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Ecuación diferencial ordinaria para resolver un problema de mezclas Resumen El mezclado de dos soluciones con diferentes concentraciones que se encuentran en un depósito es un problema de la vida real muy común en la Ingeniería Química, y por lo tanto se hace necesario encontrar ecuaciones que modelen el cambio de la cantidad de sustancia en un depósito con respecto al tiempo y así poder entender el comportamiento de dicho sistema.

1. INTRODUCCIÓN. Los modelos matemáticos son una herramienta de vital importancia en la ingeniería química tanto a nivel investigativo como a nivel industrial, ya que con un modelo apropiado se pueden enfrentar diferentes actividades como simulación, análisis de sensibilidad, optimización y estimación de parámetros. Los modelos matemáticos dinámicos que representan los sistemas físicos típicos de ingeniería llevan a ecuaciones ordinarias o parciales según los modelos y su complejidad y grado de aproximación a la realidad. La construcción de los modelos matemáticos requiere de: a) La identificación de las variables atribuidas al cambio del sistema. Aquí, se especifica el nivel de resolución del problema. b) La elaboración de unas hipótesis acerca del sistema

que se pretende describir. Se pueden incluir algunas leyes empíricas aplicables al sistema. Al estar en este punto, el único problema es tratar de encontrarle solución a la ecuación diferencial o al sistema de ecuaciones diferenciales que modelan matemáticamente mi problema de la vida real. En ingeniería química, es muy común encontrarse con problemas relacionados con las reacciones químicas y la mezcla de dos soluciones diferentes, los cuales pueden ser expresados mediante un modelo matemático. El mezclado de dos soluciones de diferente concentración da lugar a una ecuación diferencial de primer orden para la cantidad de sustancia contenida en la mezcla

2. TEORÍA La ecuación para modelar un problema de mezclas de dos soluciones de diferente concentración que entran a un recipiente, en la cual se desea saber la rapidez a la que cambia la concentración en el depósito de mezclado con el tiempo es: (

) (

)

(

)

(

)

Donde v1: Cantidad de sustancia que entra por unidad de tiempo C1: Cantidad de sustancia que entra por unidad de volumen. v2: Cantidad de sustancia que sale por unidad de tiempo. C2: Cantidad de sustancia que sale por unidad de volumen.

3. SOLUCIÓN PROBLEMA

DE

UN

Un problema tomado del libro de Ecuaciones Diferenciales con problemas de valores en la frontera, típico de la Ingeniería química dice: Un gran tanque está parcialmente lleno con 100 gal de fluido en los que se disolvieron 10 libras de sal. Se bombea al depósito salmuera que contiene ½ libra de sal por galón a razón de 6 gal/min. La solución bien mezclada se bombea con una rapidez de 4 gal/min. Calcule la cantidad de libras de sal en el depósito a los 30 minutos. La ecuación queda escrita de esta forma:

Con los siguientes datos: v1= 6 gal/min

Donde Vo: Volumen inicial en el recipiente. Luego, la ecuación diferencial de primer orden que modela este problema queda así:

C1= 0.5kg/gal v2= 4 gal/min Vo= 100 gal Q(0)= 10 lb. Al resolverla mediante el método de variación de parámetros y utilizando el factor integrante, encontramos que:

Donde c= -100000

me muestra que hay una cantidad significativa de masa de sal en el tanque al pasar este lapso de tiempo.

Ahora, la solución del problema es:

Es decir, la cantidad de sal que hay en el depósito después de 30 minutos es de 64.4 lb. Este problema se puede modelar en un programa interactivo que me permite realizar cálculos numéricos y visualizar datos llamado Scilab. Los comandos se escriben de la siguiente forma: function ydot=f(x, y) ydot=(3-((2*y)/(50+x)))// Se define la edo dQ/dt=(3-((2*y)/(50+x))) E.D.O para mezclas en un depósito endfunction xo=0; yo=10; x=0:0.5:30; sol=ode(yo,xo,x,f);//comando para resolver numericamente la edo plot(x,sol); set(gca(),"grid",[1 1]);//Genera cuadricula en la grafica xtitle('Cantidad de salen el depósito Vs Tiempo','Tiempo(s)','Cantidad de sal en el depósito(lb)'); 4. ANÁLISIS Y RESULTADOS. La solución numérica del problema es: Por lo tanto, la cantidad de sal que se encuentra en el depósito pasados 30 minutos es de 64.4 lb. Este resultado

De la gráfica, se puede observar que a medida que transcurre el tiempo, la cantidad de sal en el depósito va aumentando, y por lo tanto se va a ir acumulando masa de sal en el depósito. Así que, un valor de 64.4 lb en 30 minutos es bastante coherente con el resultado al resolver la ecuación por el método de variación de parámetros.

5. CONCLUSIONES La variación en el contenido de masa de una sustancia en un depósito respecto al tiempo, se puede modelar bajo una ecuación diferencial ordinaria lineal. Al resolver la ecuación diferencial para este problema en particular, la cantidad de

sal en el tanque se va acumulando a medida que el tiempo pasa, por lo que la cantidad de sal va a ir aumentando significativamente, y por lo tanto la tasa de entrada de la sal es mayor que la tasa de salida de la sal.

BIBLIOGRAFÍA [1] Ecuaciones Diferenciales con problemas de valores en la frontera. Zill, Dennis G., Cullen, Michael R., Sexta edición, Thomson. Página 100. Ejercicio 3.25 [2] Curso básico de Matlab con aplicaciones en Ingeniería. Sánchez, Mauricio Esteban, Facultad de Ingeniería, Universidad de Antioquia. Ceset, 2013

[3]http://iqtma.uva.es/introiq/apuntes/ii q_5_balances_materia_r_n_e.pdf consultada el 01 de Mayo de 2013