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• G'iuseppe T'amayo

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DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD VARIABLE ALEATORIA CONTINUA: Es aquella que puede tomar cualquier valor entre dos números prefijados. Ejemplo: el peso de una persona, la estatura de una persona, la longitud de una cuerda, el tiempo en recorrer una distancia entre otros. VARIABLE ALEATORIA DISCRETA: Es aquella que sólo puede tomar algunos valores entre dos números dados. Ejemplo: el numero en que cae un dado al lanzarlo, el número de países en un congreso internacional, el número de personas que entran a un banco, el número de mensajes que entran por hora en un correo electrónico entre otros. DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD CONTINUA: DISTRIBUCIÓN NORMAL: Es una distribución de probabilidad continua, denominada también método aproximado. Esta distribución es la más utilizada para variables aleatorias continuas, es decir, aquellas para las cuales es imposible enumerar todos los eventos posibles. Asimismo, esta distribución permite resolver en forma aproximada los problemas propios de las distribuciones binomial o de Poisson, por lo que su importancia en probabilidad y estadística es fundamental.

Fue el matemático alemán Kart Fiedrich Gauss (1777-1855) quien presentó las leyes fundamentales de la distribución normal de probabilidad, de manera que esta se conoce también como distribución gaussiana y su curva se conoce también como campana de Gauss.

REPRESENTACIÓN GRAFICA: La distribución normal se representa gráficamente mediante una curva en forma de campana, llamada curva de probabilidad, campana de Gauss o curva de error. Es de gran importancia en la inferencia estadística.

El área bajo la curva normal es igual a 1 o al 100%. La media aritmética se encuentra localizada en el centro de la curva y divide la curva en dos partes guales, es decir; la curva es simétrica con respecto a la media aritmética

El área bajo la curva normal entre dos ordenadas x= a y x = b, siendo a 𝑎} = 1 - P{𝑃 ≤ 𝑎}

P{𝑍 > 1.5} = 1 - P{𝑍 ≤ 1.5} = 1 – 0.9332 = 0.0668 = 6.68% 3) P{𝑍 ≤ −𝑎} = 1 - P{𝑍 < 𝑎}

Ejemplo: P{𝑍 ≤ −0.68} = 1 - P{𝑍 < 0.68} = 1- 0.7517 = 0.2483 0 24.83% 4) P{𝑍 < −𝑎} = P{𝑍 ≤ 𝑎}

Ejemplo:

5) P{𝑎 < 𝑍 < 𝑏} = P{𝑍 < 𝑏} - P{𝑍 < 𝑎}

Ejemplo:

P{0.45 < 𝑍 < 1.23} = P{𝑍 < 1.23} - P{𝑍 < 0.45} = 0.9082 – 0.6736 =0.2346= 23.46% 6) P{−𝑏 < 𝑍 < −𝑎} = P{𝑎 < 𝑍 < 𝑏} = P{𝑍 < 𝑏} - P{𝑍 < 𝑎}

Ejemplo:

P{−1.8 < 𝑍 < −0.86} = P{0.86 < 𝑍 < 1.8} = P{𝑍 < 1.8} - P{𝑍 < 0.86} = =0.9641 – 0.8051 = 0.159 0 15.9%

7)

Ejemplo: P{−1.83 < 𝑍 > 0.96} = P{𝑍 < 0.96} - [1 − 𝑃{𝑍 < 1.83}] = = 0.8315 – (1-0.9664) = 0.8315 -0.0336 = = 0.7979= 79.79%

PROBLEMAS DE APLICACIÓN 1. El suministrador de proyectores (video beam) asegura que el tiempo de vida medio de las lamparas es de 1,500 horas con una desviación estándar de 200 horas, si la distribución de vida de las lamparas sigue una distribución normal. Calcular la probabilidad de:

a) Seleccionar una lampara con un periodo de vida de 1,500 a 1,700 horas. P (1,500 ≤ X ≤1,700).

-3σ -2σ -1σ μ

1σ 2σ 3σ

Con la segunda tabla la solución seria tipificando los valores de x

𝑧1 =

𝑋 − 𝜇 1500 − 1500 0 = = =0 𝜎 200 200

𝑧2 =

𝑋 − 𝜇 1700 − 1500 200 = = =1 𝜎 200 200

Entonces: Con la segunda tabla la solución seria tipificando los valores de x P{0 < 𝑍 < 1} = 0.3413 = 34.13% Con la primera tabla P{0 < 𝑍 < 1} = P{𝑧 > 1} - P{𝑧 < 0}= 0.8413-0.5 = 0.3413 =34.13% b) Seleccionar una lampara con un periodo de vida de 1,300 a 1,700 horas. P (1300 ≤ X ≤1,700). Los valores de 1,300 y 1700 horas abarcan una parte a la izquierda de la media de la población y otra parte a la derecha de esta misma media

𝑧1 =

𝑋 − 𝜇 1300 − 1500 −200 = = 𝜎 200 200 = −1

𝑧2 =

𝑋 − 𝜇 1700 − 1500 200 = = 𝜎 200 200 =1

Con la primera tabla: P{−1 < 𝑍 < 1} = P{𝑍 < 1} - [1 − 𝑃{𝑍 < 1}] = 0.8413 – (1-0.8413) =0.8413-0.1587 =0.6826 Con la segunda tabla

P (–1 ≤ Z ≤1) = 0.3413 + 0.3413 = 0.6826

c) Seleccionar una lampara con un periodo de vida mayor a 1,850 horas. P (X ≥ 1,850).

𝑍=

𝑋 − 𝜇 1850 − 1500 −350 = = = 1.75 𝜎 200 200

Con la primera tabla P{𝑍 > 1.75} = 1 - P{𝑍 ≤ 1.75} = =1 – 0.9599 = 0.0401 = 4.01%

Con la segunda tabla P (0 ≤ Z ≤ 1.75) = 0.4599 P (Z ≥ 1.75) = 0.5000 – 0.4599 = 0.0401