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• Marco Manuel Miraval Montalvo

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Ecuación diferencial de Riccati: 𝑑𝑦 𝑑𝑥

*

+ 𝑦 2 senx =

(ALUMNO: FALERA)

2𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑐𝑜𝑠2 x

una solución es

1

G(x) = cosx

Solución: y=z+

Entonces

1 cosx

dy dz 𝑠𝑒𝑛𝑥 = + dx dx 𝑐𝑜𝑠 2 x Entonces reemplazamos en : * dz 𝑠𝑒𝑛𝑥 1 2 2𝑠𝑒𝑛𝑥 + + (z + ) senx = 2 dx 𝑐𝑜𝑠 x cosx 𝑐𝑜𝑠 2 x

dz 𝑠𝑒𝑛𝑥 2z 1 2𝑠𝑒𝑛𝑥 + + (𝑧 2 + + )senx = dx 𝑐𝑜𝑠 2 x cosx 𝑐𝑜𝑠 2 x 𝑐𝑜𝑠 2 x

z′ + 𝑧2 senx +

z′ +

2zsenx cosx

2zsenx cosx

=0

= −𝑧2 senx

2senx )z = −(senx)𝑧2 cosx

z′ + (

aplicamos bernoulli entonces multiplicamos por (𝑧 −2 ) 2senx −2 𝑧−2 z ′ + ( )z𝑧 = −(senx)𝑧2 𝑧−2 cosx

2senx

𝑧−2 z ′ + (

cosx

)𝑧−1 = −(senx)

…………(1)

Entonces hacemos que:

u = 𝑧 −1

^

𝑑u = −1𝑧 −2 dz ^

Entonces reemplazamos en (1):

𝑑u

2senx

− dx + ( cosx )u = −(senx)

𝑑u 2senx −( ) u = senx dx cosx Ahora aplicamos ec.lineal de primer orden:

2senx ) cosx

Sea: 𝑃(𝑥) = − (

^

Q(x)= senx

Entonces: 𝑢′ + 𝑃(𝑥)𝑢 = 𝑄(𝑥)

𝑢 = 𝑒 − ∫ 𝑃(𝑥)𝑑𝑥 [∫ 𝑄(𝑥)𝑒 ∫ 𝑃(𝑥)𝑑𝑥 𝑑𝑥 + 𝑐]

𝑢=𝑒

−∫−

2senx 𝑑𝑥 cosx

[∫(𝑠𝑒𝑛𝑥)𝑒

2senx

∫ − cosx 𝑑𝑥

𝑑𝑥 + 𝑐]

𝑢 = 𝑒 −2ln(𝑐𝑜𝑠𝑥) [∫(𝑠𝑒𝑛𝑥)𝑒 2ln(𝑐𝑜𝑠𝑥) 𝑑𝑥 + 𝑐]

𝑢 = (𝑐𝑜𝑠𝑥)−2 [∫(𝑠𝑒𝑛𝑥)(𝑐𝑜𝑠𝑥)2 𝑑𝑥 + 𝑐]

−2

𝑢 = (𝑐𝑜𝑠𝑥) [

−(𝑐𝑜𝑠𝑥)3 3

+ C]

𝑑u dx

=−

1𝑧 −2 dz dx

𝑦𝑎 𝑞𝑢𝑒: 𝑢 = 𝑧−1 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑧 −1

−(𝑐𝑜𝑠𝑥)3 + C] 3

= (𝑐𝑜𝑠𝑥)−2 [

𝑡𝑎𝑚𝑏𝑖𝑒𝑛 𝑧 = y −

( y−

(

1 −1 ) cosx

1 cosx

−(𝑐𝑜𝑠𝑥)3 + C] 3

= (𝑠𝑒𝑐𝑥)2 [

ycosx − 1 −1 ) cosx

−(𝑐𝑜𝑠𝑥)3 + C] 3

= (𝑠𝑒𝑐𝑥)2 [

cosx −(𝑐𝑜𝑠𝑥)3 = (𝑠𝑒𝑐𝑥)2 [ + C] ycosx − 1 3

cosx −(𝑐𝑜𝑠𝑥)3 + C = (𝑠𝑒𝑐𝑥)2 [ ] ycosx − 1 3

3(𝑐𝑜𝑠𝑥)3 = ycosx − 1 C − (𝑐𝑜𝑠𝑥)3

3(𝑐𝑜𝑠𝑥)3 + 1 = ycosx C − (𝑐𝑜𝑠𝑥)3 Dividimos entre cosx a toda la ecuación:

3(𝑐𝑜𝑠𝑥)2 + secx = y C − (𝑐𝑜𝑠𝑥)3

y=

3(𝑐𝑜𝑠𝑥)2 + secx C − (𝑐𝑜𝑠𝑥)3