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• Alexander Rodriguez Soto

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Escuela Profesional de Ingeniería Civil Curso: Estadística y Probabilidades 2019-I GUÍA DE PRÁCTICA Nº 8: DISTRIBUCIONES CONTINUAS Grupos: CIV4-2 Profesora: Luisa Urure Tejada DISTRIBUCIÓN UNIFORME X ~ U (a, b), entonces La función de densidad de probabilidad es: f ( x) 

1 , a xb ba

La función de densidad acumulada F ( x)  (

E ( x) 

1 )( x  a ) , ba

ab 2

a xb

V ( x) 

 b  a 2 12

DISTRIBUCIÓN EXPONENCIAL X ~ Exp (β), β > 0 La función de densidad de probabilidad es: f ( x )   e  x ,

F ( x)  1  e  x , 1

x0

V ( x) 



1 2

DISTRIBUCIÓN NORMAL X ~ N (μ, σ2) Su función de densidad de probabilidad es: f ( x)  E (x )  

1 x 2 ) 

 ( 1 e 2 2 

a X  b   )    a b P( Z )   b a ( )  ( )   P(

PROPIEDAD REPRODUCTIVA DE LA NORMAL Si Xi ~ N (μi, σi2) (i = 1, 2,…, n.) son n independientes. S  C X , entonces

 i 1

i

i

 n    S   Ci  i   i1  Si X ~ N (μ, σ ) (in = 1, 2,…, n.) son independientes. 2 2 2    C  i  S S X , ientonces  i1   S  n  S ~ N(μS, σS2)

x0

La función de distribución acumulada de X es:

E ( x) 

P ( a  X  b) 

,

x  IR

V ( x)   2

ESTANDARIZACIÓN DE LA NORMAL x Sea X ~ N (  ,  2 ) , si Z  , entonces  Z ~ N(0,1) PROPIEDADES DE LA NORMAL

2

i

n

i 1

i

 2 2   n  S 

S ~ N (μS, σS2)

TEOREMA DEL LIMITE CENTRAL Sean Xi (i = 1, 2, …, n.) variables independientes con la misma distribución. E(Xi) = μ, V(Xi) = σ2. Si n → , entonces aproximadamente: S ~ N (μS, σS2) n

Si

X

i

  S  n   2 2   n  S 

S entonces X   n n 2  (  __   ,  __2  ) X X n __

i 1

 (a)  (a )  1  ( a )   (  a )  2 ( a )  1

EJERCICIOS 1

__

X  N (  __ ,  __2 ) X

X

1. Una de las clases del profesor está programado para comenzar a las 8.10 a.m., pero él comienza su clase en un tiempo T que se distribuye uniformemente en el intervalo de 8.05 a.m. a 8.15 a.m. ¿Cuál es la probabilidad de que él comience su clase? a. Al menos dos minutos más temprano. b. A los más tres minutos más tarde.

6. Acerca de la cantidad aleatoria demandada durante un cierto periodo de tiempo por parte de una empresa textil, se sabe que no supera la tonelada. Determinar para dicho periodo de tiempo. a. Hallar la probabilidad de que la cantidad demandada no supere los 800kgs b. Hallar la probabilidad de que la cantidad demandada este comprendida entre 650 y 850 kilos c. Hallar la demanda esperada.

2. El sueldo de un vendedor consiste de un salario fijo de S/.400 más una comisión del 5% del monto de las ventas que realiza. Si el monto de las ventas que realiza tiene una distribución uniforme entre 0 y 3400 nuevos soles. a. Obtenga el ingreso promedio del vendedor. ¿Con qué probabilidad obtendría al menos ese monto en cualquier mes? b. Si como mínimo quiere ganar S/.480 mensuales, ¿Le conviene la propuesta que su sueldo sea el 25% del monto de las ventas que realiza?

7. Los buses de cierta línea de transportes corren entre la media noche y las seis de la mañana a intervalos de una hora. a. ¿Cuál es la probabilidad de que una persona que está en un paradero de esta línea de buses, a una hora al azar durante este periodo tenga que esperar por lo menos 20 minutos? b. Definir la variable y la unidad de medida. c. Determinar la distribución de probabilidad d. ¿Cuánto es la espera promedio, y la varianza?

3. El tiempo de entrada de cada uno de los empleados del "Banco" a su centro de labores se distribuye según el modelo de la probabilidad uniforme en el intervalo comprendido entre las 8.00 y 8.25 a.m. ¿Cuál es la probabilidad de que 4 de 10 empleados cualesquiera lleguen entre las 8.15 y 8.20 a.m. si siempre han llegado independientemente después de las 8.10 a.m.?

8. En un cine se exhibe una película de 150 minutos en forma continua durante todo el día. a. Definir la variable y la unidad y determinar la distribución de probabilidad. b. Hallar la función acumulada, esperanza y varianza de la distribución. c. ¿Cuál es la probabilidad de que un espectador elegido al azar no se pierda los primeros 15 minutos de la película?

4. Si X es una variable aleatoria distribuida uniformemente en el intervalo [-3, 3] calcular. P(|x-u|>2) P(|x|