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Aplicación de Euler en sistema de cuerpos rígidos  Sistemas de cuerpos rígidos Ahora, vamos a interesarnos a sistemas multicuerpos compuestos de varios cuerpos rígidos interconectados. Los conceptos fundamentales son: – coordenadas generalizadas – restricciones – grados de libertad – método de Newton-Euler – método variacional – multiplicadores de Lagrange



Las coordenadas generalizadas Son las variables escalares que describen la configuración exacta de cada cuerpo

del sistema articulado. Notación: qi y {qi} Para cada sistema, existen varias elecciones de coordenadas generalizadas. Se escogen, tomando en cuenta el número de coordenadas, la complejidad y el número de las ecuaciones correspondientes

Sistema plano: 3 variables son necesarias para caracterizar cada cuerpo rígido – 2 coordenadas cartesianas (Xi, Yi) del centro de masa – 1 ángulo de orientación i Para describir la configuración de un sistema de 3 cuerpos, necesitamos 9 variables {X1, Y1, 1, X2, Y2, 2, X3, Y3, 3,}

Primera opción de 9 coordenadas generalizadas

Debido a las articulaciones, esas variables son dependientes

 Las restricciones no holonómicas La integral de acción; ∫

̇

desempeña un papel central en la dinámica de los sistemas físicos descritos por la función de LaGrange L. el principio de Hamilton establece que la trayectoria real q(t) de

una partícula es el camino que hace de la acción S un mínimo. Es bien sabido que el principio de Hamilton, ̇

∫

Cuando se aplica a problemas que implican restricciones c-holonómicas con la forma geométrica,

conduce a las ecuaciones de LaGrange del movimiento cuya solución proporciona la dependencia del tiempo de las (n - c) coordenadas generalizadas

para los grados de

libertad sin restricciones. Para los problemas que requieren cálculo adicional de las fuerzas

de apremio

holonómica, el principio de Hamilton puede ser generalizado para producir resultados correctos simplemente reemplazando L de la ec. 2 por:

̇

donde

∑

son los multiplicadores de Lagrange. La ec. 2 por lo tanto, se sustituye por el

principio generalizado de Hamilton, ∫

̇

desde el cual las ecuaciones de Euler-Lagrange ( ̇

puede

) ser

derivada

{ Debido a que

a

través

de

variaciones

libres

del

conjunto

extendido

} de las variables (n+c) que participan en la ec. 5 son independientes de la velocidad generalizada ̇ , las primeras n-

ecuaciones del conjunto de Euler-Lagrange (6), proporcionan las ecuaciones correctas de estado. Debido a que

(4) es independiente de ̇ , las últimas c ecuaciones del conjunto

de Euler-Lagrange (6) para

solo puede reproducir las ecuaciones (3) de

restricción holonómica. Un tema recurrente es si el principio de Hamilton (2) puede ser igualmente generalizado a fin de tratar las limitaciones no holonómicas, ̇ que dependen de las velocidades generalizadas ̇ , simplemente mediante la sustitución de

̇

∑

para L en la ec. 2. Un teorema en el cálculo de variaciones parece, a primera vista, hecho a medida para tal conjetura. El teorema establece que la ruta de q(t) que hace que la integral de acción de la ecuación (1) tiene un extremo por debajo de las condiciones laterales (7) es la misma que el camino que hace del funcional modificado,

∫

̇

, un valor

extremo, sin ningún tipo de condiciones impuestas secundarias. Sobre la base de esta regla multiplicador, la conjetura, la sustitución de la ecuación (8) en la ecuación (2), fue simplemente adoptada sin reservas para el caso general (7) y las ecuaciones de estado se publicaron. Esta conjetura se convierte en un problema, sobre todo porque la regla multiplicador no produce las ecuaciones estándar de Estado como se obtiene del principio de D'Alembert

más básico de los sistemas con limitaciones no holonómica menos

generales,

̇

∑

̇

que ahora sólo son lineales en las velocidades

̇ . Sin embargo, la misma regla

multiplicador funciona para las restricciones holonómicas en Eq. 3. La cuestión de si el uso de Eq. 8 en la ecuación 2 es una generalización viable de principio de Hamilton es de interés aquí, porque aboga por su uso y cita las ecuaciones de

estado derivado de ello. Sin embargo, esta generalización ya había sido reconocida por ser incorrecta, ya que no reproducen las ecuaciones correctas de estado para sistemas con restricciones lineales de la ecuación. 9. Algunos libros de texto han indicado también la falacia de utilizar la ecuación. 8 en la ecuación 2. Sin embargo, la razón fundamental de su fracaso ha permanecido en la oscuridad. La regla multiplicador es de hecho correcta, como se indica, por lo que el hecho de que funciona para restricciones holonómicas (3), pero no para las restricciones

no

holonómica (7) plantea un dilema. Muchos ejemplos se pueden dar que ilustran explícitamente porque la ec. (8) no proporciona los resultados correctos como se obtiene de la mecánica newtoniana. En este trabajo, buscamos la razón por la cual el procedimiento falla y, al hacerlo, también explica por qué el registro adecuado de las restricciones no holonómica dadas por las ecuaciones 7 y 9 se encuentra fuera del ámbito de aplicación del principio de Hamilton, a pesar de las restricciones lineales de la ecuación. (9) queda dentro del ámbito de aplicación de principio D'Alembert. Vamos a encontrar las condiciones que debe satisfacer la ec. (8) para la sustitución válida en la ec. (2). También indicaremos qué las restricciones holonómica generales de la ec. (7) se encuentran fuera del ámbito de aplicación de un principio basado en desplazamientos virtuales. En lugar de a partir de la ec. (2) y que muestra, como se ha hecho, de que una aplicación que implica la ecuación 7 o 9 conduce a resultados erróneos, una visión más clara se puede obtener mediante el trazado de las diversas etapas de desarrollo del principio variacional, la ec. 2, desde el principio fundamental de D'Alembert. La razón esencial se pondrá de manifiesto a continuación. Debido a que teoremas y métodos variacionales son herramientas esenciales de la dinámica analítica moderna y porque varias falacias que subyacen a su uso son sutiles y no son por lo general bien apreciadas, se espera que el siguiente relato ayude a iluminar su ámbito de aplicación. Resultados y Conclusiones de las restricciones no holonómicas En este trabajo se ha presentado la razón básica por la cual el principio variacional de Hamilton y el principio más básico de D'Alembert no pueden generalizarse al sustituir el lagrangiano aumentado

̇

∑

ya sea en la ecuación que define el principio de Hamilton (2) o el principio de D’ Alembert (9) para cubrir las limitaciones holonómicas generales, como la regla de multiplicador en el cálculo de variaciones podría sugerir. ̇

∫

*

( ̇

+

)

La regla multiplicador requiere que las condiciones laterales

deben

satisfacerse en todos los caminos variados, por lo tanto deben ser geométricamente posibles; los desplazamientos

en sistemas no holonómicos violan esta regla, ya que

causa cambios distintos de cero

en las condiciones de restricción y los caminos

desplazados no son geométricamente posibles. La restricción

se satisface sólo

por la ruta de acceso física real q(t) en el espacio de configuración. La regla multiplicador por lo tanto, no puede ser utilizado para generalizar el principio de Hamilton o el principio de D'Alembert para cubrir las limitaciones no holonómica. No obstante, se puede aplicar a todas las restricciones lineales exactas holonómicas y semiholonomicas que tienen la propiedad de que todos los caminos son desplazados geométricamente de acuerdo con la regla de multiplicador. Hemos trazado el desarrollo de diversos principios generalizados del principio básico D'Alembert, de tal modo que se haga transparente su ámbito de aplicación; obteniendo las siguientes conclusiones:  El

principio

básico

de

D'Alembert,

(9)

es

el

más

fundamental

de todos los principios que aquí se consideran.  El principio básico de D'Alembert (9) y el principio variacional de Hamilton (2), están bien diseñadas para los sistemas holonómicos. La ecuación (10) es la ecuación de estado.

( ̇

)

 Cuando se buscan las fuerzas de restricción en los sistemas holonómicos, El principio generalizado de D'Alembert, la ecuación (11) y principio generalizado de Hamilton, la ecuación (5), son apropiados, ya que la variedad de caminos con restricciones holonómicas son geométricamente posibles. La ecuación (6) es la ecuación de estado.

*

(

+

) ̇

 Las ecuaciones correctas de Estado (12) de limitaciones holonómica lineales generales están definidas sólo por el principio básico de D'Alembert (9), o su versión integrada de tiempo, el principio integral de Hamilton (13). ( ̇

)

∫

∫

[

]

∫ [

]

 Los principios generalizados, (14) y (15), son válidas para los sistemas semiholonomicos. En estos principios generalizados, las restricciones se incluyen de forma automática y los desplazamientos son libres. La ecuación (16) de estado de los sistemas semiholonomos, es decir, aquellos que satisfacen las condiciones para la exactitud y por lo tanto geométricamente posibles.

*

(

+

) ̇ ∫

̇

̇

∫ [

(

]

) ̇

 Principios generalizados no son apropiados para las restricciones holonómica lineales, debido a que las ecuaciones de restricción

no son exactos y

cambian en un variado camino de variada trayectoria. La regla multiplicador subyacente entonces pierde validez.  La teoría de restricciones no holonómica con una dependencia general de velocidad permanece fuera del alcance del principio más fundamental, la ec. (14) de D'Alembert. Es imposible de extraer de las ecuaciones no holonómica generales la relación lineal entre la

de limitaciones es requerida para la

aplicación del principio de D'Alembert a menos que las restricciones sean bien lineales en velocidad o holonómica. Las restricciones no holonómicas están por lo tanto fuera del alcance de cualquiera de los principios basados en el principio de D'Alembert. Las conclusiones anteriores reflejan el mérito intrínseco de reconstruir el principio de variación (Ec. 2), desde el más fundamental principio de D'Alembert (Ec.14) a través de la ecuación (17), de modo que exista validez de las diversas etapas implicadas. Los errores pueden ocurrir fácilmente arbitrariamente invocando la regla multiplicador para hacer valer los principios generales como la ecuación 14 y 15, sin antes conocer el estado crítico, pero oculta que las variadas rutas de acceso deben ser geométricamente posibles. Hemos demostrado aquí que la condición se cumple sólo para los sistemas holonómicos y semiholonomicos. [

]

Las restricciones no holonómicas generales, ̇ pueden ser analizados por otros principios que implican, por ejemplo, los desplazamientos de velocidad virtuales (Jourdain), construidos mediante el mantenimiento de tanto la

configuración de q y t de tiempo fijados, en contraste con desplazamientos virtuales que mantener sólo fijado t.

ECUACION DE EULER Ecuaciones de Euler (Sólidos) En diversas áreas de la mecánica y las matemáticas existen diversas ecuaciones de Euler: 1. En mecánica de fluidos, tenemos las Ecuaciones de Euler (fluidos) para fluidos compresibles. 2. En Mecánica del sólido rígido, tenemos las Ecuaciones de Euler (sólidos) que describen el movimiento de un sólido rígido animado de rotación. En mecánica, las ecuaciones de Euler describen el movimiento de un sólido rígido en rotación en un sistema de referencia solidario con el sólido. Matemáticamente tienen la forma:

Donde son las componentes vectoriales del momento o momento dinámico total aplicado, son los momentos principales de inercia y ωk son las componentes del vector velocidad angular según los ejes principales de inercia. Motivación y derivación En un sistema de referencia inercial la derivada del momento angular es igual al momento dinámico o momento de fuerzas aplicado:

Donde es el tensor de momentos de inercia. Sin embargo, aunque la ecuación anterior es universalmente válida, no resulta útil en la práctica para calcular el movimiento puesto que generalmente, tanto como varían con el tiempo. Sin embargo, el problema anterior se resuelve si consideramos un sistema de referencia no-inercial solidario con el sólido rígido en rotación, porque respecto a este sistema de referencia el tensor de [momentos de] inercia es constante y sólo la velocidad angular varía con el tiempo. De hecho de todos los posibles sistemas de este tipo tomaremos por simplicidad y conveniencia matemática uno cuyos ejes coincidan con las

direcciones principales de inercia (que permiten forman un triedro rectángulo). En estas condiciones el vector momento angular puede escribirse como:

O también

Donde Ik son los momentos de inercia principales, son los vectores unitarios en la dirección de los ejes principales de inercia y ωk son las componentes de la velocidad angular expresadas en la base formada por los vectores unitarios anteriores. En un sistema no-inercial giratorio, la derivada temporal debe ser reemplazada por otra expresión que dé cuenta también de las fuerzas ficticias asociadas a la no-inercialidad del sistema:

Donde el subíndice rot indica que una magnitud se computa en el sistema noinercial rotatorio. Substituyendo, tomando el producto vectorial y usando el hecho de que los momentos principales de inercia no varían con el tiempo, llegamos a las ecuaciones de Euler:

Rotación libre en el espacio Cuando el momento dinámico es nulo tenemos una solución de movimiento libre. Puesto que en general la velocidad angular no coincide con ninguno de los ejes principales de inercia lo cual se traduce en un movimiento de precesión caracterizado porque el eje de rotación se mueve alrededor de la recta que coincide con la dirección del momento angular y otro de nutación caracterizado porque el eje de rotación oscila variando su ángulo con la dirección del momento angular. Se puede ver por qué sucede a partir de la ecuación de movimiento expresada en un sistema inercial cuando el momento es cero:

Puesto que para un sólido giratorio varía con el tiempo, la única manera de que sea constante es que también varíe con el tiempo. Formula de Euler La fórmula o relación de Euler, atribuida a Leonhard Euler, establece que:

Para todo número real x. Aquí, e es la base del logaritmo natural, i es la unidad imaginaria y senx y cosx son funciones trigonométricas. Esta función tiene, tanto simetría par como impar sabido que este tipo de simetrías desempeñan un papel muy importante en la física moderna, razón por la cual en la mecánica cuántica los números complejos son esenciales.

ECUACIONES DIFERENCIALES PARA VIGAS COLUMNAS Para una más completa comprensión del problema de la viga columna resulta instructivo deducir varias relaciones diferenciales entre las variables involucradas. Con ese objetivo consideremos un elemento diferencial de viga columna como se indica en la Figura 3. Notar especialmente que el elemento se muestra en su posición deformada. Para vigas ordinarias (comportamiento lineal) cargadas transversalmente esto no es necesario. Por otro lado los desplazamientos que se tratan en este análisis son pequeños en relación con la luz de la viga columna, lo cual permite las siguientes simplificaciones: dv/dx = tan θ ≅ θ ≅ senθ,

cos θ = 1

y

ds ≅ dx

Con esta base, las dos ecuaciones de equilibrio son ∑

qdx − T + (T + dT ) = 0

∑

− M + P dv + Tdx + qdx

+ (M + dM) = 0

La primera de estas ecuaciones da (9.12)

Que no cambia respecto a lo visto en el caso de plantear el equilibrio en la posición indeformada. La segunda, despreciando infinitesimales de orden superior, da (9.13)

Por lo tanto, para vigas columnas, la fuerza cortante T , además de depender de la derivada del momento M como en la vigas, depende ahora de la magnitud de la fuerza axial y de la pendiente de la curva elástica. El último término es la componente de P a lo largo de las secciones inclinadas que se muestran en la Figura 3.

En este desarrollo se puede utilizar la relación usual de la teoría de flexión, v” = M/ (EI). Substituyendo la ecuación (9.13) en la (9.12) y haciendo uso de la relación anterior, se obtienen dos ecuaciones diferenciales alternativas para vigas-columnas

o bien

Introducción:

Un cuerpo rígido se define como aquel que no sufre deformaciones por efecto de fuerzas externas, es decir, un sistema de partículas cuyas posiciones relativas no cambian. Sin embargo, las estructuras y máquinas reales nunca son absolutamente rígidas y se deforman bajo la acción de cargas que actúan sobre ellas. Un cuerpo rígido es una idealización, que se emplea para efectos de estudios de Cinemática, ya que esta rama de la Mecánica, únicamente estudia los objetos y no las fuerzas exteriores que actúan sobre ellos. El movimiento de un cuerpo rígido en ausencia de torcas es uno de los pocos problemas resueltos de la dinámica del cuerpo rígido en términos de funciones conocidas. Este es un problema mecánico en que se escriben y resuelven las ecuaciones de movimiento, las cuales se pueden plantear a partir de una función de LaGrange, mediante una función de Hamilton o por medio de las ecuaciones de movimiento para la velocidad angular o para el momento angular, llamadas comúnmente ecuaciones de Euler. Para describir el movimiento del cuerpo rígido se introducen dos sistemas de coordenadas cartesianas: el sistema inercial y el sistema anclado al cuerpo rígido. Es conveniente elegir ambos con el mismo origen situado en el centro de masa. El cuerpo rígido se ha definido por la propiedad característica de tener todas las partículas del cuerpo rígido coordenadas cartesianas constantes de movimiento en el sistema anclado al cuerpo rígido. Representamos por aj las componentes constantes del vector de posición “n” de la partícula “j” en el sistema anclado, y por xj (t) las componentes de la misma partícula en el sistema inercial en el tiempo t. Estas cantidades están relacionadas por una matriz de rotación R(t), la misma para todas las partículas del cuerpo rígido. En esta investigación se profundiza acerca de las ecuaciones de Euler aplicada en los sistemas de cuerpos rígidos, además, se discuten los problemas asociados con la modificación del principio de Hamilton para cubrir limitaciones no holonómica por la aplicación del teorema de multiplicador del cálculo variacional.

Conclusión:

La dinámica de un sistema de cuerpo rígido se define por sus ecuaciones de movimiento, que se derivan ya sea utilizando Newton las leyes del movimiento y la mecánica de Lagrange. La solución de estas ecuaciones de movimiento define la forma en la configuración del sistema de cuerpos rígidos cambios como una función del tiempo. La formulación y la solución de la dinámica de cuerpo rígido es una herramienta importante en la simulación por ordenador de los sistemas mecánicos. Un caso especial importante de los sistemas de partículas es aquel en que la distancia entre dos partículas cualesquiera permanece constante en el tiempo, esto es un CUERPO RIGIDO.

A pesar que no existen cuerpos que sean estrictamente rígidos, todos los cuerpos pueden ser deformados, sin embargo el modelo del cuerpo rígido es útil en muchos casos en que la deformación es despreciable.

La descripción cinemática y dinámica de un cuerpo extenso aunque este sea rígido en un movimiento en tres dimensiones matemáticamente es muy complejo y es tratado en libros avanzados de dinámica. Es complejo porque un cuerpo tiene seis grados de libertad; su movimiento involucra traslación a lo largo de tres ejes perpendiculares y rotación alrededor de cada uno de estos ejes. No llegaremos a hacer un tratamiento general directo, pero si desarrollaremos el movimiento del cuerpo rígido en dos dimensiones.

Cuando las ecuaciones del movimiento de un sólido rígido se expresan en un sistema de referencia no inercial solidario con los ejes principales de inercia del sólido rígido toman una fórmula particularmente simple conocida como ecuaciones de Euler. En general, en este sistema de referencia es mucho más sencillo integrar las ecuaciones de movimientos que en un sistema de referencia inercial y no solidario con el cuerpo.

Profesor: Eugenio Salas

Integrantes: Alejandra Rodríguez C.I: 24.577.586 Sección M04

El TIGRE, JULIO DE 2014