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UNIDAD

10

Axonometría ortogonal: isométrico y DIN-5

n esta Unidad se desarrolla el sistema isométrico en el marco del sistema axonométrico ortogonal, del que es un tipo. Su estudio se presenta según dos vías diferenciadas. Por una parte se tratan la representación de los elementos básicos y las construcciones basadas en las relaciones de paralelismo e intersección. Por otra, la consideración de los coeficientes de reducción, particularizados para el sistema isométrico, facilitan la representación de polígonos y circunferencias situadas en los planos coordenados. Por último se presentan las características del sistema dimétrico normalizado DIN-5.

E

Los procedimientos de geometría del espacio empleados en las construcciones basadas en las relaciones de pertenencia, intersección y paralelismo, son los mismos que los utilizados en el sistema diédrico. Las características del lenguaje del sistema también son similares, como puede observarse comparando los títulos de los apartados. Los objetivos que nos proponemos alcanzar con esta Unidad son: 1. Ser capaz de representar puntos, rectas y planos en cualquier posición. 2. Ser capaz de representar figuras planas situadas en los planos coordenados. 3. Ser capaz de realizar construcciones basadas en las relaciones de pertenencia, intersección y paralelismo.

212

Axonometría ortogonal Sistema isométrico y DIN-5 Representación

Coeficientes de reducción Punto, recta y plano Trazas y rectas notables

Figuras planas situadas en planos paralelos a los coordenados

Posiciones particulares

Intersección

Intersección de rectas

Intersección de planos

Intersección de recta y plano

Paralelismo

Conservación del paralelismo en la proyección cilíndrica

Condiciones de paralelismo

Construcciones

ÍNDICE DE CONTENIDOS

1. SISTEMA ISOMÉTRICO: FUNDAMENTOS Y REPRESENTACIÓN DEL PUNTO, LA RECTA Y EL PLANO 1.1. Fundamentos del sistema axonométrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2. Características y utilidad del sistema axonométrico ortogonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3. Coeficientes de reducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4. Obtención de los coeficientes de reducción. Tipos de sistemas axonométricos ortogonales . . . . . . . 1.5. Representación del punto en el sistema isométrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6. Posiciones del punto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.7. Representación de la recta. Pertenencia de un punto a una recta. Trazas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.8. Obtención de las trazas y demás proyecciones de una recta definida por sus proyecciones directa y horizontal . 1.9. Posiciones de la recta respecto a los planos coordenados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.10. Representación del plano. Pertenencia de un punto o de una recta a un plano . . . . . . . . . . . . . . . . 1.11. Rectas notables del plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.12. Posiciones del plano respecto a los planos coordenados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2. SISTEMA ISOMÉTRICO: INTERSECCIÓN, PARALELISMO Y REPRESENTACIÓN DE FIGURAS PLANAS 2.1. Intersección de rectas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2. Intersección de planos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3. Intersección de planos cuando las trazas se cortan fuera del papel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4. Intersección de recta y plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5. Paralelismo entre rectas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6. Paralelismo entre planos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.7. Representación de polígonos situados en planos paralelos a los coordenados . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.8. Perspectiva isométrica de un hexágono situado en un plano paralelo al plano XY . . . . . . . . . . . . . . . 2.9. Perspectiva isométrica sin reducción de una circunferencia situada en un plano paralelo al plano XZ 3. SISTEMA DIMÉTRICO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1. Sistema dimétrico normalizado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2. Relaciones métricas en el DIN - 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3. Construcción de los ejes del DIN-5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

213

214 214 215 216 217 218 219 220 221 222 222 223 224 225 225 225 226 226 227 228 228 229 230 231 231 231 232

UNIDAD

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AXONOMETRÍA ORTOGONAL: ISOMÉTRICO Y DIN-5

1. Sistema isométrico: fundamentos y representación del punto, la recta y el plano 1.1. Fundamentos del sistema axonométrico El sistema axonométrico utiliza un sistema de tres ejes coordenados ortogonales X, Y, Z, que definen un triedro trirrectángulo cuyo vértice es el origen O. El objeto se dispone con sus caras paralelas a los planos coordenados XY, XZ, e YZ, llamados respectivamente: horizontal, primer vertical y segundo vertical, que se representan con las letras H, V y W. La representación del objeto (Ilust. 1 izquierda) se realiza mediante dos proyecciones sucesivas: 1. El objeto se refiere a los tres planos coordenados XY, XZ, e YZ, mediante sus proyecciones ortogonales sobre ellos, llamadas proyección horizontal, vertical primera y vertical segunda 2. Se realiza la proyección del conjunto sobre un plano π, llamado plano del dibujo o del cuadro, obteniéndose cuatro imágenes del objeto referidas a las proyecciones de los ejes X’, Y’, Z’ y de su origen O’. El sistema axonométrico utilizado se llamará ortogonal u oblicuo de acuerdo con el tipo de proyección empleada. π Z’

Z’ Z

O’ O’

O X’ Y’ X Y

Ilustración 1

214

Y’

X’

La perspectiva axonométrica del objeto así obtenida (Ilust. 1 derecha), consta de: •

La proyección del objeto sobre el cuadro, llamada proyección directa o perspectiva axonométrica del objeto.

•

Las proyecciones sobre el cuadro de las tres proyecciones del objeto sobre los planos coordenados XY, XZ, e YZ, llamadas proyecciones axonométricas y también: proyección horizontal, vertical primera y vertical segunda, respectivamente.

•

Las proyecciones X ’, Y ’, Z ’ de los ejes coordenados X, Y, Z, llamadas ejes axonométricos, que definen las características particulares de la perspectiva.

En la práctica se utilizan dos tipos de representación axonométrica: •

La definida por la “perspectiva axonométrica del objeto”, que permite apreciar su forma y por una de las tres proyecciones axonométricas, que informa de su posición en el triedro de referencia o respecto a otros objetos igualmente representados.

•

La definida exclusivamente por la perspectiva axonométrica del objeto, cuando se desea conocer la forma del objeto en sí mismo, sin referencias.

1.2. Características y utilidad del sistema axonométrico ortogonal En la Ilust. 1 puede verse que las caras del cubo no mantienen ni su forma, ni su tamaño al ser proyectadas, por lo que no se pueden medir directamente ni longitudes ni ángulos. Sin embargo, la proyección directa de su representación axonométrica permite hacerse una idea bastante precisa de la forma del cubo. De ahí las características del sistema: facilidad de comprensión de la forma del cuerpo a partir de su representación axonométrica y dificultad de medida de las dimensiones lineales y angulares. El sistema axonométrico se utiliza para facilitar la comprensión de la forma de objetos cuya representación diédrica es dudosa o de difícil interpretación. Es información complementaria en los planos de fabricación y construcción de proyectos de ingeniería, arquitectura y diseño industrial. El croquis acotado, realizado en cualquiera de los sistemas axonométricos, es un procedimiento de gran utilidad tanto para la toma de datos de objetos existentes, como para facilitar el estudio de su forma y proponer modificaciones sobre ésta.

215

UNIDAD

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AXONOMETRÍA ORTOGONAL: ISOMÉTRICO Y DIN-5

1.3. Coeficientes de reducción π Z’

C

γ Z uz O’ u

α

O

X

A X’

β Y

Y’

B

Ilustración 2

En la axonometría ortogonal, lo que caracteriza una perspectiva concreta es la posición del triedro de referencia OXYZ respecto al plano del cuadro. Este no es en realidad un plano concreto, sino que, dependiendo de la operación que se desea realizar, se elige uno cualquiera entre un sistema de planos paralelos. En la Ilust. 2 puede verse un triedro OXYZ que corta al plano del cuadro π según un triángulo ABC llamado triángulo de las trazas. El origen O se proyecta sobre el cuadro en O’, mediante su perpendicular OO’, y los ejes coordenados X, Y, Z se proyectan como ejes axonométricos X ’, Y ’, Z ’, pasando por O’ y por los puntos A, B, C, que son dobles. Como el eje Z es perpendicular al plano XY y a la traza AB contenida en él, su proyección Z ’ también será perpendicular a dicha traza AB. Razonando análogamente para los ejes X e Y, concluiremos que: los lados del triángulo de las trazas son perpendiculares a los ejes axonométricos. Los diferentes ángulos α, β, γ que forman los ejes coordenados X, Y, Z con el cuadro π, son los mismos que forman con sus respectivas proyecciones X ’, Y ’, Z ’ sobre él. Si se toma una unidad de longitud u sobre uno cualquiera de los ejes coordenados, por ejemplo Z, ésta se proyecta en Z ’ multiplicada por el coseno del ángulo que forman γ, y por tanto reducida. Se llama coeficiente de reducción cz del eje u z, a la razón entre la unidad reducida uz y la unidad u. Será pues: cz = z = cos γ , y u uy ux análogamente c x = = cosβ . = cos α y c y = u u 216

Así pues, podemos llevar una medida sobre un eje multiplicándola por su coeficiente de reducción. Recíprocamente, si se desea conocer la verdadera magnitud de una longitud paralela a un eje coordenado de un objeto representado en axonométrico, se dividirá por su coeficiente de reducción.

1.4. Obtención de los coeficientes de reducción. Tipos de sistemas axonométricos ortogonales Sean X ’, Y ’, Z ’ los ejes axonométricos de una perspectiva (Ilust. 3). Se dibuja un triángulo de las trazas ABC cualquiera, cuyos lados AB, BC y CA sean perpendiculares a los ejes Z ’, X ’ e Y ’ respectivamente. Se abate el triángulo OBC, que contiene a los ejes Z e Y, sobre el cuadro alrededor de la charnela BC. Para ello se traza la semicircunferencia de diámetro BC, que corta en (O) a la dirección de abatimiento de O, que es la perpendicular a la charnela BC que pasa por O’. Las rectas (O)C y (O)B son los ejes coordenados abatidos (Z) e (Y). Z’ (Z)

u

(O)

C

π

uz

(Y)

Z’

O’ uy ux

C

A

Y’

(Z) Z (O)

X’

B (X)

(Y)

(u)

(Y)

u

u

uz O’

(O) A

u X

X’

Y (X) B

(Y)

(O)

Y’

Ilustración 3

Llevando una unidad de longitud u sobre (Z) y trazando por sus extremos paralelas a la dirección de abatimiento, se obtiene sobre Z’ la unidad reducida uz. Abatiendo el triángulo AOB se obtiene (X) e (Y); llevando sobre ellos la unidad de longitud se obtendrán ux y uy. 217

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AXONOMETRÍA ORTOGONAL: ISOMÉTRICO Y DIN-5

Obtenidas las unidades reducidas de cada eje, los coeficientes de reducción son las razones entre estas y la unidad de longitud empleada. Cuando los ángulos ρ, δ, σ que forman los ejes axonométricos X ’, Y ’, Z ’ entre sí son distintos (Ilust. 4), también lo son los coeficientes de reducción de cada eje y el sistema se llama trimétrico. Cuando dos de dichos ángulos son iguales, los coeficientes de reducción de los ejes no comunes a dichos ángulos son iguales (en el ejemplo ρ = σ y cx = cz) y el sistema se llama dimétrico. σ

δ

δ

ρ=σ

ρ

120º cX = cZ

ρ=σ

120º

120º

cX = cY = cZ = 0,816

Z

Z

Z

O

O X

X

X

O X

Y Y

Trimétrico

Dimétrico

Isométrico

Ilustración 4

Cuando los ángulos ρ, δ, σ son iguales los coeficientes de reducción de los tres ejes también son iguales y el sistema se llama isométrico. El valor de dichos ángulos es 120º y el de sus coeficientes de reducción 0,816.

1.5. Representación del punto en el sistema isométrico Z’ π

Z

A’2 A’3

Z

A’

A

A2 O’ O

A’1

A2

A3 A3 A

X’ X

Y’

Y

A1 Ilustración 5

218

Y

A1

X

Un punto A se representa mediante su proyección directa A’ y sus tres proyecciones axonométricas A’1, A’2 y A’3 (Ilust. 5). Estas se llaman proyección horizontal, vertical primera y vertical segunda. En la práctica se prescindirá de las primas y se representará el punto A mediante su proyección directa A y una de las axonométricas, preferiblemente la horizontal A1, pues a partir de ellas se pueden obtener las demás. Se prescindirá también de las primas en la notación de los ejes y del origen de coordenadas. Las rectas proyectantes AA1, AA2, AA3 y sus proyecciones en los planos coordenados, definen un ortoedro cuyos lados son las coordenadas del punto A, que define su posición en el espacio. Si hacemos AA3 = x, AA2 = y , AA1 = z, se expresará el punto A por sus coordenadas A (x, y, z).

1.6. Posiciones del punto C

A (2, 3, 1) Z

B (-3, -2, -3)

Z B3

C (-3, -2, 1) M

B B2

Coordenadas en cm

P N

C C1 C2 C3 A 2 O

O Y

A

B1

A A 1 A3 X Y

X

B

Ilustración 6

Los planos coordenados dividen el espacio en ocho regiones en las que puede encontrarse el punto. La región más próxima al observador se considera vista y en él las coordenadas de los tres ejes X, Y, Z, tienen signo positivo. Para representar un punto a partir de sus coordenadas, se construye el ortoedro de referencia de éste. Los tres primeros lados se sitúan sobre los ejes correspondientes, en sentido positivo o negativo a partir del origen. En la Ilust. 6 izquierda se han representado los puntos A, B, C. Por ejemplo, para representar el punto C se llevan OM = −3 × 0, 816 cm, ON = −2 × 0, 816 cm y OP = 1× 0, 816 cm sobre los ejes X, Y, Z respectivamente. Al completar el ortoedro se obtiene C. En la Ilust. 6 derecha se han representado puntos situados en los planos, ejes u origen de coordenadas. En ellos una o varias proyecciones axonométricas coinciden con la proyección directa. 219

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AXONOMETRÍA ORTOGONAL: ISOMÉTRICO Y DIN-5

1.7. Representación de la recta. Pertenencia de un punto a una recta. Trazas Z

r2 Wr Wr3 r3

Hr3

A3 A2 r

A V r Vr2 B O A1

Y

Hr Hr1

B1

r1 Hr2

X

Ilustración 7

Una recta r se representa mediante su proyección directa y sus tres proyecciones axonométricas r1, r2 y r3. Estas se llaman proyección horizontal, vertical primera y vertical segunda. Sólo dos proyecciones son precisas para definirla, preferiblemente la directa y la horizontal. También puede definirse una recta (Ilust. 7) mediante dos de sus puntos A, B y representarse por dos de sus proyecciones AB, A1B1. Recíprocamente, se puede establecer la condición de pertenencia: un punto pertenece a una recta si al menos dos de las proyecciones del punto están contenidas en las homónimas de la recta. Las trazas de una recta son los puntos de intersección de ésta con los planos coordenados. Existen tres trazas Hr, Vr, y Wr con los planos Horizontal, primer vertical y segundo vertical respectivamente. Cada una de ellas, como la Hr, tiene tres proyecciones axonométricas Hr1, Hr2, Hr3, coincidiendo la correspondiente al plano de corte con la proyección directa (Hr con Hr1, Vr con Vr2, Wr con Wr3). Las trazas de una recta r son los puntos en que ésta cambia de región y la dividen por tanto en varios tramos, de los cuales el situado en la región OXYZ es visto y los demás ocultos. Los tramos vistos se dibujan con trazo continuo y los ocultos con trazo discontinuo.

220

1.8. Obtención de las trazas y demás proyecciones de una recta definida por sus proyecciones directa y horizontal Vr Z

Z B

Wr

Vr1 B1

r3

r

r H r3

Y

r1

r2

A

X

W r1

A1 r1

Y

H r2

X

H r H r1

Ilustración 8

Sea r la proyección directa y r1 la proyección axonométrica horizontal de una recta r (Ilust. 8). La traza con el horizontal será el punto de corte de r con r1. Las proyecciones horizontales Vr1 y Wr1 de las trazas con el primer y segundo vertical son los puntos de corte de r1 con los ejes X e Y respectivamente. Levantando por ellos paralelas al eje Z hasta la recta r, se obtienen las trazas Vr y Wr. Las otras dos proyecciones axonométricas r2 y r3 están definidas por las proyecciones Hr2 y Hr3 de la traza con el horizontal de la recta r y por las trazas Vr y Wr respectivamente. Para averiguar cuál es la parte vista de la recta r, se sitúan puntos entre sus trazas y se observa el signo de sus coordenadas. Se prueba el punto B y se observa que su coordenada x es negativa. Se prueba el punto A y se observa que todas sus coordenadas son positivas. No es preciso probar más, la parte vista se halla entre Hr y Wr.

221

10

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AXONOMETRÍA ORTOGONAL: ISOMÉTRICO Y DIN-5

1.9. Posiciones de la recta respecto a los planos coordenados Z

Z

Z

Vr r

r3

r3

r2

V r r2

Y

Y

r1

Y

X

Hr

r2

r3

r

Vr

Wr r r1

X

X

r1 Paralela a un plano coordenado

Paralela a un eje coordenado

Contenida en un plano coordenado

Z

Z Vr

r3 r

r3

r2

r2 r Hr V r W r

Y

Hr W r

r1

r1

Y X

X

Que pasa por un eje coordenado

Que pasa por el origen Ilustración 9

Las rectas que son paralelas a los ejes o a los planos coordenados, o incidentes en el origen, los ejes o los planos coordenados, presentan características especiales en la disposición de sus proyecciones y trazas. El estudio de la Ilust. 9 facilitará la información necesaria.

1.10. Representación del plano. Pertenencia de un punto o de una recta a un plano Un plano α se representa mediante sus tres trazas α1, α2 y α3 con los planos coordenados. En la Ilust. 10 se ve cómo las trazas α1 y α2 se cortan en el eje X, α2 y α3 en el eje Z y α1 y α3 en el eje Y. Dicho punto de corte puede hallarse en la parte negativa de los ejes. De ahí la condición que deben cumplir las trazas:

222

•

Las trazas de un plano definen un triángulo, llamado triángulo de las trazas, cuyos vértices están en los ejes coordenados. Z

Z

α3 Wr

α2

Wr r

A

α3 A

α2

r

Vr

O O A1

A1

Hr

r1

r1 α1 Y

X

X

Hr

Y

Vr

α1

Ilustración 10

Las condiciones de pertenencia de una recta o un punto a un plano son: •

Una recta pertenece a un plano si al menos dos de sus trazas están contenidas en las trazas homónimas del plano.

•

Un punto pertenece a un plano si pertenece a una recta de dicho plano.

Así en la Ilust. 10 la recta r pertenece al plano α porque Hr está en α1 y Vr está en α2. Y el punto A pertenece a α porque es un punto de la recta r, que a su vez pertenece a α. Recíprocamente, si un plano se define mediante dos rectas secantes o paralelas, sus trazas estarán determinadas por las de las rectas. Si se define mediante un punto y una recta, se estará en el caso anterior trazando una secante a la recta que pase por el punto. Por último, si está definido por tres puntos las trazas del plano quedarán determinadas por las de las rectas que pasan por ellos.

1.11. Rectas notables del plano De todas las infinitas rectas que pertenecen a un plano algunas son, por sus características, especialmente útiles como auxiliares en los trazados. Estas son (Ilust. 11): •

Horizontal de plano, sus proyecciones directa h y horizontal h1 son paralelas a la traza α1 del plano y h2, h3 paralelas a los ejes X, Y.

•

Frontal primera del plano, sus proyecciones directa f y vertical primera f2 son paralelas a la traza α2 del plano y f1, f3 paralelas a los ejes X, Z. 223

10

UNIDAD

AXONOMETRÍA ORTOGONAL: ISOMÉTRICO Y DIN-5

Z

Z f3

α3 h3

h2 h

f2

f

α2

α2

α2

g3 α3 α1

Y

h1

g g2

α1 Y

Z

f1

X

Horizontal

g1

Y

α1

X

Frontal primera

X

Frontal segunda

Ilustración 11

•

Frontal segunda del plano, sus proyecciones directa g y vertical segunda g3 son paralelas a la traza α3 del plano y g1, g2 paralelas a los ejes Y, Z.

1.12. Posiciones del plano respecto a los planos coordenados Z

Z

α3

Z α2

α3

α3 α2 Y

Y α1

Y

X

X

α1

Paralelo a un plano coordenado

X

Paralelo a un eje coordenado Z

Incidente en un eje coordenado Z

α2

α1 α2 α3

α3 Y

α1

Y X

X

Plano frontal. Paralelo al cuadro

Plano proyectante. Perpendicular al cuadro Ilustración 12

224

Los planos paralelos a los planos coordenados, o paralelos o incidentes a los ejes, presentan características especiales en la existencia o disposición de sus trazas. Los planos paralelos al del cuadro tienen el triángulo de las trazas semejante al suyo. Los proyectantes al cuadro tienen sus trazas alineadas. El estudio de la Ilust. 12 facilitará la información necesaria.

2. Sistema isométrico: intersección, paralelismo y representación de figuras planas 2.1. Intersección de rectas Dos rectas se cortan si los puntos en que sus proyecciones homónimas se cortan son las proyecciones de un solo punto. En la Ilust. 13 izquierda las proyecciones directas de las rectas r y s se cortan, pero al trazar una paralela al eje Z por su punto de intersección, se determina la primera proyección de un punto A en la recta r y de otro B en s. Se dice que las rectas r y t se cruzan. En cambio las rectas s y t tienen un punto C común, por tanto las rectas s y t se cortan. Z

Z

β3 r

C

α3

s

Wi

O

β2

t W i1

r1

A1

C1

s1

β1

X

Y

Y B1

α2

i

AB

i1

O

Hi1 H i

α1

X Vi

t1 Ilustración 13

2.2. Intersección de planos La intersección de dos planos es una recta común a ambos cuyas trazas son los puntos de corte de las trazas homónimas de dichos planos. Así en la Ilust. 13 derecha se obtiene la traza Hi de la recta intersección i en el 225

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AXONOMETRÍA ORTOGONAL: ISOMÉTRICO Y DIN-5

punto de corte de α1 y β1, la traza Vi en el punto de corte de α2 y β2 y la traza Wi en el punto de corte de α3 y β3. La proyección directa i se obtiene uniendo dichas trazas. La proyección horizontal i1 es la recta que une las primeras proyecciones Hi1 y Wi1 de sus trazas y análogamente las demás.

2.3. Intersección de planos cuando las trazas se cortan fuera del papel Z

Z

α3

α3

β2

i Wa

a

γ3

b

β2

γ2

A

W a1 a1

X Y

β1

Y

α1

b1

A1 β1

Hi1 Hi

X

i1 α1

Ilustración 14

Sean α y β los planos (Ilust. 14). El punto de corte de las trazas α1 y β1 es la traza Hi de la recta intersección i. Para obtener otro punto se traza el plano auxiliar γ, paralelo al horizontal y se hallan las rectas de intersección a y b con los dados. La intersección de α3 y γ3 es la traza Wa de la horizontal de plano a, cuyas proyecciones directa a y horizontal a1 son paralelas a la traza α1. Obtenida análogamente b, se traza la recta i, que une el punto A de intersección de ambas con la traza Hi.

2.4. Intersección de recta y plano Para hallar la intersección de una recta con un plano se traza un plano auxiliar que contenga a la recta, preferiblemente proyectante en uno coordenado y se halla su punto de corte con la recta intersección de ambos planos.

226

Z

Z β3

r

α2

Wi α3

i

α3

O I I1

i1 X Y

α1

r

α2

Hi

α1

Y

r1

X β 1 r1

Vi Ilustración 15

Sea α el plano y r la recta (Ilust. 15). Se traza el plano proyectante en el horizontal β, de modo que su traza β1 coincida con r1. Trazada la recta i, de intersección de los planos α y β, se obtiene la perspectiva I del punto de intersección, en el punto de corte de las proyecciones directas i y r. Una paralela al eje Z trazada desde I hasta r1 dará I1.

2.5. Paralelismo entre rectas Z

Z A

β2

α2 s A

r

Wi α3

O A1

r1 A1 Y

Vh

h

s1

X

α1

h1

Y β1 Ilustración 16

227

X

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10

AXONOMETRÍA ORTOGONAL: ISOMÉTRICO Y DIN-5

Dos rectas son paralelas cuando al menos dos de sus proyecciones homónimas son paralelas. Para trazar por un punto A la paralela s a una recta r (Ilust. 16 derecha), se trazan por A y A1 sus proyecciones s y s1 paralelas a r y r1 respectivamente.

2.6. Paralelismo entre planos Dos planos son paralelos si al menos dos de sus trazas homónimas son paralelas. Para trazar por el punto A un plano β paralelo al plano α (Ilust. 16 derecha), se traza una horizontal de plano h que pase por A. Sus proyecciones directa h y horizontal h1 pasarán por A y A1 y serán paralelas a α1. Obtenida Vh la traza β2 del plano β pasará por él y será paralela a α2, y la horizontal β1 concurrirá con ella en el eje X y será paralela a α1 y h1.

2.7. Representación de polígonos situados en planos paralelos a los coordenados En el sistema isométrico sólo se pueden leer o llevar medidas directas (sin abatimientos) sobre rectas paralelas a los ejes axonométricos. Por ello, la medida de segmentos situados en posición oblicua a los ejes coordenados se debe referir a las de segmentos paralelos a los ejes. Así pues: Para representar en isométrico un polígono situado en un plano paralelo a un plano coordenado se traza un rectángulo cuyos lados contengan a sus vértices (Ilust. 17). La perspectiva de la figura formada por dicho rectángulo y los vértices a él referidos, determina la del polígono. Si quedaran vértices del polígono sin referir, se completará la figura mediante paralelas a los lados que pasen por ellos. Si se trata de una circunferencia se traza un cuadrado circunscrito y sus paralelas medias (Ilust. 18). La perspectiva del conjunto es una elipse definida por dos diámetros conjugados y las tangentes en sus extremos. Las medidas se llevan sobre paralelas a los ejes multiplicadas por el coeficiente de reducción, pero como en isométrico los coeficientes de los tres ejes son iguales, es posible transportar las medidas reales sin que la perspectiva sufra más distorsión que una modificación de su escala.

228

2.8. Perspectiva isométrica de un hexágono situado en un plano paralelo al plano XY a S

b E

a D

R

c F

C

c P

A

B

Q

Z 0,816 c

S

0,816 c

0,816 a

E

Z

F α3

α3

0,816 a 0,816 b

P

α2

α2

R

O

A

C

B Q E1

F1

O

Y

D1

X

A1 X

B1

C1

Ilustración 17

Sea el hexágono regular ABCDEF que se desea situar sobre el plano α, en el sistema isométrico dado (Ilust. 17). Se traza el rectángulo PQRS de modo que sus lados contengan los vértices del hexágono dado. Se sitúa el rectángulo y los vértices contenidos en sus lados sobre __ el plano α. __ __ Para ello se transportan las dimensiones reducidas __ de __ los segmentos SE , ED, DR sobre la traza α2, y las de los de los segmentos SF y FP sobre la traza α3. Mediante paralelas a las trazas quedan determinados los vértices del cuadrado y del hexágono, que unidos definen su perspectiva isométrica. Al ser α proyectante, las proyecciones axonométricas verticales coinciden con las trazas α2 y α3, y para obtener la horizontal se utiliza el ortoedro de referencia de cada vértice. 229

10

UNIDAD

AXONOMETRÍA ORTOGONAL: ISOMÉTRICO Y DIN-5

2.9. Perspectiva isométrica sin reducción de una circunferencia situada en un plano paralelo al plano XZ S

B

R

ESCALA 1:1 r

C

D

r

ESCALA 1:0,816 Z

P

Q

A r

r

B2

α3

Z

S r

D2

B

α3

R

r

D

C2

O A2

O C

P Y

X

A

X Y

Q

r α1

r

α1

Ilustración 18

Sea α el plano y r el radio de la circunferencia (Ilust. 18). Se llevan sobre cada una de las trazas α1 y α3 dos segmentos iguales al radio r, sin reducir y se trazan por sus extremos paralelas a ellas. Estas determinan dos diámetros conjugados AB y CD de una elipse, que es la perspectiva isométrica sin reducción de la circunferencia. Las proyecciones axonométricas horizontal y vertical segunda de los diámetros coinciden con las trazas α1 y α3. La vertical primera se obtiene mediante los ortoedros de referencia de sus extremos. Las elipses se construyen mediante haces proyectivos según se detalla para la mitad ADB. Es suficiente con indicar que se trata de una perspectiva sin reducción, pero si no se hace así, se modificaría la escala del dibujo multiplicando el denominador por 0,816.

230

3. Sistema dimétrico 3.1. Sistema dimétrico normalizado Z’

Dimétrico

Z’

DIN-5

C

(Z) u

(O)

Z’

uz

Y’

uy O’

X’

(X) ux

B

A

Y’

X’

X’

δ

ρ=σ

Y’

(X) (Y)

ρ=σ

cX = cZ

u

u (O)

Ilustración 19

En el sistema dimétrico dos de los ángulos que forman los ejes axonométricos son iguales, asi sucede con los ángulos X ’O’Y ’ e Y ’O’Z ’ en la Ilust. 19 izquierda. Los ejes X ’, Z ’, que determinan el ángulo distinto X ’O’Z ’, tienen unidades reducidas ux, uz iguales y coeficientes de reducción cx, cz también iguales. De entre los infinitos dimétricos que cumplen dichas condiciones las normas DIN5 y UNE 1-031-75-B proponen aquel cuyas unidades reducidas guardan la proporción cy u x uz u y c c = = , de donde x = z = (Ilust. 19 derecha). 2 2 1 2 2 1 Los coeficientes de reducción están relacionados mediante la expresión c x + c y 2 + c x 2 = 2 , sustituyendo los valores de c y y c z se obtiene la expresión 2

2

cx

2

2 2 2 ⎛c ⎞ + ⎜ x ⎟ + c x 2 = 2 que permite obtener los valores c x = c z = , cy = . 3 3 ⎝ 2 ⎠

3.2. Relaciones métricas en el DIN - 5 En la Ilust. 20 se han dibujado unos ejes DIN-5, la traza AC del triángulo de las trazas y el abatimiento de los ejes X, Z. Si llamamos m a las longitudes iguales A(O), _ C(O), la hipotenusa AC del triángulo rectángulo A(O)C será m√2 . Además, la longitud real m, multiplicada por el coeficiente de reducción cx = cz, dará las longitudes 231

UNIDAD

10

AXONOMETRÍA ORTOGONAL: ISOMÉTRICO Y DIN-5

2 2 reducidas AO ' = O ' C = m . Si dividimos los tres lados del triángulo rectángulo A(O)C 3 _ entre √2 obtenemos otro semejante de lados m, 2/3 m, 2/3 m, que facilita la construcción de los ejes.

Z’ (Z)

C

(O)

m

Z’ C

(X) 2 √2 m 3

O’

m√2

m

2m 3

2 √2 m 3

O’ A

m 2m 3 A

X’

X’

Y’ Ilustración 20

3.3. Construcción de los ejes del DIN-5 Z’ C

C

n

n O’

O’ X’

n

A

A Y’ Ilustración 21

232

X’

Se traza una semirrecta vertical de origen C y se transportan sobre ella tres segmentos iguales n (Ilust. 21 izquierda). La segunda división es el centro de los ejes axonométricos O’. El extremo A, de la traza CA, es el punto de corte de los arcos de centros O’, C y radios 2n, 3n, respectivamente. Dibujados los ejes axonométricos Z ’=O ’C y X ’=O ’A (Ilust. 21 derecha) el tercer eje Y’ es la mediatriz de la traza CA.

Recuerda U El sistema isométrico utiliza un triedro de referencia formado por tres ejes coordenados X, Y, Z, tres planos coordenados XY, XZ, YZ y el origen O. U Las proyecciones ortogonales del objeto sobre los planos coordenados se llaman horizontal, vertical primera y vertical segunda. U La proyección del objeto en el plano del cuadro es su perspectiva isométrica. U La proyección ortogonal de las proyecciones horizontal, vertical primera y vertical segunda en el cuadro son sus proyecciones axonométricas. U La proyección de los ejes coordenados en el plano del cuadro son los ejes axonométricos. U Los lados del triángulo de las trazas del plano del cuadro son perpendiculares a los ejes axonométricos. U Los coeficientes de reducción son las razones entre las unidades reducidas y la unidad de longitud empleada. En isométrico su valor es 0,816 en los tres ejes. U A partir de dos cualesquiera de las proyecciones de un punto se pueden obtener las otras dos mediante el ortoedro de referencia. U Para obtener la perspectiva isométrica de figuras planas situadas en planos paralelos a los coordenados, se encajan en rectángulos, de modo que la perspectiva de éstos determine la suya.

233

10

UNIDAD

AXONOMETRÍA ORTOGONAL: ISOMÉTRICO Y DIN-5

Actividades

Z

1. Se dan las proyecciones directa y primera de la recta r. Obtener las demás proyecciones, las trazas y dibujar sus partes vistas y ocultas.

O

r r1

Y

X

Z A β2 α2

2. Trazar la paralela a los planos α y β que pasa por el punto A.

α3

Y

O

X

β1

A1

α1

3. Hallar las trazas del plano definido por la recta r y el punto A.

4. Se da el croquis de una piscina. Obtener su perspectiva isométrica sin reducción, situándola en el plano XY.

Z

26,8 6,1

r

O

A1

Y

14,6

A

X

29,2

ESCALA 1:1000 COTAS EN M

r1

234