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UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA FACULTAD DE INGENIERÍA ELÉCTRICA Y ELECTRÓNICA DEPARTAMENTOS ACADÉMICOS

Ciclo Académico: 2019-1 Fecha: 17/06/2019

CALCULO INTEGRAL COD. CURSO: BMA-02N _______________________________________________________________

CURSO:

TEORÍA

ECUACION DE LAGRANGE Tiene la forma siguiente 𝒚 = 𝒙 𝒇(𝒚′ ) + 𝒈(𝒚′ )

𝟏. Resolver la siguiente ecuación diferencial 2𝑦 = 𝑥𝑦 ′ + 𝑦 ′ 𝑙𝑛𝑦 ′ 𝑦=𝑥

𝑦 ′ 𝑦 ′ 𝑙𝑛𝑦 ′ + 2 2

Haciendo el cambio de variable 𝒚′ =

1𝑑𝑦 = 1𝑑𝑥

𝒅𝒚 = 𝒑 ⟹ 𝒅𝒚 = 𝒑𝒅𝒙 𝒅𝒙 𝑝 𝑝 𝑦 = 𝑥 + 𝑙𝑛𝑝 2 2

𝑝 1 1 𝑝1 + 𝑥 𝑑𝑝 + 𝑑𝑝 𝑙𝑛𝑝 + 𝑑𝑝 2 2 2 2𝑝

reemplazando 𝑝𝑑𝑥 =

𝑝 𝑥 𝑙𝑛𝑝 𝑑𝑝 𝑑𝑥 + 𝑑𝑝 + 𝑑𝑝 + 2 2 2 2

𝑝 𝑥 𝑙𝑛𝑝 1 𝑑𝑥 = ( + + ) 𝑑𝑝 2 2 2 2 𝑝 𝑑𝑥 𝑥 ln 𝑝 1 = + + 2 𝑑𝑝 2 2 2 𝑝 𝑑𝑥 𝑥 ln 𝑝 1 − = + 2 𝑑𝑝 2 2 2

2

multiplicando por 𝑝 𝑑𝑥 𝑑𝑝

𝑥

−𝑝=

ln 𝑝 𝑝

1

+𝑝

es una ecuación diferncial lineal 𝑑𝑦 + 𝑃(𝑥) 𝑦 = 𝑄(𝑥) 𝑑𝑥 𝟐. Encontrar la solución de la siguiente ecuación diferencial usando el método de Lagrange: 2𝑦 = 𝑥𝑦 ′ + 𝑦 ′ 𝑙𝑛𝑦 ′ 𝟑. Resolver la siguiente ecuación diferencial por el método de Lagrange 𝑦 = 𝑦 ′ + √1 − (𝑦 ′ )2 𝟒. Resolver la siguiente ecuación diferencial por el método de Lagrange 𝑦 = 2𝑥𝑦 ′ + 𝑠𝑒𝑛𝑦 ′ 𝟓. Resolver la siguiente ecuación diferencial por el método de Lagrange 3 ′ 𝑦 = 𝑥𝑦 ′ + 𝑒 𝑦 2 ECUACIÓN DIFERNCIAL DE CLAIRAUT Tiene la forma siguiente 𝒚=𝒙

𝒅𝒚 𝒅𝒚 + 𝒇 ( ) = 𝒙𝒚′ + 𝒇(𝒚′ ) 𝒅𝒙 𝒅𝒙

𝟔. Resolver la siguiente ecuación diferencial por el método de Clairaut 𝑦 = 𝑥𝑦 ′ + (𝑦 ′ )2 Haciendo 𝑝=

𝑑𝑦 ⟹ 𝑝 = 𝑦′ 𝑑𝑥

𝑦 = 𝑥𝑝 + 𝑝2 𝑦 ′ = 𝑝 + 𝑥𝑝′ + 2𝑝𝑝′ 𝑝 = 𝑝 + 𝑥𝑝′ + 2𝑝𝑝′ 0 = 𝑥𝑝′ + 2𝑝𝑝′ ⟹ 𝑝′ (𝑥 + 2𝑝) = 0 𝑝′ = 0 ; 𝑥 + 2𝑝 = 0

𝑝′ = 0 ⟹ 𝑝 = 𝐶 ⟹ 𝑦 = 𝑥𝐶 + 𝐶 2 𝒚 = 𝒙𝑪 + 𝑪𝟐 Solución general 𝒙 + 𝟐𝒑 = 𝟎 𝑝=−

𝑥 𝑥 𝑥 2 ⟹ 𝑦 = 𝑥 (− ) + (− ) 2 2 2

𝑥2 𝑥2 𝑥2 𝑦=− + =− 2 4 4 𝒚=−

𝒙𝟐

solución singular.

𝟒

𝟕. Resolver la siguiente ecuación diferencial por el método de Clairaut 𝒚=𝒙

𝒅𝒚 𝒅𝒚 + 𝟏 − 𝒍𝒏 ( ) 𝒅𝒙 𝒅𝒙

𝟖. Resolver la siguiente ecuación diferencial por el método de Clairaut ′

𝒚 = 𝒙𝒚′ − 𝒆𝒚

𝟗. Resolver la siguiente ecuación diferencial por el método de Clairaut 𝑦 = 𝑥𝑦 ′ − (𝑦 ′ )4 𝟏𝟎. Resolver la siguiente ecuación diferencial por el método de Lagrange-Clairaut 𝑦 = 𝑥𝑦 ′ −

1 𝑦′

𝟏𝟏. Resolver la siguiente ecuación diferencial por el método de Lagrange-Clairaut 𝒚 = 𝒙𝒚′ + 𝟑(𝒚′ )𝟐

ECUACIÓN DIFERENCIAL DE BERNOULLI Tiene la forma siguiente 𝒅𝒚 + 𝑷(𝒙)𝒚 = 𝒇(𝒙)𝒚𝒏 𝒅𝒙 Haciendo 𝒛=𝒚 Reemplazando

𝟏−𝒏

′

⟹ 𝒛 = (𝟏 − 𝒏)𝒚

−𝒏

𝒅𝒚 𝒅𝒚 𝒚𝒏 𝒅𝒛 ⇒ = 𝒅𝒙 𝒅𝒙 𝟏 − 𝒏 𝒅𝒙

𝒚𝒏 𝒅𝒛 + 𝑷(𝒙) 𝒚 = 𝒇(𝒙)𝒚𝒏 𝟏 − 𝒏 𝒅𝒙 Simplificando 𝒅𝒛 𝒅𝒙

+ 𝑷(𝒙)(𝟏 − 𝒏)z = (𝟏 − 𝒏)𝒇(𝒙)

𝟏𝟐. Resolver la siguiente ecuación diferencial por el método de Bernoulli 𝒙𝟑 𝟑𝒙𝒚 − 𝟐𝒚 = 𝟐 𝒚 ′

𝟏𝟑. Resolver la siguiente ecuación diferencial por el método de Bernoulli 𝒅𝒚 − 𝒚 = 𝟑𝒆𝒙 𝒚𝟐 𝒅𝒙 𝟏𝟒. Resolver la siguiente ecuación diferencial por el método de Bernoulli 𝒙

𝒅𝒚 𝟏 +𝒚= 𝟐 𝒅𝒙 𝒚

𝟏𝟓. Resolver las siguientes ecuaciónes diferenciales por el método de Bernoulli 𝑥2

𝑑𝑦 + 𝑦 2 = 𝑥𝑦 𝑑𝑥

𝟐𝒙𝟑 𝒚′ = 𝒚(𝒚𝟐 + 𝟑𝒙𝟐 ) 𝟐

𝒚′ + 𝒙𝒚 = 𝒙𝒆−𝒙 𝒚−𝟑 𝒅𝒚 𝒅𝒙

𝒚′ +

+ y = 𝒚𝟐 𝒙𝟐 𝒚 𝟐 = 𝒙 𝟒 𝒚𝟒 𝒙 𝟑

𝟐𝒚′ +

𝟏 𝒚 = 𝒙𝟐 𝒚−𝟏 𝒙

𝒙𝒚′ − 𝒚 =

𝒙𝟐 𝒚𝟐

𝒚′ + 𝒚 = 𝒙𝒚𝟐