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Distribuciones continuas de Probabilidad ENERO 2016 Fuente: WALPOLE, RONALD E.; MYERS, RAYMOND H.; MYERS, SHARON L. Probabilidad y estadística para ingeniería y ciencias/ Prentice-Hall Hispanoamericana. México. 9a.

• Distribución uniforme continua • Una de las distribuciones continuas mas simples de la estadística es la distribución uniforme continua. Esta distribución se caracteriza por una función de densidad que es “plana”, por lo cual la probabilidad es uniforme en un intervalo cerrado, digamos [A, B].

Distribución uniforme La función de densidad de la variable aleatoria uniforme continua X en el intervalo [A, B] es

La función de densidad forma un rectángulo con base B – A y altura constante 1/B-A . Como resultado, la distribución uniforme a menudo se conoce como distribución rectangular. Sin embargo, observe que el intervalo no siempre es cerrado: [A, B]; también puede ser (A, B). En la figura se muestra la función de densidad para una variable aleatoria uniforme en el intervalo [1, 3].

Resulta sencillo calcular las probabilidades para la distribución uniforme debido a la naturaleza simple de la función de densidad. Sin embargo, observe que la aplicación de esta distribución se basa en el supuesto de que la probabilidad de caer en un intervalo de longitud fi ja dentro de [A, B] es constante.

MEDIA Y VARIANZA DE UNA DISTRIBUCION UNIFORME SON:

Distribución normal

• La distribución de probabilidad continua mas importante en todo el campo de la estadística es la distribución normal. Su grafica, denominada curva normal, es la curva con forma de campana. Describe de manera aproximada muchos fenómenos que ocurren en la naturaleza, la industria y la investigación. Por ejemplo, las mediciones físicas en áreas como los experimentos meteorológicos, estudios de la precipitación pluvial y mediciones de partes fabricadas a menudo se explican mas que adecuadamente con una distribución normal. Además, los errores en las mediciones científicas se aproximan muy bien mediante una distribución normal. En 1733, Abraham DeMoivre desarrollo la ecuación matemática de la curva normal, la cual sentó las bases sobre las que descansa gran parte de la teoría de la estadística inductiva. La distribución normal a menudo se denomina distribución gaussiana en honor de Karl Friedrich Gauss (1777-1855), quien también derivo su ecuación a partir de un estudio de errores en mediciones repetidas de la misma cantidad

• Entonces Una variable aleatoria continua X que tiene la distribución en forma de campana se denomina variable aleatoria normal. La ecuación matemática para la distribución de probabilidad de la variable normal depende de los dos parámetros μ y σ, su media y su desviación estándar, respectivamente. Por ello, denotamos los valores de la densidad de X por n(x; μ, σ).

Distribución normal • La densidad de la variable aleatoria normal X, con media μ y varianza σ 2, es:

• Una vez que se especifican μ y σ, la curva normal queda determinada por completo. Por ejemplo, si μ = 50 y σ = 5, entonces se pueden calcular las ordenadas n(x; 50, 5) para diferentes valores de x y dibujar la curva. En la fi gura 6.3 aparecen dos curvas normales que tienen la misma desviación estándar pero diferentes medias. Las dos curvas son idénticas en forma, pero están centradas en diferentes posiciones a lo largo del eje horizontal.

Áreas bajo la curva normal

• La distribucion de una variable aleatoria normal con media 0 y varianza 1 se llama distribución normal estándar. Como todos los valores de X que caen entre x1 y x2 tienen valores z correspondientes entre z1 y z2, el área bajo la curva X entre las ordenadas x = x1 y x = x2 de la fi gura 6.8 es igual al area bajo la curva Z entre las ordenadas transformadas z = z1 y z = z2.

EJEMPLO • Cierto tipo de bateria de almacenamiento dura, en promedio, 3.0 anos, con una desviación estandar de 0.5 anos. Suponga que la duracion de la bateria se distribuye normalmente y calcule la probabilidad de que una bateria determinada dure menos de 2.3 anos.