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• Ruben Sucuzhañay

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DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS SECUNDARIA FUNDACIÓN VEDRUNA S E V I L L A COLEGIO SANTA JOAQUINA DE VEDRUNA

RINCÓN DE AMPLIACIÓN

LOS DUELOS MATEMÁTICOS Los duelos matemáticos eran una especie de torneo o debate público, en el cual dos matemáticos se retaban mutuamente a resolver problemas planteados por ellos. Se proponían los problemas y se efectuaba el duelo unos 15 días después. Asistía el público y también las autoridades locales, y el perdedor en un duelo de estos podía llegar a perder hasta su empleo en una importante Universidad, como consecuencia del desprestigio. Por muchos siglos, antes del siglo XVI, los matemáticos intentaron encontrar la fórmula que sirviera para determinar las soluciones de cualquier ecuación cúbica, sin lograrlo. No sería hasta el siglo XVI en Italia, cuando se encontrara la fórmula que permite encontrar las soluciones de cualquier ecuación de tercer grado (o ecuación cúbica), es decir, de la forma 3 2 Esta gran ax + bx + cx + d = 0 . proeza matemática de descubrir la fórmula, fue realizada por el matemático italiano Scipione del Ferro, en primer lugar, y más adelante por Nicoló Tartaglia quien la obtuvo por su cuenta, sin conocer el trabajo de Scipione del Ferro.

Scipione del Ferro

Nicoló Tartaglia

Sin embargo, la fórmula es conocida con el nombre de "fórmula de Cardano", porque otro matemático llamado Girolamo Cardano, quien estudió cuidadosamente las soluciones de Tartaglia y del Ferro, luego fue quien publicó la fórmula por primera vez en un gran tratado sobre resolución de ecuaciones titulado "Ars Magna". En esa época, era normal que los matemáticos mantuvieran en secreto sus descubrimientos para retar a otros y así aumentar su prestigio. Scipione del Ferro guardó en secreto su descubrimiento, hasta poco antes de su muerte, cuando decidió revelarlo a dos discípulos suyos. Sería uno de ellos, Antonio María Fiore, quien decidió retar a Tartaglia, profesor de Matemáticas en Venecia, para un duelo. Le propuso 30 problemas, los cuales requerían de la solución de ecuaciones cúbicas. Tartaglia propuso a Fiore otros problemas variados y se dedicó por 15 días a trabajar sobre la ecuación de tercer grado hasta lograr encontrar su solución. En el duelo,

Tartaglia sorprendió a todos, pero sobre todo a Fiore, con sus soluciones a todos los problemas planteados. Fiore, por su parte, no pudo resolver casi nada de lo propuesto por Tartaglia, y fue declarado perdedor. A su vez, Tartaglia guardó celosamente el secreto de su descubrimiento, a pesar de que Girolamo Cardano, interesado en conocerlo, trató, durante 4 años, de acercarse a él para que compartiera su conocimiento de la solución a la ecuación cúbica. El desarrollo del Álgebra a través de la historia ha sido impulsado principalmente por el interés en resolver ecuaciones. Ecuaciones lineales, ecuaciones cuadráticas, ecuaciones cúbicas y ecuaciones de cualquier grado, en general.

A continuación incluimos la explicación de este método y te proponemos que lo apliques en alguna ecuación cúbica de las muchas que se plantean en cualquiera de las áreas de las Ciencias.

Método de solución de la ecuación cúbica Lo primero es dividir la ecuación completa por el primer término ¨a¨

Reescribiendo la ecuación se tiene

Donde

y por último

A continuación se hace la sustitución

para eliminar el término x2 de la ecuación

Que simplificando equivale a

que también puede escribirse como

(Ecuación cúbica reducida)

Donde

y Ahora sea

en la ecuación reducida

La última ecuación se hace cero si

Tenemos un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas cuyas soluciones son

Sustituyendo ambas soluciones en * se obtiene

Cuyo valor nos sirve para encontrar x dado que

Pero de esta forma solo obtenemos una raíz (solución de la ecuación) y como la ecuación es de tercer grado debemos encontrar 3 soluciones (lo cual se garantiza gracias al teorema fundamental del álgebra) entre reales y complejas. Para encontrar las dos soluciones restantes se procede a dividir a la ecuación cúbica reducida por Z - Z1 Siendo

La división es exacta ya que z1 es solución de Z3 + pz + q = 0 Dividiendo se tiene

Por tanto se tiene . De donde sólo nos interesa el Segundo factor, pues si z = z1 la ecuación se hace cero. Entonces, establecemos la ecuación:

que es una ecuación de segundo grado con soluciones

En conclusión las tres soluciones son

Por último, para determinar el número de soluciones reales o complejas, estudiamos:

entonces la ecuación posee una solución real y dos complejas

las tres raíces son reales. Donde al menos 2 son iguales.

Las tres raíces son reales.