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ECUACIÓN DE CAUCHYEULER NOMBRE : MAMANI MAMANI VIRGELIO G.

ASIGNATURA : CALCULO III

DOCENTE : MGR. CUTIMBO LUQUE ROGER F.

CODIGO : 162161016P

17 DE JULIO DE 2018 UJCM

Contenido INTRODUCCION......................................................................................... 2 MARCO TEORICO ....................................................................................... 2 DESARROLLO............................................................................................. 3 LA ECUACIÓN DE CAUCHY-EULER ............................................................... 3 MÉTODO DE SOLUCIÓN ............................................................................. 3 CONCLUSION GENERAL............................................................................ 12 BIBLIOGRAFIA ......................................................................................... 12

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INTRODUCCION Este trabajo corresponde a la aplicación de la técnica de las transformadas integrales a la solución de la ecuación diferencial ordinaria con coeficientes variables.

Esta última ecuación (1) representa la conocida ecuación de Cauchy - Euler ó Ecuación Equidimensional. La cual es una ecuación diferencial ordinaria de orden n con coeficientes variables no homogénea

MARCO TEORICO En el presente trabajo se da una solución de una ecuación diferencial lineal ordinaria no homogénea con coeficientes variables, caso Cauchy – Euler, haciendo uso de la técnica de las transformadas integrales. La técnica mas apropiada para la solución de la ecuación en mención.

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DESARROLLO

LA ECUACIÓN DE CAUCHY-EULER Se trata de una ecuación con coeficientes variables cuya solución general siempre se puede expresar en términos de potencias, senos, cosenos, funciones logarítmicas y exponenciales. Este método de solución es bastante similar al de las ecuaciones con coeficientes constantes porque se debe resolver la homogénea asociada. Ecuacion de Cauchy-Euler llamada también ecuación Equidimensional tiene la

forma:

Donde, los coeficientes an,an-1,…,a2,a1,a0, son constantes reales. La ecuación de Cauchy – Euler tiene la característica de que el grado de las potencias

coincide con el orden k de la diferenciación,

Son ejemplos de ecuaciones de Cauchy

MÉTODO DE SOLUCIÓN Para la solución de la ecuación diferencial de Cauchy, se supone que dicha solución tiene la forma donde m será una variable por determinar en la cual dependiendo de los valores que resulten viene dada la solución.

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Al aplicar esta solución se deben encontrar las derivadas que aparezcan en la ecuación diferencial, realizar las respectivas sustituciones y proceder a resolver la ecuación polinómica en función de m que resulte. Un método similar al anterior se puede considerar al suponer que las soluciones tiene la forma

.

Veamos como se aplica el método para resolver una ecuación diferencial de cauchy de tercer orden. Supongamos que queremos resolver la ecuación diferencial

Consideremos que las soluciones tienen la forma: Como la ecuación diferencial es de tercer orden, se debe determinar la tercera derivada.

Al realizar las sustituciones en la ecuación diferencial, se tiene

Realizando las multiplicaciones de términos semejantes en x, se llega

Aplicando factor común

Como

, se tiene que

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Agrupando términos semejantes

Lo cual corresponde a una ecuación cúbica en términos de m.

Supongamos que queremos resolver la ecuación diferencial

Consideremos que las soluciones tienen la forma: Como la ecuación diferencial es de tercer orden, se debe determinar la tercera derivada.

Al realizar las sustituciones en la ecuación diferencial, se tiene

Realizando las multiplicaciones de términos semejantes en x, se llega

Aplicando factor común

Como

, se tiene que

Agrupando términos semejantes

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Al resolver la ecuación polinómica resultante, se pueden presentar los siguientes casos, en función de si las raíces de esta ecuación son reales y distintas, reales repetidas (o iguales) o complejas conjugadas.

CASO 1: raíces reales distintas Sean m1 y m2 las raíces reales , con m1 ≠ m2.

y

y

m m2 2 = x forman un conjunto fundamental de soluciones. Entonces 1 =x 1 y Por consiguiente, la solución general es:

RESOLVER

Sea

la solución general.

Reemplazando en:

dividiendo por

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Luego la solución general es:

7

8

9

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CONCLUSION GENERAL Como hemos visto la transformada es útil en la representación de los modelos de las transformadas integrales, para la solución de ecuaciones diferenciales ordinarias, donde no es aplicable otro tipo de transformadas. Utilizando un algoritmo similar al descrito en este trabajo es posible realizar algoritmos computacionales para la solución de (1) empleando software especializado como es el caso de Matlab, Scilab, Maple entre otros.

BIBLIOGRAFIA

Madoz M.A. Resolución numérica de la Ecuación de Valoración; Trabajo de Investigación del programa de doctorado interuniversitario en Finanzas Cuantitativas No. 004; Universidad Complutense de Madrid, Universidad del País Vasco, Universitat de Valencia; Valencia (España); 2004.

https://www.academia.edu/17873488/ECUACI%C3%93N_DE_CAUCHYEULER?auto

https://www.google.com.pe/search?q=ecuaciones+de+cauchy+euler&oq=ecuaciones+de+cauchy+euler&aqs=chrome..69i57.55962j0j4&sourceid=chrome&ie=UTF-8

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