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• JEFFRY COCHACHE RAMIREZ

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DIVERSOS PROBLEMAS DE P.L.

Dr. DAVID INDIGOYEN RAMÍREZ SEMESTRE 2020 - I

DIVERSOS PROBLEMAS DE PROGRAMACIÓN LINEAL EJEMPLO 1) La fábrica de embutidos Huaychulo S.R.L., dispone de dos diferentes tipos de carne; tiene 1500 kg de carne de cerdo y 1000 kg de carne de res, también dispone de 800 h-h para efectuar el trabajo. La demanda que ha estimado es la siguiente: cuando menos 40 kg de salchicha, 130 kg de paté, 30 kg de hot-dog y no más de 10 kg de mortadela. Las cantidades de ambas materias primas (carne de cerdo y res), y las horas hombre que requiere la elaboración de cada unidad de artículo, están indicadas en el cuadro adjunto:

Artículo

Salchicha Paté Hot-dog Mortadela

TOTAL

Tipo de carne Cerdo Res

h-h

Demanda estimada

Utilidades por unidad (S/)

40 130 30 10

12 5 15 10

5 1 9 12

2 3 4 1

3 2 5 10

1500

1000

800

En el cuadro también se observa las utilidades que reporta la venta de cada unidad de artículo producido por ésta empresa. El problema que surge es: ¿Qué cantidad de cada artículo debe fabricar la empresa industrial?

Solución

El problema debe ser planteado, para ello primeramente debemos encontrar las variables de decisión: ¿Cuáles son estas variables? Será necesario, identificar la cantidad de cada producto que debe elaborarse, entonces estas variables serán: 𝑥1 = 𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑘𝑔 𝑑𝑒 𝑠𝑎𝑙𝑐ℎ𝑖𝑐ℎ𝑎 𝑞𝑢𝑒 𝑑𝑒𝑏𝑒𝑛 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑐𝑖𝑟𝑠𝑒 𝑥2 = 𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑘𝑔 𝑑𝑒 𝑠𝑎𝑙𝑐ℎ𝑖𝑐ℎ𝑎 𝑞𝑢𝑒 𝑑𝑒𝑏𝑒𝑛 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑐𝑖𝑟𝑠𝑒 𝑥3 = 𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑘𝑔 𝑑𝑒 𝑠𝑎𝑙𝑐ℎ𝑖𝑐ℎ𝑎 𝑞𝑢𝑒 𝑑𝑒𝑏𝑒𝑛 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑐𝑖𝑟𝑠𝑒 𝑥4 = 𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑘𝑔 𝑑𝑒 𝑠𝑎𝑙𝑐ℎ𝑖𝑐ℎ𝑎 𝑞𝑢𝑒 𝑑𝑒𝑏𝑒𝑛 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑐𝑖𝑟𝑠𝑒

Ahora, como siguiente paso debemos encontrar la F.O. El problema nos informa las utilidades obtenidas por cada producto, esto nos conduce a la siguiente función de utilidades: 𝑍 = 12𝑥1 + 5𝑥2 + 15𝑥3 + 10𝑥4 El máximo de esta función de utilidades está condicionado por las restricciones de recursos y de demandas. Así tenemos: El total de h-h invertidas en la producción de los diferentes productos deben ser menor o igual a 800 h-h. 3𝑥1 + 2𝑥2 + 5𝑥3 + 10𝑥4 ≤ 800 Para el planteamiento de cada materia prima a utilizarse, utilizamos el mismo razonamiento. 5𝑥1 + 𝑥2 + 9𝑥3 + 12𝑥4 ≤ 1500 (𝑘𝑔 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑟𝑛𝑒 𝑑𝑒 𝑐𝑒𝑟𝑑𝑜) 2𝑥1 + 3𝑥2 + 4𝑥3 + 𝑥4 ≤ 1000 (𝑘𝑔 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑟𝑛𝑒 𝑑𝑒 𝑟𝑒𝑠)

Restricciones de demanda: La cantidad de kg de salchicha a elaborarse, por la empresa, debe ser cuando menos de 40 kg, es decir, igual o mayor que 40. 𝑥1 ≥ 40 (kg de salchicha a elaborarse) 𝑥2 ≥ 130 (kg de paté a elaborarse) 𝑥3 ≥ 30 (𝑘𝑔 𝑑𝑒 ℎ𝑜𝑡 − 𝑑𝑜𝑔 𝑎 𝑒𝑙𝑎𝑏𝑜𝑟𝑎𝑟𝑠𝑒) 𝑥4 ≤ 10 (𝑘𝑔 𝑑𝑒 𝑚𝑜𝑟𝑡𝑎𝑑𝑒𝑙𝑎 𝑎 𝑒𝑙𝑎𝑏𝑜𝑟𝑎𝑟𝑠𝑒) Por último la CNN

Con esto queda planteado el problema como el siguiente P.L.: 𝑍 = 12𝑥1 + 5𝑥2 + 15𝑥3 + 10𝑥4 s.a: 3𝑥1 + 2𝑥2 + 5𝑥3 + 10𝑥4 ≤ 800 (h-h) 5𝑥1 + 𝑥2 + 9𝑥3 + 12𝑥4 ≤ 1500 (𝑘𝑔 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑟𝑛𝑒 𝑑𝑒 𝑐𝑒𝑟𝑑𝑜) 2𝑥1 + 3𝑥2 + 4𝑥3 + 𝑥4 ≤ 1000 (𝑘𝑔 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑟𝑛𝑒 𝑑𝑒 𝑟𝑒𝑠) 𝑥1 ≥ 40 (kg de salchicha a elaborarse) 𝑥2 ≥ 130 (kg de paté a elaborarse) 𝑥3 ≥ 30 (𝑘𝑔 𝑑𝑒 ℎ𝑜𝑡 − 𝑑𝑜𝑔 𝑎 𝑒𝑙𝑎𝑏𝑜𝑟𝑎𝑟𝑠𝑒) 𝑥4 ≤ 10 (𝑘𝑔 𝑑𝑒 𝑚𝑜𝑟𝑡𝑎𝑑𝑒𝑙𝑎 𝑎 𝑒𝑙𝑎𝑏𝑜𝑟𝑎𝑟𝑠𝑒) CNN

EJEMPLO 2) Una empresa de máquinas agroindustriales, fabrica ollas a presión y autoclaves; ésta empresa consta de los departamentos que a continuación se enumeran: i) Estampado de planchas metálicas ii) Armado de modelos iii) Montaje de ollas a presión iv) Montaje de autoclaves El Departamento 1 puede estampar, por mes, las planchas necesarias para 25000 ollas a presión o 35000 autoclaves, o las correspondientes combinaciones de ollas a presión y autoclaves. El Departamento 2 puede armar, por mes, 33333 modelos de ollas a presión ó 16667 modelos de autoclaves, o las correspondientes combinaciones de modelos de ollas a presión y autoclaves. El Departamento 3 puede montar y terminar 22500 ollas a presión y 15000 autoclaves el Departamento 4. Si cada olla a presión deja una utilidad de 30 dólares y cada autoclave de 50 dólares, ¿Qué cantidad de ollas a presión y autoclaves deben producirse? Formule el problema como uno de P. L. Solución

Variables de decisión: Sea 𝑋1 el número de ollas a presión que deben producirse, y 𝑋2 el número de autoclaves que deben producirse. Hallando la función de utilidad Cómo cada olla a presión deja una utilidad de 30 dólares y cada autoclave 50 dólares, entonces la función de utilidad será: 𝒁 = 𝟑𝟎𝑿𝟏 + 𝟓𝟎𝑿𝟐

Encontrando las distintas restricciones: Las restricciones se refieren a la capacidad de cada uno de los departamentos. El 1er. Departamento puede estampar planchas metálicas para 25000 ollas a presión ó 35000 autoclaves, o las correspondientes combinaciones de ollas a presión y autoclaves. Suponiendo que la capacidad del 1er. Departamento sea 1, la producción de 5000 ollas a presión ocupa 12500

5000 25000

o sea la quinta

parte de la capacidad del departamento 1; ahora, si llegase a fabricar 25000 o sea la mitad de la capacidad del departamento 1.

De esto podemos inferir que al producir una olla a presión se ocupa presión, se empleará

𝑿𝟏 𝟐𝟓𝟎𝟎𝟎

1 25000

de la capacidad. Entonces, si se producen 𝑋1 ollas a

de la capacidad del departamento 1.

De similar manera, se hace la deducción para el mismo departamento; pero con el otro producto (autoclave). 𝑿𝟐 La fabricación de autoclaves ocupara 𝟑𝟓𝟎𝟎𝟎 𝒅𝒆𝒍 𝒎𝒆𝒏𝒄𝒊𝒐𝒏𝒂𝒅𝒐 𝒅𝒆𝒑𝒂𝒓𝒕𝒂𝒎𝒆𝒏𝒕𝒐.

Sin embargo, será una necesidad producir una combinación de ollas a presión y autoclaves y no exclusivamente unos u otros. Entonces estableciendo una relación matemática, se tendrá: 𝑿𝟏 𝑿𝟐 + ≤𝟏 𝟐𝟓𝟎𝟎𝟎 𝟑𝟓𝟎𝟎𝟎 El razonamiento para el departamento 2 (armado de modelos), es muy similar por lo que damos a conocer la relación matemática para esta restricción: 𝑿𝟏 𝑿𝟐 + ≤𝟏 𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑 𝟏𝟔𝟔𝟔𝟕

El departamento 3 puede montar y terminar 22500 ollas a presión por mes. Entonces: 𝑋1 ≤ 22500 El departamento 4 puede montar y terminar 15000 autoclaves, es decir: 𝑋2 ≤ 15000

Por tanto el problema de P.L., queda formulado así: 𝑴á𝒙 𝒁 = 𝟑𝟎𝑿𝟏 + 𝟓𝟎𝑿𝟐 s.a.: 𝑿𝟏 𝑿𝟐 + ≤𝟏 𝟐𝟓𝟎𝟎𝟎 𝟑𝟓𝟎𝟎𝟎 𝑿𝟏 𝑿𝟐 + ≤𝟏 𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑 𝟏𝟔𝟔𝟔𝟕 𝑋1 ≤ 22500 𝑋2 ≤ 15000

𝑋1 , 𝑋2 ≥ 0

EJEMPLO 3) Un fabricante de gasolina para aviación vende dos clases de combustibles: A y B. El combustible A tiene 25% de gasolina de grado 1, 25% de gasolina de grado 2 y 50% de grado 3. El combustible B tiene 50% de gasolina de grado 2 y 50% de grado 3. Disponible para la producción hay 500 gal/h de grado 1 y 200 gal/h de los grados 2 y 3. Los costos son de 30 ctvs. ($0,30) por galón de grado 1, $0,60 por galón de grado 2 y $ 0,50 por galón de grado 3. La clase A puede venderse a $ 0,75 por galón, mientras que la clase B alcanza $ 0,90/gal. ¿Qué cantidad puede producirse de cada combustible? Formule el problema como uno de P.L. Solución

Transfiriendo los datos del problema a un cuadro de diálogo.

GASOLINA

COMBUSTIBLE A

B

Grado 1 Grado 2 Grado 3

0.25 0.25 0.50

0.50 0.50

Precio ($/gal)

0.75

0.90

Costo ($/gal) Disp. (gal/h) 0.30 0.60 0.50

500 200 200

Variables de decisión: Sea 𝑋1 el número de galones de combustible A que deben producirse, y 𝑋2 el número de galones de combustible B que deben producirse.

Hallando la función de utilidad Cómo la fabricación de gasolina, en la fábrica demanda costos de producción e ingresos, entonces empezaremos hallando los costos de producción, la cual es: La cantidad de gasolina de cada grado a usarse será: Para el grado 1: 0.25 𝑋1 Para el grado 2: 0.25 𝑋1 + 0.50 𝑋2 y Para el grado 3: 0.50 𝑋1 + 0.50 𝑋2 Las restricciones corresponden a la limitación que se tiene en el uso de cada grado de gasolina con Siendo el costo total: respecto a la cantidad disponible; es decir: 0.30(0.25 𝑋1 ) + 0.60(0.25 𝑋1 + 0.50 𝑋2 ) + 0.50 (0.50 𝑋1 + 0.50 𝑋2 ) 0.25 𝑋1 ≤ 500 Simplificando tenemos: 0.475 𝑋1 + 0.55 𝑋2 0.25 𝑋1 + 0.50 𝑋1 ≤ 200 Por otro lado, el ingreso por concepto de las ventas será: 0.75 𝑋1 + 0.90 𝑋2 0.50 𝑋1 + 0.50 𝑋2 ≤ 200 La F.O. será la suma de las contribuciones (Utilidad de cada producto) Máx Z = 0.275 𝑿𝟏 + 0.35 𝑿𝟐

𝑋1 ≥ 0; 𝑋2 ≥ 0

EJEMPLO 4) En un almacén de frutas del Mercado Mayorista de Huancayo; hay 800 kg de naranjas, 800 kg de manzanas y 500 kg de plátanos. Para su venta se hacen dos tipos de bolsas (A y B). La bolsa A contiene 1 kg de naranjas, 2 kg de manzanas y 1 kg de plátanos; La bolsa B se compone de 2 kg de naranjas, 1 kg de manzanas y 1 kg de plátanos. El beneficio por kilogramo que se obtiene con el lote A es de 1200 u.m. y con el lote B de 1400 u.m. Formular el problema como uno de P.L.

EJEMPLO 5) EUn frutero necesita cuando menos; 16 cajas de naranjas, 5 de plátanos y 20 de manzanas. Dos mayoristas pueden suministrarle para satisfacer sus necesidades, pero sólo venden la fruta en contenedores completos. El mayorista A envía en cada contenedor 8 cajas de naranjas, 1 de plátanos y 2 de manzanas. El mayorista B envía en cada contenedor 2 cajas de naranjas, una de plátanos y 7 de manzanas. Sabiendo que el mayorista A se encuentra a 150 km de distancia y el mayorista B a 300 km, calcular cuántos contenedores habrá de comprar a cada mayorista, con objeto de ahorrar tiempo y dinero, reduciendo al mínimo la distancia de lo solicitado. Solución

Variables de decisión: Sea 𝑋1 el número de contenedores a comprar al mayorista A, y 𝑋2 el número de contenedores a comprar al mayorista B. 𝑌𝑖 = 1 Si se le compra al proveedor i, i = A, B 𝑌𝑖 = 0 En caso contrario Encontrando la F.O. En este problema, debemos reducir al mínimo la distancia con el objeto de ahorrar tiempo y dinero, entonces tenemos: 𝑴í𝒏 𝑾 = 𝟏𝟓𝟎 𝒀𝟏 + 𝟑𝟎𝟎 𝒀𝟐 Las restricciones serán: i) Debido a la demanda 8𝑋1 + 2𝑋2 ≥ 16 1𝑋1 + 1𝑋2 ≥ 5 2𝑋1 + 7𝑋2 ≥ 20 ii) En base a cuál de los mayoristas deben de proover:

𝑋1 ≤ 𝑀𝑌𝐴 𝑋2 ≤ 𝑀𝑌𝐵 CNN M es un valor numérico muy muy grande.

EJEMPLO 6) Se hace pedido a una papelería de 800 rollos de papel corrugado de 30 pulgadas de ancho, 500 rollos de 45 pulgadas de ancho y 1 000 de 50 pulgadas. Si la papelería tiene solo rollos de 108 pulgadas de ancho. Sabiendo que el máximo desperdicio aceptable de papel por rollo es de 22 pulgadas, ¿Cómo deben cortarse los rollos para surtir el pedido con el mínimo desperdicio de papel? Solución

Sea Xj = El número de rollos cortados de diferentes maneras, j = 1,2, … , 5 3

18

𝑋2

𝑋1 18

13

𝑋3

𝑋4 8

𝑋5

Observando el gráfico y entendiendo que debemos minimizar el desperdicio, entonces se formula el sgte. P.L.: 𝑀í𝑛 𝑊 = 18𝑋1 + 3𝑋2 + 18𝑋3 + 13𝑋4 + 8𝑋5 s.a.: 3𝑋1 + 2𝑋2 = 800 1𝑋2 + 2𝑋3 + 1𝑋4 = 500 1𝑋4 + 2𝑋5 = 1000 𝑋𝐽 ≥ 0, ∀𝑗 = 1,2, … , 5

EJEMPLO 7) Se procesan cuatro productos sucesivos en dos máquinas. Los tiempos de manufactura en horas por unidad de cada producto, se tabulan a continuación para las dos máquinas. MÁQUINAS Molino de martillos Zaranda vibratoria

Maíz 2 3

TIEMPO POR UNIDAD (h) Habas Arvejas 3 4 2 1

Frijol 2 2

El costo total de producir una unidad de cada producto está basado directamente en el tiempo de máquina; suponga que el costo por hora para las máquinas 1 y 2 es de $10 y $15 respectivamente. Las horas totales presupuestadas para todos los productos en las máquinas 1 y 2 son 500 y 380. Si el precio de venta por unidad para los productos 1, 2, 3 y 4 es $ 65, $70, $55 y $45 respectivamente formule el problema con un modelo de programación lineal (para maximizar el beneficio neto total). Solución

Sea 𝑿𝒋 el número de unidades producidas de j, (j = (1, 2, 3, 4)

INGRESOS = 65X1 + 70X2 + 55X3 + 45X4

El P.L. está constituido por las siguientes restricciones: Condiciones de capacidad 2X1 + 3X2 + 4X3 + 2X 4 ≤ 500 3X1 + 2X2 + X3 + 2X4 ≤ 380

𝐂𝐎𝐒𝐓𝐎𝐒 =

COSTOS ($) × HORAS UTILIZADAS 𝐻𝑂𝑅𝐴 MÁQUINA

COSTOS= 10 2X1 + 3X2 + 4X3 + 2X4 + 15 3X1 + 2X2 + X3 + 2X4 COSTOS = 65X1 + 60X 2 + 55X3 + 50X 4 UTILIDADES = INGRESO – COSTOS

UTILIDADES = 10X2 − 5X4 Por tanto el P.L. tendrá la forma siguiente:

𝑀𝑎𝑥𝑍 = 10𝑋2 − 5𝑋4 𝑠. 𝑎: 2𝑋1 + 3𝑋2 + 4𝑋3 + 2𝑋4 ≤ 500 3𝑋1 + 2𝑋2 + 𝑋3 + 2𝑋4 ≤ 380 𝑋𝑗 ≥ 0 ; 𝑗 = 1,2, … , 4

EJEMPLO 8) Una empresa produce tres modelos (I, II y III) de un cierto producto. Para ello usa dos tipos de materiales (A y B) de los cuales hay disponibles 4000 y 6000 unidades, respectivamente. Los requerimientos de materiales por unidad de los 3 modelos son dados a continuación: MATERIALES A B

Requerimiento por unidad del modelo I

II

III

2 4

3 2

5 7

El tiempo de labor de cada unidad del modelo I es el doble del modelo II y tres veces el del modelo III. La fuerza laboral de la factoría puede producir el equivalente de 700 unidades del modelo I. El estudio de mercado indica que la demanda mínima de los tres modelos es de 200, 200 y 150 unidades, respectivamente. Sin embargo, los ratios de los números de unidades producidas deben ser iguales a 3:2:5. Asuma que las utilidades por unidad de los modelos I, II y III son 30, 20 y 50 dólares. Formule el problema como uno de P.L. Solución:

EJEMPLO 9) A un joven practicante de Ingeniería, se le pidió que entretuviese a un visitante (gerente general de la oficina principal ubicado en New York) de su empresa durante 1 hora y media. Él pensó que sería una excelente idea que el huésped se embriague. Se le dió al practicante la suma de S/ 650, 00. Al joven practicante le comunicaron que al visitante le gustaba mezclar sus tragos, pero que siempre bebía menos de 8 vasos de cerveza, 10 vasos de ginebras, 12 vasos de whiskys y 24 vasos de martinis. El tiempo que empleaba para beber era de 10 min por cada vaso de cerveza, 5 min por cada vaso de ginebras, 7 min y 4 min por cada vaso de whisky y Martini. Los precios de las bebidas eran: Cerveza S/ 1; el vaso de ginebra S/ 2; el vaso de whisky S/ 4,50 y el vaso de cada Martini S/ 3,50. El joven practicante pensaba que el objetivo era maximizar el consumo alcohólico durante la hora y media que tenía para para entretener al huésped. El joven practicante como era estudiante de Ingeniería Química, realizó los ensayos químicos cuantitativos y determinó los grados alcohólicos por cada vaso de 5, 25, 40, 30 de las distintas bebidas. El visitante bebía siempre un mínimo de 2 vasos de whisky. Formule el problema como uno de P.L. Solución

EJEMPLO 10) La empresa “JUVALMA” S.A. produce tornillos y clavos. La materia prima para los tornillos cuesta S/ 12 por unidad, mientras que la materia prima para los clavos cuesta S/ 2,50. Los clavos requieren dos horas de mano de obra en el departamento 1 y tres horas en el departamento 2, mientras que los tornillos requiere cuatro horas en el departamento 1 y dos horas en el departamento 2. El jornal por horas en ambos departamentos es de S/ 2. Si ambos productos se venden a S/ 18; y el número de horas de mano de obra disponibles por semana en los departamentos es de 160 y 180 respectivamente. Formule el problema como uno de P.L. Solución