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FORMULARIO TEORIA DE COLAS Distribución Poisson:

( t ) k e  t P(k )  k! Distribución de los tiempos de servicio:

P(tiempo de servicio  t )  et Modelo No.1 

Probabilidad de encontrar el sistema ocupado “Utilización del sistema” (P): ʎ

P=𝜇 P: Utilización del sistema. μ = Tasa de servicio (unidad/tiempo) ʎ = Tasa de llegadas (unidad/tiempo) ʎ Es valida si y solo si 𝜇 ≤ 1 

Probabilidad de encontrar el sistema vacío u ocioso (Po): ʎ

Po = 1 - 𝜇 = 1 – P 

Número esperado promedio de unidades en la cola (Lq): Lq = ʎ² / 𝜇 (𝜇 − ʎ)



Número esperado promedio de unidades en el sistema (L): L = ʎ / (𝜇 − ʎ)



Tiempo esperado en la cola (Wq): Wq = ʎ / 𝜇 (𝜇 − ʎ) = Lq / ʎ Tiempo esperado en el sistema (W): W = 1 / (𝜇 − ʎ) = Wq + 1 / 𝜇





Probabilidad de n unidades en el sistema (Pn): ʎ

Pn = (𝜇)𝑛 𝑃𝑜

Modelo No.2



Probabilidad (Po) de encontrar vacío el sistema: 1

ʎ

ʎ 𝑘

1

𝑘𝜇

Po = 1 / [∑𝑛=𝑘−1 ( )𝑛 ] + [(𝑘!) (𝜇) (𝑘𝜇−ʎ)] 𝑛=0 𝑛! 𝜇



K = número de canales de servicio. ʎ = Tasa de llegadas de clientes. 𝜇 = Tasa de servicio de un canal simple. Se supone que todas las tasas medias de servicio son iguales. La probabilidad de que un cliente tenga que esperar, es decir la probabilidad que hallan 1 o más unidades en el sistema (Pk): Pk =



1

ʎ

𝑘𝜇

( )𝑘 ( ) 𝑃𝑜 𝑘! 𝜇 𝑘𝜇−ʎ

El número esperado en el sistema (L) es: ʎ ʎ𝜇 ( )𝑘

ʎ

𝜇

L=

(𝑘−1)! (𝑘𝜇−ʎ)²

Po + 𝜇

ʎ

L = Lq + 𝜇 

El número esperado en la cola (Lq) es: ʎ 𝜇

ʎ𝜇 ( )𝑘

Lq = 

(𝑘−1)! (𝑘𝜇−ʎ)²

Po

El tiempo esperado en la cola (Wq) es. ʎ 𝜇

𝜇 ( )𝑘

Wq = = 

(𝑘−1)! (𝑘𝜇−ʎ)²

El tiempo esperado en el sistema (W) es: ʎ 𝜇 ( )𝑘

W==

1

𝜇

(𝑘−1)! (𝑘𝜇−ʎ)²

W = Wq + 

Po

Po + 𝜇

1 𝜇

La probabilidad de que existan “n” unidades en el sistema (Pn) es: Pn = (

Pn =

ʎ 𝜇

𝑛!

)𝑛 𝑃𝑜, 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑛 ≤ 𝑘

ʎ ( )𝑛

𝜇 𝑘!𝑘 𝑛−𝑘

𝑃𝑜, 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑛 > 𝑘

Modelo No.3 

La probabilidad de encontrar vacío el sistema (Po) es: Po =



La probabilidad de encontrar “n” clientes en el sistema (Pn) es: Pn =



1 𝑀! ʎ 𝑛 ∑𝑛=𝑀 𝑛=0 [(𝑀−𝑛)!(𝜇) ]

𝑀!

ʎ

( )𝑛 𝑃𝑜

(𝑚−𝑛)! 𝜇

Número espera de clientes en el sistema (L) es: L = ∑𝑛=𝑀 𝑛=0 𝑛𝑃𝑛 𝜇 L = M – (1 − 𝑃𝑜) ʎ



L = Lq + (1-Po) El número esperado de clientes en la cola (Lq) es: Lq = M -



ʎ+𝜇 ʎ

(1 − 𝑃𝑜)

El tiempo promedio que ocupa una unidad en la línea de espera (Wq) es: 𝐿𝑞

Wq = (𝑀−𝐿)ʎ 

El tiempo promedio que una unidad ocupa en el sistema (W) es: W = Wq + 1/𝜇 W = L ((𝑀 − 𝐿)ʎ)−1

Modelo No.4 

La probabilidad de hallar vacío el sistema (Po) es: 1 𝑃𝑜 = 𝑀! ʎ 𝑀! ʎ 𝑛 ∑𝑛=𝑘−1 [ ( )𝑛 ] + ∑𝑛=𝑚 𝑛=0 𝑛=𝑘 [(𝑚 − 𝑛)! 𝐾! 𝐾 𝑛−𝑘 (𝜇 ) ] (𝑀 − 𝑛)! 𝑛! 𝜇



La probabilidad de encontrar n clientes en el sistema (Pn) es: Para K >n>0 𝑀!

ʎ

Pn = Po (𝑀−𝑛)!𝑛! (𝜇)𝑛 Para M>n>K 𝑀!

ʎ

Pn = Po (𝑚−𝑛)!𝐾!𝐾𝑛−𝑘 (𝜇)𝑛 Es importante notar que n no puede ser mayor a M. 

El número esperado de clientes en el sistema (L) es:

𝑛=𝑘−1 L = ∑𝑛=𝑘−1 𝑛𝑃𝑛 + ∑𝑛=𝑚 𝑃𝑛] 𝑛=0 𝑛=𝑘 (𝑛 − 𝑘)𝑃𝑛 + 𝑘[1 − ∑𝑛=0



Número esperado de clientes en la cola (Lq) es: Lq = ∑𝑛=𝑚 𝑛=𝑘 (𝑛 − 𝑘)𝑃𝑛



Tiempo promedio que utiliza una unidad en el sistema (W) es: 1

1

1

W = Wq + [2 [(𝜇) + (ʎ )] − (ʎ )] W = L/ʎ 

Tiempo promedio que utiliza una unidad en la cola (Wq) es: Wq = Lq / ʎ

Modelo No. 5 

Probabilidad de que no existan unidades en el sistema: Po = 1 - ʎ/𝜇



Número promedio de unidades en la línea de espera: Lq =



ʎ 𝜇

ʎ2 𝜎2 +( )² ʎ 𝜇

2(1−( ))²

Número promedio de unidades en el sistema. L = Lq + ʎ/𝜇



Tiempo promedio que utiliza una unidad en la línea de espera o cola: Wq = Lq / ʎ



Tiempo promedio que utiliza una unidad en el sistema: W = Wq + 1/𝜇



:Probabilidad de que una unidad de llegada tenga que esperar el servicio: Pw = ʎ/𝜇