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DUALIDAD "Bueno, Bonito y Barato" es la frase que resume la existencia de la dualidad. La minimización del gasto es equivalente a la maximización del beneficio: si se desea obtener lo mejor con lo que tengo, lo mejor es comprar lo que sea más "económico" pero que me de la mayor satisfacción. La dualidad es una herramienta matemática que enlaza los problemas de la minimización del gasto, y la maximización del beneficio (aplica para las situaciones más comunes): al solo optimizar una vez, reduce el tiempo de solución de problemas; permite evadir optimizaciones altamente complicadas, y llegar al mismo resultado por caminos más sencillos (por ejemplo: si se desean las demandas marshallianas, pero es muy complicada la maximización de la utilidad, puede usarle la minimización, y mediante la dualidad llegar a lo que buscamos). El siguiente cuadro resume las relaciones entre los diferentes componentes de la minimazación del gasto y maximización del beneficio.

La dualidad permite "dar vueltas" (encontrar todos los componentes partiendo de unos pocos), y las dos más comunes son: Maximización Beneficios a Minimización del Gasto

Minimización del Gasto a Maximización Beneficios

1. Se maximiza la utilidad, obteniendo las demandas marshallianas.

A. Se minimiza el gasto, obteniendo las demandas hicksianas.

2. Se obtiene la utilidad indirecta al reemplazar B. Se obtiene la función de gasto al reemplazar las marshallianas en la función de utilidad. las hicksianas en la restricción presupuestaria (w=e). 3. En la utilidad indirecta, cambiando V por u, y e por w, se obtiene la función de gasto e. C. En la función de gasto, cambiando u por V, y w por e, se obtiene la utilidad indirecta V. 4. Mediante el lema de Shepard, se obtienen las demandas hicksianas. D. Mediante la Identidad de Roy, se obtienen las demandas marshallianas. 5. Se puede comprabar el resultado reemplazando la utilidad indirecta V en la E. Se puede comprabar el resultado utilidad constante u de las hicksianas, reemplazando la función de gasto e en el obteniendo nuevamente las marshallianas. ingreso exógeno w de las marshallianas, obteniendo nuevamente las hicksianas. Para lograr comprender correctamente las "vueltas" es necesario ver un ejemplo.

Ejemplo En el siguiente ejemplo vamos a dar "una vuelta completa"utilizando la dualidad. Trabajaremos con una función de utilidad Cobb-Douglas en dos bienes x y y, con una restricción presupuestaria walrasiana (lineal).

De la Maximización de Beneficios a la Minimización del Gasto. En primer lugar, empezaremos con la maximización de la utilidad. 1.

Obtenemos que:

"Dividiendo" las primeras dos condiciones, obtenemos una relación entre y* y x*.

Y reemplazando en la última condición, obtenemos las demandas marshallianas en función de w, y precios.

Reemplazando las marshallianas en la función de utilidad, obtenemos la utilidad indirecta. 2.

 Nuevamente utilizaremos el cuadro, y en este caso cruzamos del problema de la maximización de la utilidad, a la minimización del gasto. Para ello tomamos la utlidad indirecta, y reemplazamos V por u, y w por e, posteriormente despejamos e, y de tal forma obtenemos el gasto óptimo. 3.

Ahora utilizaremos el cuadro nuevamente: mediante el Lema de Shepard, obtenemos las demandas hicksianas. 4.

Como hemos visto, sólo tuvimos que realizar la maximización del gasto para obtener tanto las demandas hicksianas como las marshallianas, además de las funciones de utilidad indirecta y de gasto. Ahora comprobemos la consistencia de nuestras hicksianas al pasar de ellas y de la utilidad indirecta, a las demandas marshallianas. Reemplazando V por u en cada demanda hicksiana, obtenemos las demandas marshallianas respectivas. 5.

De la Minimización del Gasto, a la Maximización de Beneficios. Ahora abordemos el problema desde la otra dirección: empecemos con la minimización del gasto. A.

Dividiendo las dos primeras condiciones, obtenemos una relación entre y* y x* (la misma de la maximización del beneficio -ahí se ve reflejada la dualidad de alguna forma-). Tal relación se reemplaza en la última condición para finalmente obtener las demandas hicksianas.

Ahora obtengamos el gasto utilizando las demandas hickisianas: las reemplazamos en la restricción presupuestaria y cambiamos w por e. B.

Nuestro siguiente paso es obtener la utilidad indirecta: pasar de la minimización del gasto, a la maximización del beneficio. C.

Y para terminar esta "vuelta", obtenemos las demandas marshallianas de a utilidad indirecta, utilizando la identidad de Roy. D.

Finalmente comprobamos la consistencia de nuestras marshallianas: mediante ellas y la función de gasto obtenemos las hicksianas. Para ello reemplazamos la función e(u,P) por w en cada demanda marshalliana, obtenemos las demandas hicksianas respectivas. E.

Bibliografía  

Varian. "La Elección (C.8)" en Análisis Microeconómico Ed. 3. Antoni Bosch Editor. Pág. 153. Mas-Colell, Whinston, Green. "Chapter 3: Classical Demand Theory" en Microeconomic Theory. New York: Oxford University Press, 1995. Pág. 63.