 45) = A(V  U ) 2 1  cos 45

Fx = m1 (V  U )(1  cos 45) = A(V  U ) 2 1  cos 45 2

 0.5  2 1  cos 45 = 146 Lb Fx = 1.936     ( 100  10 )   12  c) la potencia transferida a la paleta móvil.

pie Pot = UFx = 10  146 = 1460 Lb. s pie 1hp Pot = 1460 Lb.  = 2.655 hp pie s 550 Lb. s

EJEMPLO VC MÓVIL Un chorro de agua de sección circular a una velocidad Vo incide sobre un alabe que se mueve en el mismo sentido que el chorro con una velocidad constante u, siendo  el ángulo de inclinación del alabe. Determinar: . a)Fuerza horizontal FX y vertical FY que el chorro ejerce sobre el alabe. . b)Velocidad que debe tener el alabe para conseguir una potencia útil máxima. . c)Siendo el diámetro del chorro d = 4 cm, Vo = 6 m/s y u = 2 m/s calcular, Fx, Fy y la potencia para =30°.

a)Fuerza horizontal FX y vertical FY que el chorro ejerce sobre el alabe. FX

 Fx = Vxr m  Vxr m s

 F = V y

e

yr

m   V yr m

s

FY

e

 F = F V m  V m = V m x

x

 Fx = V2 m2 cos   V1 m1

F = F V m  V m = V m sen

Fx = V1 m1  V2 m2 cos  ;  m1 = m2 = m

Fy = V2 m2 sen = A(V0  U ) 2 sen

x

s

x

2

2

cos   V1 m1

e

Fx = m(V1  V2 cos  );  V1 = V2 = (V0  U ) Fx = A(V0  U ) 2 (1  cos  )

y

y

y

s

y

2

2

e

Fy = A(V0  U ) 2 sen

b)Velocidad que debe tener el alabe para conseguir una potencia útil máxima W = Fx * U = A(V0  U ) 2 (1  cos  )U W = A(1  cos  )(V02U  2U 2V0  U 3 ) dW

= A(1  cos  )(V02  4UV0  3U 2 )

du A(1  cos  )(V02  4UV0  3U 2 ) = 0

U = V0  mínimo V0  máximo 3 6 U = = 2m / s 3

U=

c)Siendo el diámetro del chorro d = 4 cm, Vo = 6 m/s y u = 2 m/s calcular, Fx, Fy y la potencia para =30°. Fx = A(V0  U ) 2 (1  cos  ) Fx = 1000 0.02 2 (6  2) 2 (1  Cos30) Fx = 2.694 N Fy = V2 m2 sen = A(V0  U ) 2 sen Fy = 1000 0.02 2 (6  2) 2 sen30 Fy = 10.053 N W = Fx * U = 2.694 * 2 = 5.388W

EJEMPLO VC MÓVIL El plato circular que se muestra en la fig. posee un diámetro de 0.20 m. Tal como se muestra un chorro de agua con velocidad de 40 m/s incide concéntricamente sobre el plato, haciendo que este se mueva hacia la izquierda a 10 m/s. El diámetro del chorro es de 20 mm. El plato tiene un agujero en el centro que deja atravesar sin resistencia una parte del chorro que forma otro chorro de 10 mm de diámetro, mientras que el resto del chorro principal es desviada y fluye a lo largo del plato. Determine la fuerza necesaria para mantener el plato en movimiento a la velocidad U=10 m/s.

 F = V x

xr

s

 F = V y

F V s

s

m   V xr m e

yr

m   V yr m e

x

=F

xr

m   V xr m = V2 m2 cos   V3 m3 cos   V4 m4  V1 m1 e

EJEMPLO VC MÓVIL El álabe que se muestra en la fig. se mueve hacia la derecha a 3 m/s. Suponiendo flujo ideal, que el chorro se divide de tal modo que un tercio se desvía hacia A y el resto hacia B . Conociendo que la velocidad del chorro es 12 m/s, siendo el diámetro del chorro de 15 cm. Determine: a)La fuerza horizontal resultante sobre el alabe; b)La potencia transmitida c)La potencia del chorro y del agua que sale del alabe.

A 60°

B

EJEMPLO VC MÓVIL La paleta sobre ruedas que se muestra en la fig, se mueve a velocidad constante Vo cuando un chorro de agua con velocidad de salida en la boquilla igual a V1 es desviada 45º por la paleta como se indica en la fig. Determine la magnitud y dirección de las componentes de la fuerza F ejercida por la corriente de agua sobre la superficie de la paleta. La velocidad del chorro de agua que sale de la boquilla es de 100 pies/s y la paleta se mueve a la derecha con velocidad constante de 20 pies/s.

EJEMPLO VC MÓVIL El alabe que se muestra en la fig es uno de un conjunto que se mueven a la derecha a velocidad U, este sistema de alabes desvían el chorro de agua tal como se muestra, donde = 60º. Calcule: a) la Fuerza F y caudales Q2 y Q3, si la placa se mueve hacia la derecha a una velocidad U= 20 m/s y b) La velocidad con que debe moverse la placa (en la dirección x) para producir la máxima potencia y el valor de esta potencia en Watts.

EJEMPLO VC MÓVIL El rodete Pelton de la fig, está siendo impulsada a 200 rpm por un chorro de agua a 20ºC con velocidad de 150 pie/s y 2.5 pulg, de diámetro. Suponiendo que no hay perdidas determine: a) la fuerza ejercida por el chorro sobre los alabes b) la potencia en hp transmitida a la turbina y c)La velocidad de rotación rpm a la que se producirá la potencia máxima y el valor de esta en hp. Suponga que hay suficientes paletas en la turbina como para aprovechar todo el chorro de agua que sale por la tobera.