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BIPRISMA DE FRESNEL I.

OBJETIVOS 

Observar el efecto de interferencia producido por dos fuentes virtuales y determinar su separación.



II.

Al observar este efecto comprobar la naturaleza ondulatoria de la luz.

FUNDAMENTO TEORICO El Biprisma de Fresnel es un instrumento óptico que permite observar las bandas de interferencia que provienen de dos fuentes de luz. Para lo cual estas fuentes deben de ser coherentes y puntuales . Veamos como es posible esto: Primero, en nuestro estudio partiremos de la hipótesis que la luz tiene naturaleza ondulante, sean S1 y S2 fuentes de ondas luminosas puntuales con la misma frecuencia ωi., entonces la perturbación puede venir por : S1 : E1(r,t) = E01 cos (K1 .r1 – ωt + Ø1) S2 : E1(r,t) = E02 cos (K2 . r2 – ωt + Ø1)

(1.1)

Para estudiar la interacción entre estas ondas es más conveniente usar una magnitud escalar como la irradiancia I, la cual es proporcional al cuadrado de E. I

1 r2 E 2

T



1 r r E.E 2

T

El campo total E = E1 + E2 , entonces por ahora podemos considerar:

1

(1.2)

I

r 1 r r r ( E1  E1 ).( E2  E1 ) 2

T



1 r2 E1 2

T



1 r2 E2 2

T

r r  E1 .E2

T

(1.3) Identificando los términos en (1.3) como I1, I2, … I12 Entonces I = I1 + I2 + I12

(1.4)

En donde I12 es el termino de intensidad. De lo cual : r r I12  E1.E2

T

r r r r r r  E01.E02 cos( K1.r1  t  1 ).cos( K 2 .r2  t  2 )

T

Sea : K1 .r1 + Ø1 = ψ1 y K2 . r2 + Ø2 = ψ2 Entonces: r r 1 1 t T I12  E01 .E02     cos( 1   2  2t )  cos( 1  2 ) dt 2 T t

De donde se obtiene I12 

1 E01 E02 cos( 1  2 ) 2

Y sabiendo que : E01  2 I1 ;

E02  I 2 ;

y ψ1- ψ2 = δ

Entonces I12  2 I1 I 2 cos( )

(1.5)

Por lo tanto : I  I1  I 2  2 I1 I 2 cos( )

(1.6)

Esta ecuación nos muestra que el término de interferencia (1.6) depende directamente del desfasaje δ entre ambos frentes de onda. Cuando δ es constante en el tiempo como ahora, se dice que las fuentes de onda son coherentes, lo cual equivale a decir que tengan la misma frecuencia [ 1 ] [ 2 ] 2

Si la separación en S1 y S2 es pequeña: K1 ≈ K2 ≈ K Y de forma escalar : δ = k ( r1 – r2) + Ø1 – Ø2 Es decir : r1 – r2 =

1 (δ + Ø2 – Ø1) = cte. K

(1.7)

Entonces en un plano las regiones de interferencia se pueden representar por una familia de hipérbolas . Pero como el análisis es real entonces (1.7) nos muestra que las regiones en el espacio de desfasaje constante son representados por hiperboloides de revolución [ 2 ]. Entonces es evidente que observar la interferencia producida entre las dos fuentes S1 y S2 será distinta según la posición en el espacio. Tal es así que si observa desde algún punto entre S1 y S2 se verán circunferencias concéntricas o desde un punto Q como el de la figura se observaron franjas de interferencia. [ 3 ] Fig. 1

Nuestro estudio se realizará desde una posición como la de Q . En la realidad es imposible obtener dos fuentes de luz coherentes (esto debido a la agitación atómica) . Es aquí donde está la utilidad del biprisma

3

de Fresnel que producirá virtualmente dos fuentes S1 y S2 a partir de una sola . Según el diagrama de la figura 2 Fig. 2

Para hallar el desfasaje en p al aplicar (1.7) con Ø 1 = Ø2 = 0 δ = k (r1 – r2) =

2 (r1 – r2) 

Pero de las figuras se observa que: a 2 ) 2

(i)

a 2 ) 2

(ii)

r12 = D2 + (y + r22 = D2 + (y -

y luego (i) – (ii) : (r1 + r2) (r1 – r2) = 2ya

(1.9)

Ahora debemos considerar que en el caso real la distancia de entre S1 y S2 es muy pequeña en comparación con r1, r2 y D, además las franjas de interferencia son solo observables hasta una distancia x muy corta . Entonces R1 +r2 = 2r1 ≈ 2D

(1.10)

4

Y luego (1.9) R 1 – r2 = y

a D

(1.11)

También en (1.8)

δ=

2 a ya ) = 2 m ( y ) = 2 (  D D

(1.12)

Entonces y será la distancia entre dos franjas de interferencia si es que m es un entero en particular m = 1, se denomina máximo de interferencia de primer orden. Entonces en (1.12) 1

ya D



λ=

ya D

(1.13)

Mediante (1.13) se puede obtener λ para una onda monocromática, pero nosotros en particular la uniremos para hallar la separación d entre dos fuentes virtuales producidas por el Biprisma de Fesnel. a

D y

(1.14)

Entonces para el diagrama experimental se tendrá:

En donde se observa que las imágenes virtuales S1 y S2 son producidas por refracción.

5

III. EQUIPO EXPERIMENTAL 1. Una lámpara láser 2. Una rendija graduable 3. Un biprisma de Fresnel 4. Un banco óptico 5. Un vernier y una wincha

IV.

PROCEDIMIENTO EXPERIMENTAL

I.1 Se dispuso el equipo como se indica en la figura 3 con el láser en la posición S y la pantalla una pared I.2 Se colocó en el banco óptico la rendija y el biprisma de modo que la rendija esté entre el biprisma y el láser. I.3 Se ajustó la abertura de la rendija de tal forma que se pudiera observar las franjas de interferencia cerca al punto donde se enfocaba el láser. I.4 Se tomaron las mediciones de las distancias y entre máximos con el vernier y la distancia D con una wincha. I.5 Se repitió esto para 3 grupos de datos.

6

V.

DATOS EXPERIMENTALES

De acuerdo al siguiente diagrama de procedimiento se muestran los datos de distancias D y ΔY medidos y otros más que serán necesarios. Fig.4

TABLA Nº 1 : DISTANCIAS OBTENIDAS Y OTROS DATOS Nº

D (cm) ± 0.05 cm

ΔY (+) ± 0.0025 cm

1

294.00

1.0000

2.00

2

263.00

1.0650

2.50

3

225.00

0.8500

2.50

LONGITUD DE ONDA NOMINAL DEL LASER ABERTURA D ELA RENDIJA

l (cm) ± 0.05 cm

λo = 623 mm

b = 0.2 ± 0.05 mm

VI. CALCULOS Y RESULTADOS I.6 Según la Ec. (1.14) la relación a usar es : a = Dλ/ ΔY

(1.14)

Para buscar la relación entre el error de las magnitudes a la derecha, al calcular el error propagado en a, tomemos logaritmo natural a ambos lados. ln a = ln D + ln λ – ln ΔY

7

y ahora diferenciando Δa ΔD --- = ---a D

+

Δλ ---λ

Δ (ΔY) --------ΔY

-

tomando en cuenta que en nuestro caso λ es una magnitud que va por error (pues es un valor referencial ) entonces el error máximo en a se hallará por: Δa

= a( (ΔD/D + Δ (ΔY)/ ΔY))

Equivalente a:

Δa = a(δD + δ ΔY)

(6.1)

I.7 Ahora procederemos a calcular las separaciones entre las fuentes virtuales para cada dato de la tabla 1. λo D1 a1 = ---------- = Δy1

623 x 10-9 m 294 x 10-2 m -----------------------------------1 x 10-2

= 1.8316 x 10-4

Y el error Δa1 de (6.1) Δa1 = 1.8316 x 10-4 ((0.05/294) + 0.0025/1) = 4.89 x 10-7 m. Entonces siendo a1 = a1 best + Δa1 a1 = (1.8316 ± 0.00489) x 10-4 m.

a1 = (1.83) ± 0.005) x 10-4 m ahora en el segundo dato:

λo D2 A2 = ---------- = Δy2

(623 x 10-9 m )( 263 x 10-2 m ) -----------------------------------= 1.5384 x 10-4 1.065 x 10-2 8

(6.2)

Δa2 = 1.5384 x 10-4 ((0.05/263) + 0.0025/1.065) = 3.903 x 10-7 m. Entonces :

a2 = (1.538 ± 0.004) x 10-4 m

(6.3)

Por último con el tercer dato:

λo D3 a3 = ---------- = Δy3

(623 x 10-9 m )( 225 x 10-2 m ) -----------------------------------= 1.64911 x 10-4 -2 0.85 x 10

Δa2 = 1.64911 x 10-4 ((0.05/225) + 0.0025/0.085) = 5.2168 x 10-7 m. De lo cual : a3 = (1.64911 ± 0.0052168) x 10-4 m

a3 = (1.649 ± 0.005) x 10-4 m 6.3 Hallando el valor promedio de a, desviación estándar σa

(6.4)

y error medio

med(Δa) de los datos obtenemos: a = (a1 + a2 + a3) /3 = (1.832 + 1.538 + 1.694) / 3 = 1.688 x 10-4 m Δa = (Δa1 + Δa2 + Δa2 ) /3 = (0.005 + 0.004 + 0.001) / 3= 0.005 x 10-4 m

 1 3 2 σa =  a     a  ai    3 i 1 

1

2

= 0 0.120 x 10-4 m

Entonces el mejor valor de a: a = (1.688 ± (0.120 + 0.005) x 10-4 m

9

a = (1.688 ± 0.125) x 10-4 m

a = (1.7 ± 01) x 10-4 m

(6.5)

Resumiendo resultados: TABLA Nº 2 Separación a entre fuentes virtuales Nº Ec.

a (10-4 m)

Nº Prueba

(6.2)

Primera

1.832 ± 0.005

(6.3)

Segunda

1.538 ± 0.004

(6.4)

Tercera

1.649 ± 0.005

(6.5)

Valor Medio

1.7 ± 0.1

II.

OBSERVACIONES

II.1Los 3 primeros resultados que se muestran en la tabla presentan un error muy pequeño debido a que se usó el vernier el cual tiene una incertidumbre de 2.5 x 10-5 m. Por esto los resultados no están muy dispersos, pues σa = 1.2 x 10-5 m. La diferencia ser ha de deber más a fuentes de error aleatorias que sistemáticas. II.2 No podemos comparar los resultados ni obtener un % de error pues no se tiene un valor referencial, solo de referencias teórica [ 2 ] [ 5 ]. Se sabe que la separación de fuentes virtuales producida por el biprisma de Fresnel es del orden de 0.05 mm ≡ 5 x 10-5 m. II.3 Desde que se representa el fundamento para el estudio que estamos llevando a cabo se ha podido observar que se ha debido de hacer muchas consideraciones, la razón de algunas de ellas es:

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-

Coherencia de la luz: Es por que el efecto de interferencia solo es posible y evidente entre fuentes de onda con desfase constante (la misma frecuencia angula w). De lo contrario tampoco tendría sentido el uso del biprisma.

-

Fuentes de luz puntuales : Es necesario que la fuente de luz sea la más pequeña posible, para visualizar porque veamos al caso contrario * en la figura 2 sea S1 una fuente de longitud α al igual que S2, entonces dividamos cada fuente a la mitad y consideremos S11 y S12 . con distancia d/2, fuentes puntuales, lo mismo S21 y S22. Entonces los pares S11 y S21 con S21 y S22 producirán cada uno sus franjas de interferencia en el punto P dado por (1.3)

Y = λ(D/a)

(1.13)

Pero para cada par hay un grosor de franja “y” tal que d/2 ≤ │y1 – y2 │

(7.1)

y al combinar (7.1) con (1.13) d ≤ (λ/2)(D/a)

(7.2)

De (7.1) esposible ver el caso que en algún momento los máximos de un par coinciden con los mínimos del otro par, lo cual anula también el efecto de interferencia, de (7.2) que si la fuente no es puntual tanto mayor debe ser la separación D entre fuente y pantalla y menor la separación entre fuentes puntuales [ 5 ] Entonces ahora es entendible el uso de una abertura tan pequeña en la rendija ( b 0 0.2 ± 0.05 m)

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-

Por último la primera de todas las combinaciones que se hizo es que la luz era una onda de lo cual será posible que ella presente el fenómeno de interferencia, aunque solo en una corta región [ 2 ]

VII. CONCLUSIONES

8.1. Como mejor valor a separación de fuentes virtuales hemos obtenido: a = (1.7 ± 0.1) x 10-4 m ≡ 0.17 ± 0.01 mm.

8.2 En vista de haber observado el efecto de interferencia en la luz experimentalmente hemos considerado que la luz es una onda. 8.3 El efecto de interferencia es solo visible para fuentes de luz monocromáticas y coherentes , por lo cual no es posible visualizarlo en la vida real (salvo el caso de las películas de jabón o aceite)

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VIII. REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS [1]

HETCH EUGENE: OPTICA Tercera Edición . España Pearson Education 2000. Páginas: 385 a 388

[2]

ROSSI, BRUNO: FUNDAMENTOS DE OPTICA : España Editorial REVERTE: 1966 Páginas : 114 a 121

[3]

ALONSO M; FINN, E. : FISICA: CAMPOS Y ONDAS: E.U.A. Fondo Educativo Interamericano 1970 Páginas : 888 a 892

[4]

JENKIS, F; WHITE, M, : FUNDAMENTOS OPTICOS. 3ra. Edición : México Mc Grawhill: 1957 Páginas : 238 a 241

[5]

FRISH,S; TIMOREVA, A: CURSO DE FISICA GENERAL . Tomo 3: URSS Editorial MIR. Moscú 1973 Páginas: 60 a 62-

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