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• Jimmy Belandria

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República Bolivariana de Venezuela Ministerio del poder popular para la educación Instituto Politécnico Santiago Mariño Escuela de Ingeniería Industrial Cátedra: Investigación de Operaciones Profesor: Carolina Gil.

“DUALIDAD”

Presentado por: José Manzanilla C.I.: 21.568.530

Maracaibo, julio de 2019

Introducción

La presente investigación tuvo como objeto definir lo relacionado a la Dualidad dentro de la investigación de operaciones, específicamente en la programación lineal. Uno de los descubrimientos más importantes durante el desarrollo inicial de la programación lineal fue el concepto de la dualidad y sus importantes ramificaciones, este descubrimiento reveló que, asociado a todo problema de programación lineal existe otro problema llamado dual.

La característica principal de esto es que desde distintos puntos de vista las relaciones entre el problema dual y el original, llamado primal son muy útiles y una de las aplicaciones más importantes de esta teoría es la realización e interpretación del análisis de sensibilidad.

La investigación de este tema se realizó por el interés de conocer el por qué la solución óptima de uno de ellos proporciona la solución óptima del otro (dual y primal) y profundizar la indagación de manera que se pueda comprender la aplicación de cada uno de ellos.

1) Definición de dualidad: La propiedad o el carácter de lo que es doble o contiene en sí dos naturalezas, dos sustancias o dos principios. El concepto de dualidad tiene su contexto en la resolución de problemas por medio de programación lineal. Más específicamente en el uso del método Simplex, en los casos en que la cantidad de restricciones es mayor al de las variables, pues la dualidad permite intercambiar las filas y columnas para obtener menos restricciones, lo cual facilita la resolución del problema. 2) Identificación de la teoría de dualidad: Cuando se origina directamente del modelo original denominado problema primal. Ambos se encuentran muy relacionados, de modo que la solución óptima de uno de ellos proporciona la solución óptima del otro. 3) Elaboración de la tabla primaria dual: A continuación se presenta un modelo de tabla primal dual:

4) Identificación del origen del problema dual: Cada problema de programación lineal (Primal) está estrechamente relacionado con otro problema simétrico a él, denominado problema dual. El dualismo es una teoría que surge como consecuencia de una profundización en el estudio de la programación lineal porque la distribución de los recursos y la formación de los precios son dos aspectos del mismo problema. Entonces la doble formulación de la programación lineal no se debe considerar como un simple ejercicio matemático, sino que una y otra versión del problema viene a explicar dos aspectos económicos distintos para una misma situación polémica. Una propiedad fundamental de la relación entre el primal y el dual es que la solución óptima de cualquiera de estos problemas proporciona la solución óptima para el otro. 5) Identificación entre los elementos de los problemas primal y dual: 

El dual tiene la matriz D transpuesta, es decir, si suponemos que D es de orden s x r, entonces Dt es de orden r x s. Además las variables del primal y el dual son diferentes, ya que X será un vector de rcomponentes mientras que el vector Y tendrá s-componentes.

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Los términos independientes del conjunto de las restricciones del problema primal forman los coeficientes de la función objetivo del dual, y los coeficientes de la función objetivo del primal forman los términos independientes de las restricciones del dual.

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Las restricciones del dual cambian su sentido al igual que el criterio de optimización en términos de mínimo o máximo.

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A cada restricción del problema primal le corresponde una variable dual y análogamente a cada restricción del dual le corresponde una variable del primal.

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Si se halla el dual del problema dual, obtedremos el problema primal.

6) Establecimiento de las propiedades débil: Se establece que si “X” es una solución factible para el problema primal y Y es una solución factible para el problema dual, entonces: ex ≤ yb. En general, el valor de cualquier solución factible del problema de minimización, provee una cota superior del valor óptimo del problema de maximización. Análogamente, el valor de la función objetivo de cualquier solución factible del problema de maximización es una cota inferior del valor óptimo del problema de minimización. 7) Establecimiento de las propiedades de soluciones complementarias: En cada iteración, el método simplex identifica de manera simultánea una solución FEV, x, para el problema primal y una solución complementaria, y, para el problema dual, donde: ex = yb Si X no es óptima para el problema primal, entonces Y no es factible para el problema dual. La propiedad de soluciones complementarias también se cumple en la iteración final del método simplex, donde se encuentra una solución óptima para el problema primal, sin embargo se puede decir más sobre la solución complementaria. 8) Desarrollo de las relaciones entre primal y dual: Como el problema dual es un problema de programación lineal, también tiene soluciones en los vértices. Aún más, al emplear la forma de igualdades del problema, estas soluciones se pueden expresar como soluciones básicas. Debido a que las restricciones funcionales tienen la forma ≥, la forma aumentada se obtiene al restar el superávit del lado izquierdo de cada restricción.

Aunado a esto, el número de variables que presenta el problema dual se ve determinado por el número de restricciones que presenta el problema primal y viceversa y los coeficientes de la función objetivo en el problema dual corresponden a los términos independientes de las restricciones (RHS), que se ubican del otro lado de las variables. 9) Solución de 2 ejercicios:

Metodo simplex 2 fases

Conclusión La dualidad en la investigación de operaciones y cada problema de programación lineal está estrechamente relacionado con otro problema simétrico a él, denominado problema dual. Tal como se demostró en la investigación, se entiende que el dualismo es una teoría que surge como consecuencia de una profundización en el estudio de la programación lineal porque la distribución de los recursos y la formación de los precios son dos aspectos del mismo problema. Una propiedad fundamental de la relación entre el primal y el dual es que la solución óptima de cualquiera de estos problemas proporciona la solución óptima para el otro.