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• Karlitos Avello Gonzalez

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Universidad Católica de la Santísima Concepción Instituto Tecnológico

DISTRIBUCIÒN BINOMIAL

NOMBRES: Karen garrido Moisés luna Mariela Sepúlveda CARRERA: Ingeniería Ejecución Industrial DOCENTE: Tatiana Fernández

Distribución Binomial En estadística, la distribución binomial es una distribución de probabilidad discreta que mide el número de éxitos en una secuencia de n ensayos de Bernoulli independientes entre sí, con una probabilidad fija p de ocurrencia del éxito entre los ensayos. Un experimento de Bernoulli se caracteriza por ser dicotómico, esto es, sólo son posibles dos resultados. A uno de estos se denomina éxito y tiene una probabilidad de ocurrencia p y al otro, fracaso, con una probabilidad q = 1 - p. En la distribución binomial el anterior experimento se repite n veces, de forma independiente, y se trata de calcular la probabilidad de un determinado número de éxitos. Para n = 1, la binomial se convierte, de hecho, en una distribución de Bernoulli. Para representar que una variable aleatoria X sigue una distribución binomial de parámetros n y p, se escribe:

Experimento binomial Existen muchas situaciones en las que se presenta una experiencia binomial. Cada uno de los experimentos es independiente de los restantes (la probabilidad del resultado de un experimento no depende del resultado del resto). El resultado de cada experimento ha de admitir sólo dos categorías (a las que se denomina éxito y fracaso). Las probabilidades de ambas posibilidades han de ser constantes en todos los experimentos (se denotan como p y q o p y 1-p). Se designa por X a la variable que mide el número de éxitos que se han producido en los n experimentos. Cuando se dan estas circunstancias, se dice que la variable X sigue una distribución de probabilidad binomial, y se denota B(n,p). Características analíticas Su función de probabilidad es

Donde

Siendo

las combinaciones de

en

(

elementos tomados de

en )

Ejemplos 1.-Un examen de estadística de elección múltiple contenía 20 preguntas y cada una de ellas 5 respuestas. Si un estudiante desconocía todas las respuestas y ¿Cuál es la probabilidad de que conteste correctamente a 5 preguntas? P(X=5)

n=20

p=1/5=0,2

2.-Supongamos que se lanza un dado (con 6 caras) 50 veces y queremos conocer la probabilidad de que el número 3 salga 20 veces. En este caso tenemos una X ~ B(50, 1/6) y la probabilidad sería P(X=20):

3.- Con el propósito de verificar si se aceptan los lotes de piezas de que se reciben en una determinada fábrica, se lleva a cabo un plan de control consistente en seleccionar 10 artículos al azar de cada lote y determinar el número de piezas defectuosas. Un lote se rechaza si se encuentran dos o más piezas defectuosas. ¿Cuál es la probabilidad de aceptar lotes con un 5 % de piezas defectuosas? Sea el suceso A: ser pieza defectuosa. La probabilidad de A, será p= 0,05 al ser la proporción de defectuosos de lote del 5%. Sea la variable X ~ número piezas defectuosas en el lote ~ B (n=10, p=0,05). Sea el coeficiente de de aceptación, a (o c), a = 2.

Relaciones con otras variables aleatorias Si tiende a infinito y es tal que el producto entre ambos parámetros tiende a , entonces la distribución de la variable aleatoria binomial tiende a una distribución de Poisson de parámetro . Por último, se cumple que cuando n es muy grande (usualmente se exige que distribución binomial puede aproximarse mediante la distribución normal.

) la

Propiedades reproductivas Dadas n variables binomiales independientes de parámetros ni (i = 1,..., n) y también una variable binomial, de parámetros n1+... + nn, y , es decir,

, su suma es

Ejemplos de aplicación: 1 – Se lanza un dado 10 veces, y se cuenta el numero “x” de 3 obtenidos, entonces x~B (10,1/6).d

P(x) = Probabilidad de x n = cantidad de intentos o ensayos X = numero de éxitos P = probabilidad de éxitos q = 1 – p = probabilidad de error Entonces:

La probabilidad de que se obtenga el objetivo en tres intentos es de 0,155 un 15,5%.

Ahora para graficar necesitamos tener probabilidades de éxito de otros ensayos de los cuales necesitamos de los siguientes datos. Ya tenemos la probabilidad de x=3 P (3)= 0,155 Veamos que pasa si realizamos la misma operación cambiando el valor de x cantidad de éxito en: X= (4; 5; 6) P (4)= 210*(1/6)4*(5/6)6 P (4)= 0,054 P (5)= 252*(1/6)5*(5/6)5 P (5)= 0,013 P (6)= 210*(1/6)6*(5/6)4 P (6)= 0,00217 Con estas probabilidades de éxito se puede graficar de la siguiente forma:

Grafico Distribucion Binominal 0.18 0.16 0.14 0.12 0.1 0.08 0.06 0.04 0.02 0 6

5

4

3

Ecuación de Esperanza E(x) = n*p Donde “n” es un entero positivo y expresa la cantidad de ensayos a realizar y “p” es la probabilidad de éxito, veamos con el ejercicio anterior E(x) = 10*(1/6) = 1,66 siendo este valor la esperanza que a lo menos su éxito sea 1,6 veces Ecuación de Varianza V2 = n*p*(1-p) Siendo (1-p) la probabilidad de error. Quedando: V2 = 10*(1/6)*(5/6) = 1,38 y su raíz es: 1,17 siendo este ultimo valor la variabilidad.

Referencias

“Recuperado de”

http://es.wikipedia.org/wiki/Distribuci%C3%B3n_binomial

“Recuperado de”

http://www.youtube.com/watch?v=PXx4pUiPIhQ&feature=youtube_gdata_player