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Unidad 2 Actividad 2 Matemáti Distribuciones de probabilidad ca

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-+Instrucciones: La siguiente es una guía de aprendizaje acerca de las distribuciones de probabilidad. Complétala de la manera más detallada posible. Asegúrate de mostrar evidencias del proceso que llevaste a cabo para responder a cada uno de los problemas. Cuando hayas terminado de responder todo el documento, guarda las respuestas y envía el archivo a tu asesor para ser revisado. Guía de Aprendizaje 1. Investiga qué es una distribución de probabilidad, escribe su definición y anota también un ejemplo. Es una función que asigna a cada suceso definido sobre la variable aleatoria la probabilidad de que dicho suceso ocurra, estas pueden ser discretas o continuas. Ejemplo Variable Continua: x-Variable que nos define el diámetro de un engrane en pulgadas x-5.0, 4.99, 4.98, 5.0, 5.01, 5.0, 4.96 Ejemplo Variable discreta: x-Variable que solo toma valores enteros x- 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, ... etc,etc.

2. A continuación te presentamos una tabla donde se muestra una distribución de probabilidad del tiempo de circulación de automóviles. Años 0-1 2-3 4-5 6-7 8-9 10-12 13-16 17-20 21-30 Total

Probabilidad 0.07 0.11 0.15 0.15 0.19 0.26 0.03 0.03 0.02 1

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Realiza una gráfica de barras con estos datos; la escala del eje “x”, correspondería a los años y la escala del eje “y” a las probabilidades.

3. Busca en la carpeta de Recursos de la unidad acerca de la probabilística binomial”:

“Distribución

¿Es continua o discreta? discreta ¿qué características tiene? Son números enteros con solo 2 posible resultados ¿cuáles son sus parámetros? B(n,p) ¿cómo es su gráfica? Una parábola que asciende y después de llegar al punto más alto desciende, ¿Cómo se calcula su probabilidad? Utilizando la función de distribución binominal Proporciona dos ejemplos donde se calcule la probabilidad usando distribución binomial: 1.- Un examen consta de 10 preguntas en las que hay que contestar SI o NO. Si las personas que realicen el examen contestan las preguntas al azar ¿Cuál es la probabilidad de que obtengan 5 preguntas correctas? K=5 P(x=k) = (n k)* pk * qn*k P(x=5)= (10 5) * (0,5)5 *(0,5)10-5 (10 5)= 10/5= 10*9*8*7*6/5*4*3*2*1=252 P(x=5)= 252*(0,5)5 *(0,5)5)= 0,2461 2.-La probabilidad de que un estudiante obtenga el título de licenciatura en Farmacia es 0,3, ¿Cuál es la probabilidad de que un grupo de 7 finalice la carrera? x=7 P(x=k) = (n k)* pk * qn*k P(x=7) = (7 7)*(0,3)7 *(0,7)0=0,0002 Página 2 de 9

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4. Revisa en la carpeta de Recursos de la unidad acerca de la “Distribución normal”. ¿Es discreta o continua? Continua, ¿qué características tiene? Permite representar un margen de valores más amplio, cualquier número real como variable. ¿Cómo son sus valores? Cualquier número real (enteros, decimales,), ¿cómo es su gráfica? Tiene una forma acampana y simétrica respecto de un determinado parámetro estadístico ¿Cuáles son sus parámetros? Cualquier número real ¿qué representa el área bajo la curva? Momento central de la curva. ¿En qué se diferencia de la binomial? Que este tipo de distribución puede abarcar muchos más valores por lo que es más utilizado en más ramos y situaciones. 5. Analiza las características de la distribución de probabilidad binomial y las características de la distribución de probabilidad normal y organiza la información en un cuadro sinóptico.

6. Ejercicios de Cálculo de Probabilidad Binomial a) En una distribución binomial, ¿cuál es la probabilidad de obtener 15 éxitos, si el experimento se realiza 25 veces y la probabilidad de éxito es de 0.42? P(x=15) = (25 15) * (0.42)15 * (0.15) 25*15 (25/15) = 25*24*23*22*21*20*19*18*17*16/15*14*13*12*11*10*9*8*7*6*5*4*3*2*1 P(x=15)= 9.08 = (0.42)15*(0.15)10 =85.806 b) Si la probabilidad de éxito de un experimento aleatorio es de 0.68, realizado 12 veces, calcula la probabilidad p(x=10) P(10) = (1210) (0,6810) (0,322) = (12 2) (0,0211392) (0,032768) = (12 · 11 / 2) · (0,0211392) (0,032768) = 0,0457174 Página 3 de 9

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c) Si en una distribución binomial n=10 y p= 0.7, calcular P(x=7) = C(10, 7)*(0.7)7*(0.3)3

a) p(x ≤ 0.7) (10·9·8 / 6)(0.7)7*(0.3)3 = 120(0.7)7*(0.3)3 = 0.266827932

b) p(x =8) C(10,2)(0.7)8*(0.3)2 = (10·9/2)(0.7)8(0.3)2 = 45(0.7)8(0.3)2 = 0.2334744405

d) En una distribución binomial con parámetros n y p (50, 0.25), calcula la probabilidad P(x=12) a) (x=12) b) (x≤30) e) Para una distribución binomial, encuentra la probabilidad: " k " es el número de aciertos=3 " n" es el número de ensayos=10 "p " es la probabilidad de éxito=0.03

7. Ejercicios de Distribución de Probabilidad Normal (para encontrar la probabilidad, usa la tabla de distribución normal o con software. Revisa el ejemplo que viene más abajo). A) Si Z es una variable normal estándar, calcula la probabilidad de: a) p (1.18≤ z)

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Nota: lo anterior quiere decir ¿encontrar la probabilidad (p) de que el valor de la z estándar, sea mayor o igual a 1.18? b) p (2.3≥ z) c) p (0.5≤ z ≤ 1.5) B) ¿Cuál es el valor de k para que: a) p(k≤ z)= 0.6406 b) p(k≤ z)= 0.9932 C) Siendo Z una variable normal N(0,1), calcula la probabilidad para p(-1.24≤ z) D) Siendo Z una variable normal N(0,1), calcula la probabilidad para p(-1.7≤ z ≤- 0.82) Nota: N(0,1) quiere decir, una distribución normal con media cero y desviación estándar igual a 1 8. Situaciones Prácticas de Distribución de Probabilidad Binomial A) ¿Cuál es la probabilidad de obtener 6 caras al lanzar una moneda 10 veces? B) ¿Cuál es la probabilidad de obtener cuatro veces el número 3 al lanzar un dado ocho veces? C) A usted le interesa averiguar si un niño en particular es capaz de distinguir entre los colores verde y azul. Con ese propósito le muestra al pequeño 5 cubos de madera. Todos los cubos son idénticos, excepto que dos de ellos son verdes y tres azules. Usted ordena de manera aleatoria los cubos en una fila y pide al niño que elija uno de color verde. Una vez que el pequeño lo ha elegido, usted reemplaza el cubo y modifica el orden de los cubos de manera aleatoria. A continuación usted pide al niño que escoja un cubo verde. Este procedimiento se repite hasta que el niño ha realizado 14 selecciones. Si el niño no puede distinguir realmente entre el verde y el azul, ¿Cuál es la probabilidad de que escoja un cubo verde por lo menos 11 veces? D) Un agente de seguros vende pólizas a cinco personas de la misma edad y que disfrutan de buena salud. Según las tablas actuales, la probabilidad de que una persona en estas condiciones viva 30 años o más es 2/3. Halla la probabilidad de que, transcurridos 30 años, vivan: a) Las cinco personas b) Al menos tres personas c) Exactamente dos personas Página 5 de 9

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Distribución Normal Aplicación de distribución normal Ejemplo: En un salón de clases la media del grupo es de 29 años y su desviación estándar es de 4 años. ¿Cuál es la probabilidad de encontrar alumnos de más de 34 años? Pasos Identificar los datos

Procedimiento Media= 29 años Desviación estándar= 4 años Valor a convertir= 34 años

Fórmula a aplicar z= z=valor estándar x= valor a convertir = Media Desviación estándar Sustitución z=

z=

=1.25

Calcular la probabilidad

Para encontrar la probabilidad tenemos tres formas: 1. Buscar en la tabla de distribución normal http://www.disfrutalasmatematicas.com/datos/distribucionnormal-estandar.html Nota: en caso de que no la puedas abrir o no esté disponible, puedes usar cualquier tabla de distribución normal que normalmente esta en los libros de Estadística o puedes buscarla en la red, como tabla de distribución normal.

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2. Usar la función de Excel para encontrar el área, que es la probabilidad. 3. Usar el software Winstat, que lo puedes descargar de la red; es software libre. Primero nos enfocaremos en buscar en la tabla. Abre la liga que te estamos recomendando, busca en la columna de la izquierda el valor de 1.2 y en la parte superior el valor de 0.05 para completar el número buscado 1.25

El número así encontrado es 0.3944, al cual le tenemos que sumar 0.5, ya que la tabla solo te da el valor correspondiente a la mitad de la tabla. Entonces la probabilidad de encontrar alumnos de menos de 34 años es 0.5+0.3944=0.8944 o sea 89.44%

Pero la pregunta era ¿la probabilidad de los que tienen más de 34 años? Entonces resta 100%-89.44%=10.56% que sería la respuesta. ¿Cómo encuentras la probabilidad en Excel?

Usas la función: =DISTR.NORM.ESTAND( )

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¿Cómo encuentro la probabilidad usando Winstat?

Si te das cuenta, Excel te da el valor de toda la probabilidad de los menores de 34 años; si deseas la probabilidad de los mayores de 34 años, realizas la diferencia de 10.8944=0.1056 El uno representa el 100% 1. Descarga Winstat de la red (software libre) http://www.sjhigh.ca/academic/tutorials/winstats/index.php 2. Te recomendamos este video donde se muestra el uso del Winstats: http://www.youtube.com/watch?v=32r_imQBt4g 3. Los pasos son los siguientes: a) Windows b) Probabilidad c) Normal d) Ya que aparece la ventana de la curva normal dar clic en “Calc” e) Probabilidad f) Te aparece un cuadro interactivo, en: low x , escribes -4 por ser el extremo izquierdo de la curva high x, escribes el valor de z que te dio =1.25 g) Luego das click, probability, y te aparecerá el resultado en el lado derecho:

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9. Situaciones Prácticas de Distribución de Probabilidad Normal A) Se supone que los resultados de un examen siguen una distribución normal con media 78 y varianza 36. Se pide: ¿Cuál es la probabilidad de que una persona que se presenta el examen obtenga una calificación superior a 72? B) Un estudio ha mostrado que, en un cierto barrio, el 60% de los hogares tienen al menos dos televisores Se elige al azar una muestra de 50 hogares en el citado barrio. ¿Cuál es la probabilidad de que entre 35 y 40 hogares tengan cuando menos dos televisores? C) Una empresa lleva a cabo una prueba para seleccionar nuevos empleados. Por la experiencia de pruebas anteriores, se sabe que las puntuaciones siguen una distribución normal de media 80 y desviación típica 25. ¿Qué porcentaje de candidatos obtendrá entre 75 y 100 puntos? D) El peso de los toros de una determinada ganadería se distribuye normalmente con una media de 500 kg y 45 kg de desviación típica. Si la ganadería tiene 2000 toros, calcular: a) Cuántos pesarán más de 540 kg. b) Cuántos pesarán menos de 480 kg. c) Cuántos pesarán entre 490 y 510 kg. E) En una distribución normal de media 4 y desviación típica igual a 2, calcular el valor de “a” para que: p(4−a ≤ x ≤ 4+a) = 0.5934

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