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Ecuaciones de Fresnel para la reflexión y refracción Rayos incidente, transmitido, y reflejado en la interface Coeficientes de reflexión y transmisión Ecuaciones de Fresnel Angulo de Brewster Reflexión total interna

Plano de incidencia y la interface con el medio Definición Perpendicular (“S”) la polarización apunta hacia afuera del plano de incidencia.

Medio de incidencia

ki Ei

Plano de incidencia (x-y plano) es el plano que contiene los vectores k de los rayos incedente y reflejado.

Paralelo (“P”) La polarización sigue paralelo al plano de incidencia.

kr Er

ni

qi qr

Interface Plane of the interface (here the yz plane) (perpendicular to page)

y

z

qt

x

nt Et

kt

Medio de transmisión

Notación simplificada para los estados de polarización Perpendicular (“S”) Esta polarización se encuentra apuntando hacia afuera del plano de incidencia.

Paralelo (“P”) Esta polarización está paralela al plano de incidencia

Ecuaciones de Fresnel Podemos calcular la fracción de la luz de la onda refejada y transmitida por la interface entre los dos medios con distinto índice de refracción. Fresnel fué el primero que hizo éste cálculo. Empecemos por considerar las condiciones de contorno en la interface para el campo eléctrico y magnético de la ondas i,r,t para el caso “S” primero.

ki Bi

kr Ei

Interface El caso considerado corresponde a luz con el campo perpendicular al plano de incidencia

Er

qi qr

ni

Br

y z

qt

Et Bt

x nt

kt

Condiciones de contorno para el campo Eléctrico en la interface

y x

z La componente tangential del campo eléctrico es continua En otras palabras, el campo total E en el plano de la interface es continuo.

Surge que, todos los campos E están en la dirección z, que es e plano (xz) de la interface, Así:

ki Bi Interface

Ei

Er

kr

qi qr

Br

qt

Et Bt

ni

nt

kt

Ei(x, y = 0, z, t) + Er(x, y = 0, z, t) = Et(x, y = 0, z, t)

Condiciones de contorno para el campo magnético en la interface

y

x

z

La componente tangencial del campo magnético es continua En otras palabras, el campo total B en el plano de la interface es continuo.

ki

qi

Ei

Bi qi qi qr

Interface Todos los campos B están en el plano x-y, de las que tomamos la componente x:

kr Er

Br

qt

Et Bt

ni

nt

kt

–Bi(x, y = 0, z, t) cos(qi) + Br(x, y = 0, z, t) cos(qr) = –Bt(x, y = 0, z, t) cos(qt)

Reflexión y Transmisión de luz polarizada perpendicularmente (S) Ignoring the rapidly varying parts of the light wave and keeping only the complex amplitudes: E0i  E0 r  E0t

 B0i cos(qi )  B0 r cos(q r )   B0t cos(qt )

y qi  q r : But Si B  E /(c0 / n)  nE / c0 and ni ( E0 r  E0i ) cos(qi )  nt E0t cos(qt ) Substituting for E0t using por E0i  E0 r  E0t : Sustituyendo ni ( E0 r  E0i ) cos(qi )  nt ( E0 r  E0i ) cos(qt )

Coficientes de Reflexión y Transmisión para luz polarizada perpendicularmente Rearranging ni ( E0 r  E0i ) cos(qi )   nt ( E0 r  E0i ) cos(qt ) obtenemos yields: reacomodando : E0 r  ni cos(qi )  nt cos(qt )   E0i  ni cos(qi )  nt cos(qt ) 

Solving for E0r / E0i obtenemos yields the reflection coefficient : Resolviendo el coeficiente de reflexión: r  E0 r / E0i   ni cos(q i )  nt cos(q t ) /  ni cos(q i )  nt cos(q t )  transmission coefficient, E0t / E0i , es: is EnAnalogously, forma análogathe el coeficiente de transmisión

t  E0t / E0i  2ni cos(q i ) /  ni cos(q i )  nt cos(q t )

Estas son la llamadas ecuaciones de Fresnel para luz polarizada perpendicularmente

Ecuaciones de Fresnel Campo eléctrico paralelo

ki Bi

kr Ei

Br

qi qr

Er

Campo Bentrante en la página.

y z

ni

Interface Geometría de los Rayor para luz polarizada con el campo eléctrico fi paralelo al plano de incidencia

qt Bt

Et

nt

kt

Notar que el campo magnético debe hacia la pantalla para lograr que E  B  k.

x

Coeficiente de Reflexión y Transmisión para E paralelo (P) al plano de incidencia For parallel polarized light,al PI para luz polarizada paralela and y

B0i - B0r = B0t

E0icos(qi) + E0rcos(qr) = E0tcos(qt)

Solving for E0r / E0i yyields the reflection coefficient, calculamos obtenemos el coef de reflexión

r||:

r||  E0 r / E0i   ni cos(qt )  nt cos(qi ) /  ni cos(qt )  nt cos(qi ) 

Analogously, the el transmission coefficient, En forma análoga coeficiente de transmisión

t|| = E0t / E0i, es:

t||  E0t / E0i  2ni cos(qi ) /  ni cos(qt )  nt cos(qi )

Estas son las llamadas ecuaciones de Fresnel para luz polarizada paralelamente.

Coeficiente de Reflexión y Transmisión para una interface Aire-Vidrio naire  1 < nvidrio  1.5

Hay reflexión total para q = 90° para ambas polarizaciones Reflexión cero para polarización paralela en el “ángulo de Brewster” (56.3° para los valores de ni y nt). (Para valores difrerentes de los índices de refracción, el ángulo de Brewster será diferente.)

Coeficiente de Reflexion, r

Note que:

1.0

ángulo de Brewster

.5

r||=0!

r||

0

r┴

-.5

-1.0

0°

30°

60°

ángulo de Incidencia, qi

90°

nvidrio  1.5 > naire  1 Note que : Ocurre refexión total interna por encima del “ángulo crítico "

qcrítico  arcsin(nt /ni) (el seno en la ley de Snell no puede ser > 1!)

Coeficiente de Reflecxión, r

Coeficiente de Reflexión para la interface Vidrio-Aire 1.0

Ángulo Crítico

r┴

.5

Reflexión

Total interna

0 Ángulo de Brewster -.5

Ángulo crítico

r||

-1.0 0°

30°

60°

90°

Angulo de incidencia, qi

Transmitancia (T)  c  2 I   n 0 0  E0  2  T  Potencia transmitida / Potencia Incidente Si el rayo tiene un ancho wi:

wi

qi ni nt

qt

I t At  I i Ai

At wt cos(qt )   Ai wi cos(qi )

wt

2   0 c0  n E 2 t 0t   n E wt nt wt 2   I t At  wt 2  t 0t T    t   2 2 I i Ai   0 c0   wi  ni E0i wi ni wi n E  i  0i 2  



  nt cos qt    2 T  t   ni cos qi   

A = Area

Ya que

E0t E0i

2 2

La Transmitancia se llama también Transmisividad.

 t2

Reflectancia (R)  c  2 I   n 0 0  E0  2  R  Potencia reflectada/ Potencia incidente

wi

ni nt

qi qr

I r Ar  I i Ai

A = Area

wi

Dado que el ángulo de incidencia = ángulo de reflexión, el área del rayo no cambia en la reflexión. También, n es el mismo para ambos rayos ya que están en el mismo medio. Así:

R  r2

La Reflectancia se llama también Reflectividad.

Reflectancia y Transmitancia para una interface Aire-Vidrio Polarización Perpendicular 1.0

Polarización Paralela 1.0

T

T .5

.5

R 0

R

0 0°

30°

60°

90°

0°

Ángulo de Incidencia, qi

Note que

30°

60°

90°

Ángulo de Incidencia, qi

R+T =1

Reflectancia y Transmitancia para una interface Vidrio-Aire Polarización Perpendicular 1.0

Polarización Paralela 1.0

R

R

.5

.5

T

T

0

0 0°

30°

60°

90°

0°

Ángulo de Incidencia, qi

Note que

30°

60°

90°

Ángulo de Incidencia, qi

R+T =1

Reflexión con incidencia normal Cuando qi = 0,

y

 nt  ni  R    n  n  t i T



2

4 nt ni

 nt  ni 

2

Para una interfaz aire-vidrio (ni = 1 y nt = 1.5),

R = 4% and T = 96% Los valores son los mismos,independientemente de la dirección en que viaje la luz, del aire al vidrio o viceversa.

Cambio de fase para la Reflexión de luz polarizada perpendicularmente r  E0 r / E0i 

 ni cos(qi )  nt cos(qt )  ni cos(qi )  nt cos(qt )

ni  nt   When qi  0, r  Cuando  ni  nt  to glass  , r  0 Si If ni  nt  air Aire-vidrio

ki

kr

Ei Bi Interface

qi qr

Er Br

qt

Et

Bt

ni

nt kt

Entonces habrá interferencia destructiva entre el rayo incidente y el reflejado. De la misma forma, si ni > nt (vidrio - aire), r > 0, la interferencia será constructiva.

Cambio de fase para la Reflexión de luz polarizada perpendicularmente r  E0 r / E0i 

 ni cos(qt )  nt cos(qi )  ni cos(qt )  nt cos(qi ) ni  nt   When qi  0, r  Cuando  ni  nt  Si

If ni  nt (air to glass), r  0

Aire-vidrio

ki

Bi Interface

Br

Ei

qi qr

kr

Er

qt Bt

Et kt

Esto significa que habrá interferencia destructiva con el rayo incidente. De la misma forma, si ni > nt (vidrio - aire), r|| > 0, habrá interferencia constructiva.

ni

nt

Gráficas del cambio de fase para la reflexión reflection (aire - vidrio) ni < nt

p

180° para todos los ángulos

┴ 0 0°

30°

60°

90°

Áng de incidencia p

180° para ángulos menores al ángulo de Brewster'; 0° para ángulos mayores

|| 0 0°

30°

60°

90°

Áng de incidencia

Gráficas del cambio de fase para la reflexión reflection (vidrio - aire) nt < ni

p

Cambia la fase por encima del ángulo crítico

┴ 0

0°

30°

60°

90°

Áng de incidencia p

180° para ángulos por debajo de ang de Brewster; 0° para valores mayores

|| 0

0°

30°

60°

90°

Áng de incidencia

Reflexión Total Interna (RIT) ocurre cuando sin(qt) > 1, y no hay haz transmitido Note que la irradiancia del haz transmitido tiende a cero ( occurre RIT) as it grazes the surface.

Ángulo de Brewster Reflexión Total interrna

RIT tiene 100% de eficiencia, esto es, toda la luz es refejada.

Fibras Opticas Las Fibras Opticas usan la RIT para transmitir luz a largas distancias.

Cada vez juegan un rol mas importante en nuestras vidas

Estructura de las fibras ópticas Core:

Vidrio fino que senecuentra en el centro de la fibra por el que se conduce la luz Cladding: rodea el core y refleja la luz nuevamente hacia el core Buffer coating: Film protector plástico

ncore > nclad

Propagación de la luz en una fibra óptica La luz viaja a través del core rebotando entre las paredes reflectantes. Esto le permite viajar a la luz grandes distancias sin pérdidas en la señal.

Alguna señales se degradan debido a imperfecciones en el vidrio utilizado en la contrucción de la fibra. Las mejores fibras ópticas mustran muy poca pérdida – menos de 10%/km en 1,550 nm.

Reflexión Total Interna Frustrada (RITF) Colocando una superfice en contacto con la superfice en la que ocurre RIT, la reflection total interna puede ser “frustrada.” Reflexión total interna n=1 n n

Reflexión total interna frustada n=1 n n

Cuán cerca deben estar las superficies para que ocurra RITF? Este efecto provee evidencia acerca de los “campos evanescentes”

El vector de onda k de la onda evanescente El vector de onda k de la onda evanescente tiene componentes x e y : Paralelo a la superficie: ktx = k sin(qt) Perpendicular a ésta: kty = k cos(qt)

ki

qi

kr ni qt

y

x

kt

Usando la ley de Snell, sin(qt) = (ni /nt) sin(qi), así ktx tiene sentido. y nuevamente: cos(qt) = [1 – sin2(qt)]1/2 = [1 – (ni /nt)2 sin2(qi)]1/2 = ± ib

Despreciando la solución sin sentido físico -ib, obtenemos: Et(x,y,t) = E0 exp[–kb y] exp i [ k (ni /nt) sin(qi) x – w t ] La onda evanescente decae exponencialmente en la dirección transversal.

nt