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• Orlando J Ayala

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Introducción

Este trabajo explica cómo las diversas fuerzas aplicadas a una viga llegan a producir fuerza cortante y momento flexionante internos.

Además de los conceptos básico que hemos de conocer para mayor compresión del estudio del los temas a tratar en este trabajo; también veremos el desarrollo de algunos ejemplos para cada uno de estos temas.

Hasta ahora hemos tratado con fuerzas concentradas representadas por un vector con su módulo, una recta soporte, un sentido y en ocasiones, un punto de aplicación. Pero en muchos casos, las cargas no están concentradas en un punto sino que están distribuidas a lo largo de una línea o sobre una superficie. Son cargas cuya distribución puede ser uniforme o no. La fuerza distribuida está caracterizada por su intensidad y por su dirección y sentido. Cuando las zonas a las que se aplican las cargas son considerables frente al tamaño del cuerpo, ya no es válida la hipótesis de fuerza concentrada.

Contenido Vigas................................................................................................................ 1 Tipos de vigas ............................................................................................... 1 Conceptos básicos........................................................................................... 1 Convención de signos ..................................................................................... 3 Fuerza Cortante............................................................................................... 6 Momento de flexión........................................................................................ 6 Variación de la fuerza cortante .................................................................. 19 Pendiente del Diagrama de momentos ...................................................... 19 Variación del Momento.............................................................................. 20 Centroides de áreas planas y sólidos de revolución ...................................... 20 Teorema de Pappus ...................................................................................... 25 Primer teorema de Pappus ........................................................................ 25 Centroide de un arco.................................................................................. 26 Segundo teorema de Pappus ..................................................................... 26 - Momentos de inercia de un arco ............................................................. 26 - Centroides de una superficie de revolución....................................... 26

- Momentos de inercia de una superficie de revolución ...................... 26 Longitud de arco y superficies de revolución................................................. 27 - Longitud de un arco ............................................................................ 27 - Área de una superficie de revolución ................................................. 29 Los ejes de paralelos o de Steiner ................................................................. 33 Conclusiones ................................................................................................. 37 Bibliografía .................................................................................................... 38

Vigas Una viga es un elemento que tiene una longitud considerablemente mayor que las otras dimensiones de su sección transversal y que soporta cargas perpendiculares al eje de la viga (por tanto, las cargas forman ángulo recto con la longitud). Las cargas pueden estar distribuidas sobre unas distancias muy pequeñas a lo largo de la viga, en cuyo caso se llaman concentradas, o pueden estar distribuidas sobre una distancia medible, en cuyo caso se llaman distribuidas o repartidas.

Tipos de vigas -

Sencilla: Los apoyos están en los extremos.

-

En voladizo: Un extremo está empotrado en una pared y el otro extremo libre.

-

Mixta: Por lo menos uno de los apoyos no está en un extremo.

Conceptos básicos En la primera escena se muestra una viga; Subsiguientemente se aplican fuerzas a ella (Figura 4.1) y, debido a estas cargas, la viga sufre una deformación. Para explicarle al usuario los que ocurre internamente en la viga es necesario realizar un corte en una secciónC (Figura .2).

C

figura 4.1 Viga sometida a cargas

1

C

Figura 4.2 Flexión de la viga debido a cargas

Antes de pasar al corte se le indica al usuario que es necesario realizar el diagrama de cuerpo libre y encontrar las reacciones.

Hecho esto, la viga se divide en dos partes para estudiar lo que ocurre en el corte (Figura4.3). Se realiza un cambio de perspectiva para favorecer la visión de las acciones internas (Figura 4.4 a) que equilibran al cuerpo con las fuerzas externas aplicadas y, entonces, visualmente acciones las fuerzas V y M. Posteriormente se dibujan los esfuerzos que causa la flexión en la viga (Figura 4.4 b) y cuya obtención se estudiará en el capítulo siguiente.

C

F igura 4.3 Corte en la viga

2

Figur a 4.4 (a ) Surgen las fuerzas que equilibran al elemento

F igu r a 4.4 (b) Esfuerzos producidos por momento flexionante.

También se le proporciona información al usuario de la utilidad y necesidad de saber dónde se ubican los momentos flexionantes y cortantes máximos. Esto último se explica en escenas más adelante en la secuela de cálculo.

Convención de signos Para analizar vigas sometidas a cargas se ha adoptado una convención de signos para que los cortantes

y momentos estudiados tengan significado. En el paquete 3

didáctico se dan los ejemplos y circunstancias en los que un momento se considera positivo o negativo. Se empieza con una escena donde se observan dos vigas sin carga alguna (Figura 4.5).

Figura 4.5 Vigas libre de cargas

Posteriormente a cada una se le aplican acciones externas diferentes, una fuerza vertical a la primera viga y a la segunda momentos. Con esto se observa una deformación “cóncava” de las vigas como se muestra en las figura 4.6.

F igu r a 4.6 Flexión positiva

4

Siguiendo, se cambia el sentido de las acciones externas y la deformación de las vigas se es ahora “convexa” (Figura 4.7). Cada deformación va acompañada de su texto indicando si el momento es positivo o negativo.

Figur a 4.7 Flexión negativa

Al pasar a la siguiente escena se presenta la convención de signos usada para la fuerza cortante. Aquí se presenta la animación de una viga libre de cargas y se le hace un corte por la mitad.

Se le aplican cargas a la viga, de ambos lados del corte, y la viga se corta. Dependiendo del sentido de las cargas aplicadas, la viga se corta de dos diferentes maneras. Al usuario se le indica qué cargas logran el corte positivo y de igual forma cuáles el corte negativo (Figura4.8).

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Positivo

Negativo Figura 4.8 Convención de signos para cortante

Fuerza Cortante Se pude considerar la fuerza cortante V como la suma de todas la fuerzas verticales situadas a la izquierda de la sección en la que una fuerza hacia arriba produce fuerza cortante positiva (si se emplea la suma de fuerzas situadas a la derecha, una fuerza hacia abajo produce una fuerza cortante positiva).

Momento de flexión El momento de flexión M en una sección puede calcularse como la suma de los momento respecto a la sección de todas las fuerzas verticales a la izquierda; una fuerza hacia arriba en la parte situada a la izquierda de la sección un momento positivo en la sección.

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Ejemplo 1 Para el primer ejemplo se presenta un viga simplemente apoyada en los extremos, sometida una carga puntual y una distribuida parcial (Figura 4.9).

Figura 4.9 Viga sometida a cargas 7

Se le indica al usuario que el primer paso es la determinación de las reacciones. Con una animación, los apoyos son transformados en flechas indicando el sentido de la reacción. Este diagrama de cuerpo libre se mantiene a lo largo de toda la escena. Se continúa estableciendo un eje de referencia y posteriormente se efectúa un corte para analizar las acciones internas a una distancia x del origen del eje de referencia (Figura 4.10).

Figura 4.10 Primer corte a una distancia x del extremo izquierdo de la viga Se obtiene el diagrama del cuerpo libre del lado izquierdo del corte y se analizará todas las fuerzas que se encuentran en ese lado; por equilibrio se obtienen las ecuaciones para la fuerza cortante V y el momento flexionante M (Figura 4.11).

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Figura 4.11 Ecuaciones para V y M obtenidas para el primer corte

Una vez obtenidas las ecuaciones, la placa (que representa la localización del corte) se mueve hacia la derecha hasta pasar la carga de los 10 kN. Aquí se le explica al usuario que el diagrama de cuerpo libre del lado izquierdo de la viga ha cambiado debido a la presencia de la nueva carga y, en consecuencia, habrá nuevas ecuaciones para V y M (Figura 4.12).

Figu ra 4.12 Ecuaciones para V y M obtenidas en el segundo corte

Realizado esto, la placa se mueve nuevamente ahora más allá de los 3.5 m. Aquí aparecen nuevas cargas que modifican el diagrama de cuerpo libre anterior. Entonces

nuevas ecuaciones para V y M son obtenidas. Para explicar de manera

visual cómo se consideran las cargas distribuidas, mediante una animación ésta se transforma en una carga puntual y se acota su distancia al corte (Figura 4.13).

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Figur a 4.13 Ecuaciones para V y M obtenidas en el tercer corte Se le explica al usuario que no es estrictamente necesario estudiar la viga de izquierda a derecha, y que, en el caso del último corte, resulta más conveniente analizar el diagrama de cuerpo libre del lado derecho del corte. Se cambia el eje de referencia y se consiguen las ecuaciones para V y M. Éstas se comparan con las obtenidas inicialmente para el mismo corte, notando una disminución considerable de elementos en las expresiones (Figura 4.14).

Figura 4.14 Diagrama de cuerpo libre del lado derecho del tercer 10

corte De esta manera se le explica al usuario las consideraciones que debe de tomar en cuenta al momento de definir el número de cortes necesarios para analizar una viga. A continuación se muestran gráficamente los cortes que fueron necesarios para obtener las variaciones de fuerza cortante y momento flexionante de esta viga en particular (Figura 4.15).

Figur a 4.15 Cortes necesarios para en análisis de la viga.

Al haber terminado de establecer las ecuaciones de V y M para todas las secciones, se procede a obtener los diagramas de fuerza cortante y momento flexionante.

El primer diagrama a graficar es el de fuerza cortante. Para ello aparece debajo del diagrama de cuerpo libre de la viga un eje de referencia necesario para el diagrama, con x como abscisas y V en unidades de kN como ordenadas. Antes de que aparezca la gráfica de cortante, en el diagrama de cuerpo libre de la viga, aparece una placa transparente (Figura4.16).

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Figura 4.16 Eje de coordenadas para el diagrama de fuerza cortante En el extremo izquierdo de la pantalla aparecen las ecuaciones de V respectivas a cada rango, además de texto explicativo de cómo se obtiene la gráfica. Después, con ayuda de una animación, se consigue el diagrama: la placa transparente avanza por la viga (que representa la posición x, el corte donde se estudia la viga) y en el eje de referencia se van graficando los valores para V a medida que avanza la placa (Figura 4.17).

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Figur a 4.16 Diagrama de cortantes

Una vez que se consigue el diagrama de cortante, se resalta alguna cualidad del diagrama; para este ejemplo, que el cortante más grande se encuentra en los poyos.

Finalizada la obtención del diagrama de cortante, se prosigue a encontrar el diagrama de momentos. Se vuelve a empezar con los mismos elementos con que comenzó el diagrama de cortante.

De igual forma, a la izquierda aparecen las ecuaciones (ahora de momento flexionante) para los rangos ya conocidos. Lo que sigue tiene la misma base de animación que el diagrama anterior, pero aquí aparece graficado el diagrama de momentos. Posterior a la obtención del diagrama, un texto surge explicando algunos detalles de la gráfica. En este ejemplo, se hace ver que en los apoyos de una viga simplemente apoyada el momento será nulo.

También se le explica al usuario que el diagrama de momentos ayuda a entender la manera en que la viga se flexiona. Para esto, el diagrama de cuerpo libre de la viga se flexiona con una animación hasta el punto en que puede verse la relación entre la deflexión y el diagramade momentos (Figura 4.17).

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Figu r a 4.17 Deflexión de la viga y Diagrama de momentos

Ejemplo 2

En el siguiente ejemplo se tiene una viga de diferente longitud, con una carga concentrada y una distribuida, un apoyo simple en el extremo izquierdo y otro fijo a 2 metros del extremo derecho (Figura 4.19).

Figu ra 4.19 Viga sometida a cargas 14

Para este ejercicio se empieza por obtener las reacciones, establecer el eje de referencia y, posteriormente, a determinar el número de cortes necesarios (Figura 4.20).

Figu r a 4.20 Son necesarios 4 cortes para este ejemplo La secuencia de cálculos sigue siendo la misma; sin embargo, hay un cambio en la secuencia de animaciones. En este ejemplo, las animaciones no se enfocan en obtener los diagramas de cuerpo libre, sino en trabajar con los intervalos para cada corte.

El conseguir las ecuaciones para cortante y momento se basa en el mismo procedimiento analítico explicado en el ejemplo anterior y, de igual manera, se explica en éste. Cuando se obtienen los diagramas de cortante (Figura 4.21) y de momento, se observa que ellos son muy diferentes a los del otro ejemplo pues la posición de los apoyos influye mucho en los diagramas. También se presenta una animación al final donde la viga se deforma dejando ver así la relación con el diagrama de momentos (Figura 4.21).

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Figura 4.21 Diagrama de Cortantes

Figu ra 4.22 Deflexión de la viga y Diagrama de momentos Ejemplo 3 En este ejemplo se presenta otro caso, donde la viga está sometida a una carga uniforme trapezoidal y una puntual (Figura 4.23).

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Figura (4.23) Viga sujeta a cargas

Puesto que la carga trapezoidal se encuentra en el extremo izquierdo y el análisis de la viga se realiza de izquierda a derecha, en el primer corte es dónde se observan cambios. La carga trapezoidal fue tratada de tal manera que se le dio al usuario la herramienta de lidiar con un carga rectangular y una triangular, lo que sucede al descomponer el trapecio en un rectángulo (una carga distribuida) y un triángulo (carga triangular) (Figura 4.24).

Figura (4.24) Descomposición de carga trapezoidal en una triangular y distribuida

En el primer corte aparecen las ecuaciones obtenidas para V y M. Después de esto, aparece el texto explicando cómo es que debe estudiarse una carga triangular, que es donde 17

radica el cambio en este ejemplo. Se indica que para concentrar la carga es necesario utilizar la fórmula de b*h/2 y debe dejarse expresado b en función de x, mediante triángulos semejantes y expresar h en función de y . El brazo de palanca queda expresado en x, que indica la distancia del corte al centroide de un triángulo (1/3 de la base respecto al vértice). Se hace hincapié en que en la ecuación de cortante resulta en una ecuación de segundo grado, mientras que en la de momento se obtendrá una ecuación de tercer grado con este tipo de cargas.

Las ecuaciones para los cortes subsecuentes son obtenidas de igual manera que en los otros ejemplos, y de forma afín se proporciona la información y las animaciones necesarias para entender cómo se obtuvieron las ecuaciones respectivas. Pasando a la elaboración de los diagramas de cortante y momento, se colocan las ecuaciones, ya sean de cortante o momento, en la izquierda y, con base en la misma animación usada en ejemplos anteriores, se grafican los diagramas (Figura 4.25).

Figura 4.25 Diagrama de cortante

Al terminar con la obtención del diagrama de momentos, continúa la animación de la viga flexionándose de acuerdo a éste (Figura 4.26).

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Figura 4.26 Deflexión de la viga y Diagrama de momentos

Variación de la fuerza cortante La variación de la fuerza cortante entre dos secciones de una viga que soporta una carga distribuida es igual al valor del área del diagrama de carga entre ambas secciones cambiando de signo. Demostración el dV = -wdx obtenido en la demostración anteriormente ∫

En donde

∫

∫

∫

es el área del diagrama de cargas entra las dos secciones.

Pendiente del Diagrama de momentos La pendiente o coeficiente angular del diagrama de momentos en una sección cualquiera a lo largo de la viga es el valor de la fuerza cortante en dicha sección. Demostración: igualando a cero la suma de los momentos respecto al extremo derecho, obteniéndose: 19

-M - dx + wdx(dx/2) + M + dM = 0

Variación del Momento La variación del momento entre dos secciones de una viga es igual al área del diagrama de fuerzas cortantes entre dos secciones. Demostración: Tomemos dM = Vdx ∫

∫

∫

Centroides de áreas planas y sólidos de revolución La masa de un cuerpo físico es una medida de la cantidad de materia en él, mientras que su volumen mide el espacio que ocupa. Si la masa por unidad de volumen es la misma en todo él, se dice que el cuerpo es homogéneo o de densidad constante. Es muy conveniente en la Física y Mecánica considerar la masa de un cuerpo como concentrada en un punto, llamado su centro de masa (o centro de gravedad). Para un cuerpo homogéneo, ese punto coincide con su centro geométrico o centroide. Por ejemplo, el centro de masa de una bola homogénea coincide con el centroide (su centro) de la bola como sólido geométrico (una esfera). El centroide de una hoja rectangular de papel está a medio camino entre sus dos superficies y en la intersección de sus diagonales. EL centro de masa de una lámina muy delgada coincide con su centroide considerada como área plana. El enfoque dado al estudio del centroide es ejemplificar cómo se obtiene el centroide de una sección compuesta por diferentes áreas geométricas. Puesto que el concepto básico no necesita gran atención por su simplicidad, se empieza por resolver un ejemplo de una sección compuesta. El primer momento ML de un área plana con respecto a una recta L es el producto del área por la distancia dirigida de su centroide a esa recta. El momento de un área compuesta con 20

respecto a una recta es la suma de los momentos de las áreas individuales. El momento de un área plana con respecto a un eje de coordenadas se calcula de la siguiente manera: 1. Dibujar el área, mostrando una franja representativa y el rectángulo aproximante. 2. Multiplicar el área del rectángulo por la distancia de su centroide al eje y sumar para todos los rectángulos. 3. Suponer que el número de los rectángulos crece indefinidamente y aplicar el teorema fundamental.

Para fines prácticos, el paquete estudia una sección transversal que se obtiene de una viga cargada mediante una animación (Figura 3.1 y 3.2). Esto para captar la atención del usuario y vea alguna de las aplicaciones inmediatas del concepto.

Figura 3.1 Viga

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Figura 3.2 Sección transversal de viga Obtenida la sección, se divide en áreas sencillas, manejando diferentes colores para cada una y así poder distinguirlas fácilmente. A continuación se presentan las dimensiones de cada área, cada dato de un color diferente, lo cual será de ayuda posteriormente (Figura 3.3).

Figura 3.3 División de la sección

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Se le da la opción al usuario de elegir qué respecto a que eje desea obtener el centroide. Una vez que este selecciona una opción aparece el eje de referencia necesario. También se presentan la distancia de los centroides de cada área individual hacia el eje (Figura 3.4).

Punto de decisión Aparece la demostración de la fórmula de centroides de áreas compuestas:

Los momentos estáticos del área total del eje x/y deberán ser igual a la sumatoria de momentos estáticos de las áreas parciales respecto al mismo eje. Seguido de esto se visualiza la expresión necesaria para obtener el centroide deseado. Al aplicar la expresión del centroide en el paquete se observa cómo los datos son arrastrados desde la figura de la sección transversal hasta la fórmula. Con ayuda de los colores el usuario puede ubicar de dónde proviene cada dato y así comprenderá más rápido cómo debe usarse la expresión.

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Obtención la coordenada y del centroide. Terminada la obtención de un centroide, el usuario vuelve a encontrar la opción para decidir si desea ver el ejemplo del centroide respecto al otro eje o seguir a otro tema.

El (primer) momento de un sólido de volumen V, generado al girar un área plana en torno a un eje de coordenadas, con respecto al plano que pasa por el origen y es perpendicular al eje, puede calcularse como sigue: 1. Dibujar el área mostrando una franja representativa y el rectángulo aproximante. 2. Multiplicar el volumen, disco o capa generado al girar el rectángulo en torno al eje por la distancia del centroide del rectángulo al plano y sumar para todos los rectángulos. 3. Suponer que el número de los rectángulos crece indefinidamente y aplicar el teorema fundamental. Cuando el área se gira en torno al eje x, el centroide

está en el eje x. Si My z denota

el momento del sólido con respecto al plano por el origen y es perpendicular al eje x, 24

entonces:

Análogamente, cuando el área se hace girar en torno al eje y, el centroide

( ) está en

el eje y. Si Mx z es el momento del sólido con respecto al plano por el origen perpendicular al eje y, entonces:

Teorema de Pappus Primer teorema de Pappus Si un área plana se hace girar en torno a un eje en su plano que no cruce a esa área, el volumen del sólido de revolución generado es igual al producto del área por la longitud de la trayectoria descrita por el centroide del área. Ejemplo Hallar el volumen del toro generado al girar el círculo x2 + y2=4 en torno a la recta x=3.

- Centroides y momentos de inercia de arcos y superficies de revolución 25

Centroide de un arco

Segundo teorema de Pappus Si un arco de curva se hace girar en torno a un eje situado en un su plano pero que no cruce al arco, el área de la superficie generada es igual al producto de la longitud del arco por la longitud de la trayectoria descrita por el centroide del arco.

- Momentos de inercia de un arco Los momentos de inercia respecto a los ejes coordenados de un arco AB de una curva (un fragmento

de

hilo

fino

homogéneo,

por

ejemplo)

vienen

dados

por:

- Centroides de una superficie de revolución

La coordenada AB

de

una

del centroide de una superficie de revolución generada al girar un arco curva

en

torno

al

eje

x

satisface

la

relación:

- Momentos de inercia de una superficie de revolución

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El momento de inercia con respecto al eje de rotación de la superficie generada al girar el arco

AB

de

una

curva

en

torno

al

eje

x

viene

dado

por:

Ejemplo 6.3 Calcular el área de la superficie de revolución generada al girar el rectángulo de dimensiones a, b en torno a un eje que está a c unidades del centroide (c>, b). El perímetro del rectángulo es 2(a + b) y el centroide describe un círculo de radio c. Entonces S = 2(a + b)(2 c)=4 (a + b)c por el segundo teorema de Pappus.

Longitud de arco y superficies de revolución - Longitud de un arco La longitud de un arco AB de una curva es por definición el límite de la suma de las longitudes de un conjunto de cuerdas consecutivas AP1, P1, P2…., P n-1 B, que unos puntos del arco, cuando el número de puntos crece indefinidamente de forma tal que la longitud de cada cuerda tiende a cero.

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Si A (u = u1) y B (u = u2) son dos puntos de una curva definida paramétricamente por las ecuaciones x = f (u), y = f (u) y si se satisfacen condiciones de continuidad, la longitud del arco

AB

viene

dada

por:

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Ejemplo

- Área de una superficie de revolución El área de la superficie generada al girar el arco AB de una curva continua en torno a una recta de su plano es por definición el límite de la suma de las áreas generadas por las n cuerdas consecutivas AP1, P1, P2…, P n -1 B que unen los puntos del arco, al girar en torno a dicha recta, cuando el número de cuerdas crece indefinidamente de manera tal que la longitud de cada una de ellas tiende a cero.

Si A(a, c) y B(b, d) son dos puntos de la curva y = f(x), donde f(x) y f’(x) son continuas y f(x) no cambia de signo en el intervalo a x b, el área de la superficie generada al girar el arco AB en torno al eje x viene dada por:

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Cuando, además, f’(x) 0 en el intervalo, una forma alternativa es:

Si, A(a, c) y B (b, d) son dos puntos de la curva x = g(y), donde g(y) y su derivada respecto de y satisfacen propiedades similares a las citadas en el párrafo anterior, el área de la superficie generada al girar el arco AB en torno al eje y viene dada por:

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Si a(U = u1) y B(u=u2) son dos puntos de la curva definida por las ecuaciones paramétricas x = f(u), y = g(u) si se cumplen condiciones de continuidad, el área de la superficie generada al girar el arco AB en torno al eje x viene dada por :

Y el área generada al girar el arco AB en torno al eje y por:

Ejemplo Hallar el área de la superficie de revolución generada al girar en torno al eje x el arco de y 2 + 4x = 2 ln y entre y = 1 e y = 3.

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Los ejes de paralelos o de Steiner Como se sabe, si se conoce el momento de inercia de un área respecto al eje de inercia centroidal, su momento de inercia puede determinarse respecto a un eje paralelo usando el teorema de los ejes paralelos o de Steiner. La primera escena se enfoca en la demostración del teorema de Steiner y cómo se utiliza el concepto de los ejes paralelos. Para ello se presenta una sección con su área, su eje centroidal, y al lado la fórmula de Ix (Figura 3.14).

Figur a 3.14 Momento de inercia respecto al eje centroidal A continuación se le explica al usuario que se obtendrá ese mismo momento de inercia pero ahora desde otro eje paralelo al original (el centroidal) (Figura 3.15). Una vez presentado el nuevo eje, aparecen las cotas desde éste hasta los puntos necesarios de la fórmula de Ix (distancia desde el eje al centroide y desde el centroide del área hasta dA) (Figura 3.16).

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Figura 3.15 Nuevo eje sobre el cual se obtendrá el momento de inercia

Figura 3.16 Elementos necesarios para el teorema de Steiner Partiendo de la integral original de momento de inercia, se guía al usuario paso a paso en la sustitución de los nuevos valores hasta llegar a la nueva expresión del "Teorema de ejes paralelos". Ix´= Ix + Ad2 Terminando la explicación de la determinación de la fórmula, el usuario puede continuar a un ejemplo de áreas compuestas para que se comprenda la aplicación de la expresión. La sección empleada en el ejemplo es la misma utilizada para el concepto de centroide, ya que el usuario está familiarizado con esta sección y conoce su centroides (Figura 3.17). De igual manera que en el ejemplo anterior, se le da al usuario la opción de elegir el Momento de Inercia respecto al eje que él decida (Figura 3.18). Puesto que la sección es una viga T simétrica respecto al eje y, los cálculos de Ix son mucho más extensos que los de Iy.

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Figura 3.17 Sección transversal con la ubicación de sus centroide

Figura 3.18 Punto de decisión Al elegir "momento de inercia en x" , se traza un nuevo eje x en el centroide de la sección total, así como las distancias de éste hasta el centroide de las figuras individuales (Figura 3.19).

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Figura 3.19 Distancias desde el eje centroidal x hasta el centroide de cada área Aparece la fórmula del teorema de Steiner y se calculan los Ix de cada área individual con ayuda de la expresión de bh3/12, ya que las secciones son rectangulares. Con una animación se llevan los datos desde la figura hasta la fórmula, para que el usuario pueda entender de dónde surge cada valor. Para el Iy es más sencillo pues el eje centroidal de toda la figura coincide con todos los centroides de las figuras individuales (Figura 3.20). Entonces se explica que se debe cancelar el término de Ad2 de la expresión, quedando la sumatoria de los momentos de inercia de las secciones individuales (Figura 3.21).

Figura 3.20 Eje centroidal en y

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Conclusiones  Este trabajo nos sirvió para entender un poco las aplicaciones que tienen las integrales para el uso matemático en la ingeniería primordialmente. Es una herramienta muy útil para el cálculo de áreas difíciles de solucionar mediante los métodos convencionales.  Esto no quiere decir que sólo con la realización de este trabajo, sea entendible el amplio campo que abarcan todas estas aplicaciones; ya que sólo se lograría esto mediante la práctica constante y minuciosa de cada caso.  La implementación de todos esto análisis, más que todos de la fuerzas distribuidas sobre una viga, son de mucho interés en al ámbito de la ingeniería, específicamente en el área civil.  Lo cual no indica la importancia que la misma tiene sobre diversas aplicaciones, de este mismo modo; hacemos referencia al tema de centroides que sus aplicaciones o métodos de soluciones son diversas, pero se obtienen los mismo resultados.

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Bibliografía

 Mclean, W.G., Nelson E.W., Mecánica para ingenieros Estática y dinámica, 2ªEdición.  Hibbeler, R.C., Mecánica para ingenieros Estática, Editorial Continental, México.

 Larson, Roland E., Hostetler, Robert P., Matemáticas 6, McGraw Hill, 1989.

 Rivera, Juan. “Diagrama de momento flector y fuerza cortante” (30-04-2012). http://www.youtube.com/watch?v=gz8rDcgnfbQ&feature=player_detailpage.

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