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• Sergio Andres Davila

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CARRERA DE INGENIERÍA MECÁNICA SEDE CUENCA

TRABAJO DE INVESTIGACION N° 1

ECUACIÓN DE EULER Trabajo realizado por:

Freddy Moncayo

_______________________________

Revisado por: ING: Fran Reinoso Mayo, 10 2016

1. Tema: ECUACIÓN DE EULER

1

2. Objetivos: 

 

Dar un sentido práctico a la ecuación de Euler, para desarrollar una bomba centrifuga que cumpla con condiciones de caudal y altura en situación determinada. Realizar los cálculos pertinentes para diseñar el rodete y la voluta de la bomba centrífuga. Afianzar los conocimientos adquiridos por medio de la construcción de una maqueta del rodete y la voluta según los datos antes obtenidos.

3. Marco Teórico: TEORÍA FUNDAMENTAL DE EULER La ecuación de Euler es la ecuación fundamental para el estudio de las turbomáquinas, tanto hidráulicas como termo-hidráulicas. La ecuación de EULER ha sido diseñada bajo ciertas restricciones que se debe tener presente; estas son:  El flujo debe ser incompresible.  La gravedad no debe influir. dv dt  0

 El flujo debe ser estacionario  El flujo debe ser laminar.  No se deben considerar las pérdidas por fricción (el número de alabes es infinito)  ALABE FIJO La expresión para la fuerza originada por el caudal en el alabe cuando este todavía no inicia su movimiento es igual a:



F   * s * v1 v1  v2



s= es la sección por donde sale el chorro de

fluido.  ALABE MÓVIL La expresión para la fuerza originada en el alabe en movimiento debido al caudal está definida por:



F   * s * w1 w1  w2



Y la potencia está definida por: 

P  Fu * u

TRIANGULO DE VELOCIDADES TRIANGULO DE VELOCIDADES o

Triángulo de velocidades en la entrada

2

Fig 1. Triángulos de velocidad en la entrada

o

Triángulo de velocidades en la salida

Fig 2. Triángulos de velocidad en la salida

Fig 3. Triángulos de velocidades en una turbo máquina

Yu   u 2 Cu 2  u1Cu1  Esta última es la ecuación general de EULER; en esta expresión “Yu” representa el trabajo realizado por el fluido, mientras que el signo más se adopta para turbinas y el signo menos para las bombas. EXPRESIÓN EN ALTURAS DE LA ECUACIÓN EULER

3

Hu 

u2Cu2  u1Cu1 g

EXPRESIÓN ENERGÉTICA DE LA ECUACIÓN DE EULER

 u12  u2 2   c12  c2 2   w2 2  w12       H u     2g     2 g 2 g      

Expresada en

 J     kg 

De esta expresión, se puede obtener otras expresiones importantes: 

ALTURA DE PRESIÓN DEL RODETE

 u12  u2 2   w2 2  w12        2 g 2 g    

H P   

ALTURA DINÁMICA DEL RODETE

 c12  c2 2   H d    2 g   Por lo tanto la curva teórica de las bombas centrífugas es como se muestra a continuación:

Fig 4. Curva teórica de las bombas centrifugas

Por último, es necesario desarrollar una expresión para determinar la potencia útil y la potencia efectiva: P   * Q * H  kW 

Pe 

P 

LEYES DE SEMEJANZA DE LAS BOMBAS CENTRÍFUGAS 

Primera ley.- Las alturas son directamente proporcionales al cuadrado de los números de revoluciones. 4

Hp Hm 

Qm

 np     3 .   nm 

Tercera ley.- Las potencias son directamente proporcionales al cubo de los números de revoluciones.

Pe p Pem



2

Segunda Ley.- Los caudales son directamente proporcionales a los números de revoluciones.

Qp



 n    .  p   nm  2

  p 5  np    m .  .  p m  nm 

3

VELOCIDAD ESPECÍFICA DE UNA TURBOMAQUINA

Para seleccionar una bomba hidráulica, se requiere conocer la altura H, y el caudal Q de la instalación en estudio. Razón por la cual la velocidad específica nq se expresa en función de dichos parámetros.

nq 

n . Q1 2 H

3

4

En función de la velocidad específica (nq), las bombas centrifugas pueden clasificarse como: Flujo radial, diagonal y axial. 

SELECCIÓN DEL PERFIL DEL RODETE

Fig 5. Variación de la forma del rodete de las bombas al aumentar



nq

[1]

DISEÑO DE LA VOLUTA O CAJA ESPIRAL

5

El papel de la voluta es doble: transformar parte de la energía cinética, que tiene el fluido a la salida del rodete, en energía de presión y recoger el fluido que sale por los 360° de la circunferencia del rodete para conducirlo hasta la tubería de salida.

r∗Cu=C ;

r , radiode la voluta .

Cu, se lee del triangulo de velocidades .

Fig. 6 Voluta



Ecuación General de la Voluta

rθ

°

θ=

360∗C∗b b ∫ r dr ; Q r °

r θ , radioexterior de una seccion situada a θ de lalenguateórica .

b , ancho de la voluta .

Fig. 7 Diseño de la Voluta

 Caja Espiral Logarítmica El ancho de la caja espiral b, suele ser 1-2mm mayor que el ancho del rodete para eliminar salpicaduras del flujo.

6

Fig. 8 Caja espiral Logarítmica Q

r θ=r∗e 360∗C∗b

∗θ

°

Siendo esta última ecuación de la caja espiral logarítmica en coordenadas polares.

4. Situación problemática Durante la construcción de un edificio uno de los aspectos más relevantes es dotar de agua potable a todos los habitantes del lugar por lo que se requiere de una bomba centrifuga, la cual llenara un tanque en la parte superior de un edificio, para obtener una presión adecuada en todos los departamentos se requiere la selección de la bomba adecuada que cumpla esta situación en este caso la bomba que está instalada se quemó y se requiere comprar otra que cumpla las características más optimas de caudal entregado y seleccionar la bomba correcta. Características del sistema de bombeo:  Se analizó la infraestructura del edifico y se realizó el cálculo del caudal entregado total para todos los departamentos y este fue de 700 litros por minuto, para mantener un volumen constante en el tanque ubicado en arriba del edificio.  La altura geodésica a la que se encuentran es de 20 metros. Lugar del problema: Troncal, Cañar

7

Altura de descarga 17 m

Se medió la altura de succión aprox

Nomenclatura de los cálculos utilizados Altura

H

[m]

Caudal

Q

[ ]

Componente meridional de la velocidad absoluta Componente periférica de la velocidad absoluta Diámetro

cm

[ ] [ ]

Eficiencia

η

cu d

m s

3

m s m s

[m] Adimensional

8

Potencia

P

[w ]

Revoluciones por minuto Velocidad absoluta

N

[ rpm ]

c

[ ]

Velocidad especifica Velocidad especifica en función del caudal

m s

ns

Adimensional

nq

Adimensional

Datos Requeridos según la necesidad

H=20 [ m ] Q=700

[ ]

L =¿ 0.0116 min

[ ] 3

m seg

N=3450 [ rpm ] -------------- Bomba Disponible seleccionada Fluido a transportar = Agua

Determinar  Todos los parámetros necesarios para el diseño y construcción del rodete.  Diseño y construcción de la voluta. Suposiciones  Operación estable.  Entrada de flujo radial.  En este caso no estimamos las perdidas en tuberías y accesorios.

Diseño y calculo en detalle CALCULO DE RODETE Lo primero que se calcula es la velocidad específica en función del caudal, puesto que este parámetro nos determina qué clase de bomba centrifuga se requiere, además con dicho valor podemos determinar varias relaciones existentes entre diversas medidas de los elementos del rodete de la bomba. 9



Calculamos la velocidad específica. 1

nq =

n∙ Q 2 H

3 4

3

nq =

3450 [ rpm ] ∙ 0.0116 [ m /s ] 20 [ m ]

1 2

3 4

nq =39.28

Gráfica 1. Variación de la forma del rodete de las bombas al aumentar

nq

[1]

Como se observa en la gráfica 1 La bomba que se requiere es de flujo radial. 

Calculo del número específico de revoluciones requeridas en la bomba n s .

n s=3.65 ∙n q n s=3.65 ∙39.28 n s=143.4

10

Se procede a realiza el calculo del diametro del eje. 

Calculo de potencia efectiva

P=Q ∙ δ ∙ g ∙ H ∙ 10−3 3

P=0.0116

m Kg m ∙1000 3 ∙9.81 ∙20 x 10−3 2 seg m seg

P=2.27 KW P=2.27 x 103 w x

1 HP =3.03 HP ≈ 3 HP 747 w

Se procede a realizar el cálculo de la potencia de Accionamiento necesaria para la bomba 

Datos de bombas ya construidos (bibliografia mataix)

n v =0.95 ,

nk =0.83

,

nk =0.83 ,

nm =0.98, σ=0.04

nT =n k ∙ nv (n m−σ ) nT =0.83 ∙ 0.95(0.98−0.04) nT =0.7412 

La potencia de Accionamiento necesaria para la bomba

PA= PA=

P nT

2.27 kw 0.7412

P A =3.06 KW P=3.06 x 10 3 w x

1 HP =4.09 HP ≈ 4 HP 747 w

Para poder realizar el diseño del eje de la bomba se debe considerar la flexión del eje en una bomba se toma el valor de bajo esfuerzo cortante de torsión.

S s =1200

N =120 ¯¿ 2 cm

El momento de torsión transmitido en el eje es:

11

M=

60∙ P A 2π n

M=

60∙ 3.06 kw 2∙ π ∙ 3450

M =8.46 N ∙ m



El diámetro provisional del eje es:

de=

√ 3

16. M π . Ss

=

√ 3

16.8,469 π .120. 105

= 0.015318 m

= 15,31 mm Podemos subirle de = 19 mm 

Calculamos el diámetro del cubo

Condición de diseño 8 – 12 mm mayor que el diámetro del eje. dc= de + 11 = 19 mm + 11 mm = 30 mm dc = 30mm 

Calculo del rodete

Diámetro exterior del rodete “d2” n

szs=

ns 1 3

Z4

n s1=n

3

szs .Z 4

s 1=143,406.1 4=¿ n¿

3

= 143,406 Según la tabla 9,33 n s1=143,406 Ψ= 0,94.

12



Calculamos el # de escalonamientos

n s1=90 consideracion dediseño . n szs=143,406 n

szs=

hsz … z= ( nsZs )4/3=

ns 1 Z

3 4

90 4 =( 143,406 )4/3 = 0,62753

=

= 0,55 = 1 “La bomba centrifuga tiene un escalonamiento” 

La energía útil suministrada por el rodete m

Y= g. H = 9,81 9,81s . 20 m= 196,2 J/Kg 2

2=¿ π . d 2 . n= √

2. Y y

=

M¿ d2=

60 π .3450 .

√2. 196,2 0,94

= 0,1131 m

d2= 115 mm (valor provisional) 

Calculamos U2

U2=

π . d 2. n 60

=

π . 0,15 .3450 60

= 27,09 m/s

Nos dirigimos a la tabla total 9,33 (Mataix) n s1=143, 406 d1 d2

= 0,34

d1= 0,34 * d2 = 0,34 *0,15 = 0,051 m d1= 51 mm 13



Calculamos U1

U1= 

π . d 2. n 60

=

π . 0,051. 3450 60

= 9,3127 m/s.

Diámetro de la bomba de Aspiración

Nota: Estimando el 1% de pérdidas de intersticiales externas el caudal que circula por el total de aspiración. Q¨= 1,01 * Q =1,01 * 0,0116 m 4. Q} over {π . ca }} ¿ da= √¿ =

√

3

/ s = 0,011716

m

3

/s

+ dc²

4 . 0,011716 +(0,03)² π .2

Ca= 0,1 *

√ 2. g . H

√ 2.9,81 . 20

= 0,09142 m =

= 0,1 *

da= 92 mm.

= 1,98 m /s = 2 m/s. dc= 30 mm .



Entrada del rodete

Ancho a la entrada b1 La velocidad absoluta antes del estrechamiento de las alabes C1 se hara provisional según C1’= 1, 02 . Ca = = 1,02 * 1,98 = = 2,0196 m/s. Nota Con el fin de no sacrificar el rendimiento hidráulico en la bomba centrifuga se calcula el Ca. Ca= 2 m/s (valor provisional) (Entrada sin alabes directrices, sin circulación) *El caudal que circula por el rodete es:

14

n v=0,95 (Datode bombas yadiseñadas) Q nv 

0,0116 m ³/s 0,95

=

= 0,012211 m³/s.

Obtenemos el ancho a la entrada de b1

b1=

Q/nv π . d 1. C 1 ´

=

0,012211 π .0,051.2 .0196

= 0,0377 m

b1= 37 mm. El valor definitivo de C1’ es: C1’=

2,0196 . 0,0377 0,037

= 2,0597 m/s. Triangulo de entrada

La velocidad absoluta después del estrechamiento de los alabes C1 se obtiene estimando un coeficiente de obstrucción, ya que la aplicación de la ecuación exigirá conocer β1 y el paso t1 que aún son desconocidos. Luego será preciso comprobar la ecuación. r 1=1,18.

Estimamos De manera que

1=r 1 .C 1' =1,18 . 2,0597=¿ c¿ = 2,4304 m/s. Y siendo el triángulo rectángulo tendremos provisionalmente. Tang(β1)=

C1 M1

=

2,430.4 9,2127

= 0,263817

(Valor provisional) β1 = 14° 77’ 

Consideración de diseño para obtener el # de alabes en el rodete

β1 = 14° 77’ β2 = 30° Ecuación # Alabes. Z= 6,5 *

d 2+ d 1 d 2−d 1

= 6.5 *

115+51 115−51

*sen

B 1+B 2 2

* sen (

=

14 0 77' + 30 ) 2

=

15

Z = 6,42 alabes. [Consideramos 6 alabes en el rodete]

Figura rodete de 6 alabes 

Diseño:

Elegimos un espesor S= 3 mm El paso de entrada de los alabes será: π .d1 Z

t1= 

=

π . 51mm 6

= 26, 7035 mm.

Calculamos el coeficiente de estrechamiento o la entrada será de:

S= 3 mm t 1 . Sen B 1 τ1 = t 1. Sen ( B 1 )−S

=

26,7033. Sen(14 0 77' ) 26, 7035 . Sen ( 14 0 77' ) −3

=

= 1,78786. 

Procedemos a recalcular

β1 C1= T1. C1’ = 1,78786 * 2,0597 = 3,0824 m/s Tang (β1) = β1= 

°

21

C1 M1

=

3,6824 9.2127

=

78’

Angulo’s

16

0

β1=

21

β2=

300

78’

Esquema del

de entrada

W1

W 11

β1=

210 78’ u1 =9,2127m/s

Escala 1:1 

Sin considerar y considerando el espesor de los alabes

Salida de rodete “Consideración de diseño” Se construirá alabes afilados a la salida que tienen mejores características aerodinámicas es decir con un S ≈ 1mm con la cual el coeficiente de obstrucción a la salida τ 2 =1 Datos B 2 = 30°

C2 m= C2 m=3,6824

u2 =27,09 m/s

q /nv C2 m= π . d 2. b 2 Q b2 = N v . π . d 2.C 2m

=

0,0116 0,95. π .0.115∗3,6824

=0,009178m 17

b2 =9,17 mm = 10 mm 

Recalculamos el valor definitivo C2m

C2 m = 3,6824.

9,17 10 = 3,3767 m/s

Con estos tres parámetros diseñamos el triángulo de salida C2 υ

=

Hυ∞ =

μ2

-

μ 2.C 2 μ y

C2m γ y B2 = 27,09 27,05∗21,24 9,81

=

3,3767 y 30 °

= 21,24 m/s

= 58,6536 m

Para determinar el triángulo con un número finito de alabes conocemos u2 y C2m “Siguiendo el método de stodola”

C3 μ = C2 μ - W μ * W μ *= K R *

π . sen B2 . M2 Z

Según tabla 9,3 B2 =30 se saca

K R =0,9

π . sen 30 ° .27,09 W ¿∗¿ μ =0,9. = 6,38 m/s 6 ¿ C3 μ = 21,24 – 6,38 = 14,8571 m/s El factor de disminución de trabajo

θz = 

C 2 μ−W 4∗¿ C2μ ¿

=

C3μ C2μ

=

θz 14,8571 21,24

=0,6994

La altura teórica con número finito de alabes será:

Hm=Hm ∞ . ℮ z =58,6536 * 0,6994 = 41,0223 m

∞3 es el ángulo de la corriente absoluta a la salida del rodete importante para el diseño de la corona directriz

18

∞3= arc t g

C3m C3m

= arc

tg

3,3767 ( 14,8571 )

=12°80'

Triángulos de salida de número infinito (Subíndice 2) y finito de alabes (subíndice 3) para espesor de los alabes a la salida depreciable.

1 METODO DE CALCULO DE VOLUTA 

CALCULO DE VOLUTA

Para el cálculo de la voluta se requiere parámetros ya calculados, a más de la altura del rodete, que solo por esta sección la llamaremos “b”, el cual será dos milímetros más de la longitud del rodete. Como resultados se obtenemos una ecuación polar, la cual dará la forma de la voluta.

b=0.077 [ m ] r 2=0.115 [ m]

Cu 3=Cu3 C=r 2 ∙ Cu 3

19

C=0.115 [ m ] ∙ 10.19

[ ] m s

C=1.17

r θ=r 2 ∙ e

Q θ 360 ∙C ∙b

r θ=1.17 ∙ e

0.0116 θ 360∙1.17 ∙ 0.077

−4

r θ=1.17 e3.587 10

∙θ

Con esta función se calcula el radio para cada ángulo desde 0° a 360°, formando una caja espiral.

2 Método de arcos para el diseño de la voluta Con el diámetro del eje partimos para el diseño de la voluta teniendo al final la boca de salida de la voluta.

20

B) Aplicando las leyes de similitud para bombas centrifugas; y utilizando materiales baratos o reciclados, construya una maqueta del modelo de rodete diseñado, para las Solicitaciones de Q y H definidos. Cálculo del prototipo Para el diseño del modelo se utilizara las leyes de semejanza de las turbomaquinas, en este caso utilizaremos �=0.5. Número de revoluciones

nm 2 =λ np 2

2

nm=λ ∗np=0.5 ∗(3450 rpm )=862. 5 rpm Diámetros:

dp =λ dm d 1m=

d 1 p 0.051 m = =0. 102 m λ 0.5

21

d 2m=

d 2 p 0.115 m = =0.230 m λ 0.5

b 1 m=

b 1 p 0.037 m = =0.074 m λ 0.5

b 2 m=

b 2 p 0.01 m = =0.02 m λ 0.5

Primera Ley: Las alturas son directamente proporcionales al cuadrado de los números de revoluciones.

Hp np 2 = λ2∗( ) Hm nm Hm=

Hp 20 m = =5 m 2 np 3450 rpm 2 2 2 λ∗ 0.5 ∗ nm 862.5 rpm

( )

(

)

Segunda Ley: Los caudales son directamente proporcionales a los números de revoluciones.

Qp λ 3∗np = Qm nm m3 Qp s m3 Qm= 3 = =0.0232 s λ ∗np 0.53∗3450 rpm nm 862.5rpm 0.0116

nq=

n∗Q H

3 4

1 2

rpm∗0.0232 =862.5

(5 m )

3 4

m3 12 s

=39.28

La velocidad específica del modelo y del prototipo son iguales se puede ver que los cálculos son correctos ya que una bomba tiene solo un valor de velocidad específica.

p=¿ n m n¿ 22

39.28=39.28

Obtenemos el modelo del rodete y voluta construidos con materiales reciclados

Rodete modelo

Conclusiones: 

Este diseño es muy útil para realizar el cálculo de un rodete y voluta teniendo parámetros como son Q y H conocidos sea cual sea la situación física.



En el cálculo no se tomó en cuenta las pérdidas por tuberías y accesorios ya que solo constaba del diseño de la bomba centrifuga. 23



Esta bomba centrifuga radial es pequeña ya que la altura geodésica es apenas 20m.



También pudimos observas en el cálculo que para elevar más altura mayores a 100m se necesitan bombas centrifugas multietapas.



También se analizó la construcción de la voluta por los dos métodos el cual vimos más factible y rápido de hacer por el método de arcos.



Los cálculos obtenidos en algunas situaciones se aumentaron 2 unidades para tener un mayor factor de seguridad ante flexión torsión.



Y por último realizamos el modelo con un factor de 0.5 que prácticamente aumento la mitas de sus medidas obteniendo como producto final la comprobación de la velocidad especifica del prototipo y modelo son iguales.



Para dar solución al caso del edificio que se quemó la bomba según nuestro respaldo de cálculos elegimos la siguiente que cumple los mismo parámetros ya diseñados.

Bomba seleccionada para la situación física ya establecida.

5. BIBLIOGRAFIA: [1] C. Mataix, Turbomáquinas hidráulicas: turbinas hidráulicas, bombas, ventiladores. Editorial ICAI, 1975. [2] “Bombas de lodo, Bombas Centrifugas | Indus Agar, s.a.” [Online]. Available: http://www.indusagar.es/espanol/paginas/bombasagar.html. [Accessed: 05May-2015].

24

[3] J. A. Soriano, Mecánica de fluidos incompresibles y turbomaquinas hidráulicas. Ciencia 3, 1992. [4] P. Fernández Díez, “Bombas centrífugas y volumétricas,” Univ. Cantab. Dpto Ing. Eléctrica Energética Cantab. Esp., 2000.

6. ANEXOS 

Construcción del rodete

Proceso de construcción de rodete, voluta

25

Tabla de consumo en edificios departamentales, en base a la cual se diseñó una bomba centrifuga para seis familias

26